Определение деформаций в балке при изгибе. Лекция 6 стр

Название	Лекция 6 стр
Анкор	Определение деформаций в балке при изгибе.doc
Дата	22.02.2018
Размер	393.5 Kb.
Формат файла
Имя файла	Определение деформаций в балке при изгибе.doc
Тип	Лекция #15815

2013_2014 учебный год II семестр Лекция № 2.6 стр.

Деформация балок при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Метод начальных параметров. Универсальное уравнение упругой линии.
6. ДЕФОРМАЦИЯ БАЛОК ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

6.1. Основные понятия и определения

Р

ассмотрим деформацию балки при плоском изгибе. Ось балки под действием нагрузки искривляется в плоскости действия сил (плоскость x0y), при этом поперечные сечения поворачиваются и смещаются на некоторую величину. Искривленная ось балки при изгибе называется изогнутой осью или упругой линией.

Деформацию балок при изгибе будем описывать двумя параметрами:

прогиб (y) – смещение центра тяжести сечения балки по направлению, перпендикулярному

рис. 6.1 к ее оси.

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки!

Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f = y_max);

2) угол поворота сечения () – угол, на который сечение поворачивается относительно своего первоначального положения (или угол между касательной к упругой линии и первоначальной осью балки).

В общем случае величина прогиба балки в данной точке является функцией координаты zи может быть записана в виде следующего уравнения:

y = y(z)

Тогда угол между касательной к изогнутой оси балки и осью x будет определяться из следующего выражения:

.

Ввиду малости углов и перемещений, можем считать, что

угол поворота сечения есть первая производная от прогиба балки по абсциссе сечения.

6.2. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Исходя из физической природы явления изгиба, можем утверждать, что изогнутая ось непрерывной балки должна быть непрерывной и гладкой (неимеющей изломов) кривой. При этом деформация того или иного участка балки определяется искривлением его упругой линии, то есть кривизной оси балки.

рис. 6.2

Ранее нами была получена формула для определения кривизны бруса (1/ρ) при изгибе

.

С другой стороны, из курса высшей математики известно, что уравнение кривизны плоской кривой выглядит следующим образом:

.

Приравняв правые части данных выражений, получим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, которое называется точным уравнением изогнутой оси бруса

В координатной системе прогибов z0y, когда ось yнаправлена вверх, знак момента определяет знак второй производной от yпо z.

Интегрирование данного уравнения, очевидно, представляет некоторые трудности. Поэтому его, как правило, записывают в упрощенной форме, пренебрегая величиной в скобках по сравнению с единицей.

Тогда дифференциальное уравнение упругой линии балки будем рассматривать в виде:

(6.1)

Решение дифференциального уравнения (6.1) найдем, интегрируя обе его части по переменной z:

(6.2)

(6.3)

Постоянные интегрирования C₁, D₁ находят из граничных условий – условий закрепления балки, при этом для каждого участка балки будут определяться свои постоянные.

Рассмотрим процедуру решения данных уравнений на конкретном примере.

Дано:

Консольная балка длиной l, загруженная поперечной силой F. Материал балки (E), форму и размеры ее сечения (I_x) также считаем известными.

Определить закон изменения угла поворота (z) и прогиба y(z) балки по ее длине и их значения в характерных сечениях.

Решение

а) определим реакции в заделке

б) методом сечений определим внутренний изгибающий момент:

в) определим угол поворота сечений балки

Постоянную C₁ найдем из условий закрепления, а именно – в жесткой заделке угол поворота равен нулю, тогда



(0) = 0  C₁=0.

Найдем угол поворота свободного конца балки (z= l) :

Знак «минус» показывает, что сечение повернулось по часовой стрелке.

г) определим прогибы балки:

Постоянную D₁найдем из условий закрепления, а именно – в жесткой заделке прогиб равен нулю, тогда

y(0) = 0 + D₁ D₁= 0

Найдем прогиб свободного конца балки (x = l)

.

Знак «минус» показывает, что сечение опустилось вниз.

6.3. Универсальное уравнение упругой линии. Метод начальных параметров

Использование изложенной техники определения перемещений для балок, имеющих несколько участков, оказывается достаточно трудоемким, так как для n участков число произвольных констант (C и D) возрастает до 2n. Для уменьшения вычислительной работы в подобных случаях был разработан ряд методов, в том числе и метод начальных параметров, позволяющий при любом числе участков свести решение к отысканию всего двух констант – прогиба и угла поворота в начале координат.

