Лекция 5 динамика вращательного движения термины и понятия Метод интегрального исчисления Момент импульса Момент инерции тела Момент силы Плечо силы Реакция опоры Теорема Штейнера
 Скачать 274.79 Kb.
|
|
60 Лекция 5 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Термины и понятия Метод интегрального исчисления Момент импульса Момент инерции тела Момент силы Плечо силы Реакция опоры Теорема Штейнера 5.1. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Разобьем тело на такие малые части, что каждую из них можно считать материальной точкой. Пусть m i – масса i-ой материальной точ- ки, r i – ее расстояние до некоторой оси OO′ . Величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат кратчайшего расстояния ее до данной оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси: 2 i i i r m I = (29) Сумма моментов инерции всех материальных точек тела называет- ся моментом инерции тела относительно некоторой оси: 2 1 i n i i r m I ∑ = = (30) Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно видеть, от распределения масс относи- тельно интересующей нас оси. Если тело представляет собой обруч массы m, толщина которого мала по сравнению с радиу- сом R, то момент его инерции относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной к плоскости обруча, равен 2 2 2 2 i i i i i i i I m r m R R m mR = = = = ∑ ∑ ∑ m i r i O O ’ 61 Для тел более сложной формы суммирование выражения (30) про- изводится методами интегрального исчисления согласно формуле: ∫ = V dm r I 2 , (31) где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x , y , z В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоя- нии от оси, равном r . Объем такого слоя равен: dr r b dV 2 π ⋅ = , где b – толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его ρ во всех точках одинакова и 2 dm dV r b dr ρ π ρ = ⋅ = , где dm – масса кольцевого слоя. Теперь по формуле (31) находим момент инерции. 2 0 2 R I r b r dr ρ π = ∫ , где R – радиус диска. 4 3 0 2 2 4 R R I b r dr b π ρ π ρ = = ∫ Наконец, введя массу диска m равную произведению плотности ρ на объем диска 2 b R π , получим 2 2 mR I = Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относи- тельно оси, проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице: b dr r O O ’ 62 Твердое тело Положение оси вращения Момент инер- ции Тонкий стержень длины l Сплошной цилиндр радиуса R Тонкий диск ра- диуса R Шар радиуса R Перпендикулярна стержню и проходит через центр тяжести Ось вращения совпадает с осью цилиндра и проходит че- рез центр тяжести Ось вращения совпадает с диаметром диска Ось вращения проходит через центр тяжести шара 2 12 1 l m 2 2 1 mR 2 4 1 mR 2 5 2 mR Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то можно найти момент инерции относительно любой другой параллельной оси. Для этого надо воспользоваться тео- ремой Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела I относительно произвольной оси равен мо- менту его инерции I c относительно параллельной ей оси, проходя- щей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния a между осями: 2 c I I ma = + (32) Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Най- дем момент инерции тела относительно оси z па- раллельной оси z C . Ось z C проходит через центр масс тела. Разделим мысленно тело на частицы массой m i , где i – порядковый номер. Опреде- лим положение каждой частицы относительно осей z и z C . В соответствии с определением мо- мента инерции 2 i i i r m I = , где i r – это кратчай- шее расстояние до оси вращения (радиус окруж- ности, которую описывает точка при своем дви- жении вокруг оси вращения). Из рисунка видно, что 0 r r r i i r r r + = ′ , тогда момент инерции точки массой m i относительно оси z равен: 2 i i i r m I ′ = , а для всего тела момент инерции относительно оси z равен сумме моментов инерции всех час- тиц тела относительно этой же оси: 0 r r i r r i r ′ r i m z z C C а 63 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ⋅ + + = + = ′ = = i i i i i i i i i i i i i i i i z r r m r m r m r r m r m I I ) ( 2 ) ( 0 2 0 2 2 0 2 r r r r По определению ∑ = 2 i i z r m I C – момент инерции тела относитель- но оси z C , проходящей через центр масс тела; ∑ = i i m m , тогда ∑ = i i ma r m 2 2 0 . Выражение ∑ ⋅ i i i r r m ) ( 2 0 r r можно преобразовать ∑ ∑ ⋅ = ⋅ i i i i i i r r m r r m ) ( 2 ) ( 2 0 0 r r r r . Величина, равная C i i i r m r m r r = ∑ определяет положение центра масс тела относительно оси z C . Из рисунка видно, что 0 = C rr , так как центр масс лежит на оси z C Тогда получим 2 ma I I C z z + = – момент инерции I z тела относи- тельно произвольной оси равен сумме момента инерции тела C z I отно- сительно параллельной ей оси z C , проходящей через центр масс, и вели- чины ma 2 , где m – масса тела, a – расстояние между осями. Пример. Момент инерции тонкого стержня (массы m и длины l ) относительно оси, перпендикулярной стрежню и проходящей через его конец, равен 2 2 2 3 1 2 12 1 l l l m m m I = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 5.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Пусть твердое тело вращается вокруг не- подвижной оси ОО ′ . Мысленно разобьем тело на материальные точки массой m i . Каждая мате- риальная точка движется по окружности радиу- са r i с линейной скоростью i v r . Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кине- тических энергий этих точек: ∑ = i i i K m E 2 2 v Линейная скорость материальной точки за- висит от расстояния до оси вращения r i : i i r ω = v , O O ′ ω r i rr i vr 1 rr i vr m 1 m i 64 где ω – угловая скорость тела. Отсюда ∑ ω = i i i K r m E 2 2 2 , так как 2 1 i n i i r m I ∑ = = , то 2 2 ω = I E K , (33) где I – момент инерции тела относительно оси вращения, ω – его угло- вая скорость. В случае плоского движения тела, например, шара, скатывающего- ся с наклонной плоскости без скольжения, энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: 2 2 , 2 2 c c K m I E ω = + v где m – масса тела; c v – скорость центра масс тела; I c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω – угловая скорость тела. 5.3. МОМЕНТ СИЛЫ Рассмотрим вращение тела вокруг неподвиж- ной оси. Пусть сила F r лежит в плоскости, перпен- дикулярной к оси вращения 0. r r – радиус вектор точки приложения силы относительно оси вращения; d – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, называемое плечом силы. Векторная величина, численно равная произ- ведению силы на плечо, называется моментом силы относительно оси вращения. d F M ⋅ = (34) Как видно из рисунка: α ⋅ = sin r d , α ⋅ ⋅ = sin r F M , то есть в векторном виде: M rF ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ r r r Направление M r совпадает с направлением поступательного дви- жения винта при его вращении от rr к F r (в нашем примере вдоль оси вращения «от нас»). F r О α rr M r d В 65 В частном случае, когда 0 , 0 = = M α (линия действия силы пере- секает ось вращения). Такая сила уравновешивается реакцией опоры и вращения не вызывает. 5.4. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Пусть тело вращается вокруг оси О под действием силы F r . Найдем работу этой силы. При повороте тела на бесконечно малый угол ϕ d точка приложения силы B проходит путь: d r d ϕ = ⋅ l , где r – радиус окружности, описываемой точкой B. Элементарная рабо- та равна: dA F r d F r dt ϕ ω = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ . (35) Эта работа идет на увеличение кинетической энергии вращающе- гося тела, так как 2 2 ω I E k = , а K dE dA = , то 2 2 K I dE d I d ω ω ω ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Поэтому F r dt I d ω ω ω ⋅ ⋅ ⋅ = Радиус окружности r является плечом силы F, следовательно, r F M ⋅ = и Mdt Id ω = или d M I I dt ω ε = = ⋅ . Учтя, что векторы M r и ε r имеют одинаковое направление, придем к соотношению: M I ε = r r (36) Это – основное уравнение динамики вращательного движения во- круг неподвижной оси. Оно напоминает второй закон Ньютона для по- ступательного движения. Роль массы играет момент инерции I, роль ли- нейного ускорения – угловое ускорение ε r , роль силы – момент силы M r rr F r ϕ d l d O B 66 Из этого уравнения, в частности, видно, что момент инерции I оп- ределяет инерционные свойства тела при вращении: при одном и том же значении момента сил M r , тело с большим моментом инерции приобре- тает меньшее угловое ускорение ε r . Заметим, что работа при вращении тела согласно (35) равна: dA F r d F r dt ϕ ω = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ . На рис.22 сила F r r r ⊥ , поэтому M rF ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ r r r или r F M ⋅ = . С другой стороны dt d ⋅ = ω ϕ r r – угловое перемещение. Вектора M r и ϕ r d направлены по одной прямой, поэтому ) ( ϕ r r d M dA ⋅ = или dA M d ϕ = ⋅ (37) Сравним с формулой для работы при поступательном движении тела ) ( r d F dA r r ⋅ = 5.5. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Рассмотрим движение отдельных точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Каждая из них массой m i движется по окружности постоянного ра- диуса r i . Ее линейная скорость i vr , импульс i vr i m . Скорость и импульс перпендикулярны радиусу, то есть радиус является плечом вектора i i m vr . Поэтому можно записать, что момент импульса данной точки ра- вен i i i i r m L v = , i i i L r P ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ r r r и направлен по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта. Учитывая, что i i r ω = v , полу- чим: i i i i i I r m L ω ω = = 2 , где i I – момент инерции материальной точки i m относительно оси вращения. Момент импульса твердого тела относи- тельно оси равен сумме моментов импульсов всех его точек: ω i i I L ∑ = , или 2 2 i i i i i i L m r m r I ω ω ω = = = ∑ ∑ Итак, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно этой же оси на угловую скорость. Lr ω r i rr m i i v r О 67 Учтя, что векторы L r и ω r имеют одинаковое направление, придем к соотношению: L I ω = r v . (38) При описании динамики вращательного движения момент импуль- са играет такую же роль, что и импульс при поступательном движении. Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вра- щение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение. Поступательное движение Вращательное движение Масса m Момент инерции I Скорость dt r dr r = v Угловая скорость d dt ϕ ω = r r Ускорение dt d a vr r = Угловое ускорение d dt ω ε = r r Сила F r Момент силы M r Импульс vr r m P = Момент импульса L I ω = r r Основное уравнение динамики a m F r r = Основное уравнение динамики M I ε = r r Работа dS F dA S = Работа dA Md ϕ = Кинетическая энергия 2 2 v m Кинетическая энергия 2 2 I ω КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое момент инерции тела? 2. Какой физический смысл имеет момент инерции? 3. Выведите формулу для момента инерции обруча. 4. Сформулируйте и поясните теорему Штейнера. 5. Что называется моментом силы относительно оси вращения? 6. Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела. 7. Что такое момент импульса материальной точки? Твердого тела? 8. Как определяется направление вектора момента импульса? 9. Выведите и сформулируйте закон сохранения момента импульса. Приведите примеры. |