Д

ля реализации метода начальных параметров необходимо при составлении уравнения моментов по участкам и интегрировании этого уравнения придерживаться следующих правил:

1) начало координат необходимо выбирать общим для всех участков в крайней левой точке балки;
2

) все составляющие уравнения моментов на предыдущем участке должны сохраняться неизменными в уравнении моментов последующих участков;

3) в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления

4) интегрировать уравнения на всех участках следует, не раскрывая скобок.

Р

ассмотрим некоторый отрезок балки, нагруженной произвольной системой сил и моментов (реакции опор также представляем как внешние силы), и составим для нее уравнение моментов в произвольном сечении с соблюдением указанных правил:

I	M = 0	0  z  a_i
II	M = M_i	a_i  z  b_i
III	M = M_i+F_i(z-b_i)	b_i  z  c_i	(6.4)
IV	M = M_i+F_i(z-b_i) +q_i	c_i  z  d_i
V	M = M_i+F_i(z-b_i) +q_i	z  d_i

Подставляя формулу (6.4) в выражения (6.2), можно записать

I	EI = C₁	0  z  a_i
II	EI = C₂+ M_i(z - a_i)	a_i  z  b_i
III	EI = C₃+ M_i(z - a_i)+F_i	b_i  z  c_i
IV	EI = C₄+ M_i(z - a_i)+F_i+ + q_i	c_i  z  d_i	(6.5)
V	EI = C₅+ M_i(z - a_i)+F_i+ + q_i-	z  d_i

Постоянные C_i(i = 1, 2, 3, 4, 5) нужно подобрать так, чтобы функция угла поворота  при переходе от участка к участку была непрерывной, т.е.:

 (a_i-0) = (a_i+0),  (b_i-0) = (b_i+0),  (c_i-0) = (c_i+0),  (d_i-0) = (d_i+0.

Отсюда следует, что С₁= С₂=С₃= С₄= С₅= С. Есл обозначить угол поворота сечения балки в начале координат  (0) =₀, то EI₀= C.

Интегрируя выражения (6.5) получим

I	EIy = D₁+ EI₀z	0  z  a_i
II	EIy = D₂+ EI₀z + M_i	a_i  z  b_i
III	EIy = D₂+ EI₀z + M_i + F_i	b_i  z  c_i
IV	EIy = D₂+ EI₀z + M_i + F_{i +} +q_i	c_i  z  d_i	(6.6)
V	EIy = D₂+ EI₀z + M_i + F_{i +} +q_i- q_i	z  d_i

Постоянные D_i(i = 1, 2, 3, 4, 5) нужно подобрать так, чтобы функция прогиба сечения балки y при переходе от участка к участку была непрерывной. Откуда следует условие:

D₁= D₂=D₃= D₄= D₅= D = EIy₀

Применяя принцип суперпозиции, запишем универсальное уравнение изогнутой оси балки в самом общем виде:

(6.7)

Дифференцируя уравнение (6.7) получим уравнения для определения углов поворота:

(6.8)

Метод определения прогибов и углов поворота балки, основанный на формулах (6.7-6.8) называют методом начальных параметров.

Отметим, что при решении задач удобно записать универсальные уравнения сначала для наиболее удаленного от начала координат участка, тогда уравнения для предыдущих участков легко получить, вычеркивая из полученного уравнения члены, учитывающие нагрузку на последующих участках.

Пример 6.1

Однопролётная балка с консолью находится под действием распределённой нагрузки q (рис. 6.3). Найти дифференциальное уравнение изгиба и найти прогибы и углы поворота в середине пролета балки и на конце ее консольной части методом начальных параметров.

Рис. 6.3

Решение

Составим уравнения равновесия:

откуда

R_A= 0,3qa, R_B = 3,1qa.

Для проверки правильности найденных значений реакции составляем третье уравнение – сумму проекций на вертикальную ось у:

Следовательно, реакции найдены верно.

Для вычисления деформации балки при помощи универсального уравнения распределенная нагрузка должна доходить до правого конца балки. Поэтому распределенную нагрузку продолжаем до рассматриваемого сечения и добавляем такую же, но противоположного направления (рис 6.4). Добавление такой же нагрузки в результате дает нагрузку, статически эквивалентную нулю, что не вызовет изменений в деформированном состоянии балки.