Лекция Глава 1
 Скачать 288.38 Kb.
|
|
Лекция 1. Глава 1. Векторная алгебра В этой главе мы приведем сведения о геометрических векторах и операциях над ними, включая векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов. §1.1. Основные определения. 1.1.1. Определение. Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек. Начало вектора также называется точкой его приложения. Замечание. Упорядоченным множеством называется множество элементов, взятых в определенном порядке. Обозначать векторы принято одним из следующих способов: ® АВ (А – начальная точка, В – конечная точка), AB uuur , a r , и т.д. Чтобы отличить векторную величину от скалярной величины, сверху используется черта (или стрелочка). Скалярной называется величина, характеризующаяся только своим численным значением (примеры: объем, температура, масса и т.д.). Для описания других объектов необходимо задавать не только их численное значение, но и направление (сила, скорость и т.д.); такие объекты называются векторными величинами. 1.1.2. Определение. Нулевым вектором или нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Замечание. Направление нулевого вектора не определяется (считается произвольным). Нуль-вектор будем обозначать 0 r 1.1.3. Определение. Длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора называется расстояние между его началом и его концом. Обозначение: а , ® АВ . Естественно, 0 0 = r 1.1.4. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых. Иными словами, векторы коллинеарны, если существует прямая, которой они параллельны. Коллинеарность обозначается символом параллельности: || a b r r . Нуль-вектор коллинеарен любому другому вектору, так как он не имеет определенного направления: 0 || a a " r r r . Ненулевые коллинеарные вектора, могут быть (a) сонаправленными (имеющими одинаковое направление), что мы будем обозначать a b r r ; (б) противонаправленными (имеющими противоположное направление), что мы будем обозначать a b ¯ r r Замечание. Отметим очевидные свойства отношений сонаправленности и противонаправленности: 1. Если a b r r , b c r r , то a c r r ; 2. Если a b r r , b c ¯ r r , то a c ¯ r r ; 3. Если a b ¯ r r , b c r r , то a c ¯ r r ; 4. Если a b ¯ r r , b c ¯ r r , то a c r r . 1.1.5. Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. 1.1.6. Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины. Замечание 1. Все нулевые векторы равны между собой. Замечание 2. Введем понятия связанного, скользящего и свободных векторов. Связанным называется вектор, имеющий фиксированное начало и конец. Скользящим вектором называется множество всех связанных векторов, равных данному, начала которых расположены на одной и той же прямой. Свободным вектором называется множество всех связанных векторов, равных данному. Таким образом, скользящий вектор может быть перенесен вдоль прямой, на которой он лежит, а свободный вектор может быть отложен из любой заданной точки. Понятие свободного вектора является наиболее общим, так как любой связанный или скользящий вектор может быть представлен в виде разности двух свободных векторов. 1.1.7. Определение. Ортом, или единичным вектором, называется вектор, длина которого равна единице. 1.1.8. Определение. Ортом вектора a r называется единичный вектор, сонаправленный с вектором a r . Орт вектора a r будем обозначать 0 a r . 1.1.9. Определение. Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, на которых расположены данные векторы. 1.1.10. Определение. Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых, называются ортогональными. 1.1.11. Определение. Вектор, имеющий одинаковый модуль с вектором a r и противонаправленный ему, будем называть противоположным вектору a r и обозначать a - r . Если a AB = uuur r , то a BA - = uuur r §1.2. Линейные операции над векторами. 1.2.1. Определение. Линейными операциями над векторами назовем операции сложения двух векторов и умножения вектора на скаляр (число). 1.2.2. Определение. Суммой a b + r r двух векторов a r и b r назовем вектор, идущий из начала вектора a r в конец вектора b r 1.2.3. Правила сложения векторов. b r a b + r r a r Рис. 1.1 а) Правило треугольника (Рис. 1.1) Вектор b r прикладывается к концу вектора a r . Тогда сумма векторов a b + r r будет вектор, идущий из начала вектора a r в конец вектора b r б) Правило параллелограмма (Рис. 1.2) Строим на векторах a r и b r параллелограмм. Тогда суммой векторов a b + r r будет диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов a r и b r Замечание. Правило треугольника легко распространить на случай большего количества суммируемых векторов. В этом случае это правило называется правилом многоугольника (Рис. 1.3 ). Обозначим множество свободных векторов через V 1.2.4. Теорема. (Свойства операции сложения векторов) 1. , a b V " Î r r a b b a + = + r r r r a r , b r (коммутативность); 2. , , a b c V " Î r r r ( ) ( ) a b c a b c + + = + + r r r r r r (ассоциативность); 3. a V " Î r 0 a a + = r r r ; 4. ( ) ( ) 0 a V a a a " Î $ - + - = r r r r r Доказательство: 1. Рассмотрим сумму векторов a r и b r , используя правило параллелограмма. Из Рис. 1.4 a b AB BC AC AD DC b a + = + = = + = + uuur uuur uuur uuur uuur r r r r 2. Из Рис. 1.5. ( ) ( ) ( ) ( ) ; a b c AB BC CD AB BD AD a b c AB BC CD AC CD AD + + = + + = + = + + = + + = + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r 3. Третье свойство очевидно: 0 a AB BB AB a + = + = = uuur uuur uuur r r r 4. Пусть a AB = uuur r Положим a BA - = uuur r Тогда ( ) 0. a a AB BA AA + - = + = = uuur uuur uuur r r r 1.2.5. Определение. Разностью b a - r r двух векторов a r и b r назовем вектор c r , для которого a c b + = r r r 1.2.6. Правило вычитания векторов. Разностью векторов b a - r r двух векторов a r и b r является вектор c r , идущий из конца второго вектора a r в конец первого вектора b r (Рис. 1.6). Замечание. a r b r a b + r r Рис. 1.2 1 a r 2 a r 3 a r n a r 1 2 3 n a a a a + + + + r r r r Рис. 1.3 b r a b + r r b r a r a r A B C D Рис. 1.4 b r a r A B C D Рис. 1.5 c r b r b a - r r a r Рис. 1.6 Очевидно, что ( ) b a b a - = + - r r r r . 1.2.7. Определение. Произведением вектора a r на действительное число a Î называется вектор b r , удовлетворяющий следующим условиям: 1. b a a = × r r ; 2. || b a r r ; 3. b a r r при 0 a > и b a ¯ r r при 0 a < 1.2.8. Теорема. (Критерий коллинеарности двух векторов). Для того, чтобы два вектора a r и b r были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число a , что b a a = r r . Доказательство: Необходимость. Пусть || a b r r . Рассмотрим вектор c a a = r r , где число a выберем следующим образом: если a b r r , то b a a = r r ; если a b ¯ r r ,то b a a = - r r . Очевидно, c b = r r , так как c b = r r и c b r r . Таким образом, мы указали число a , для которого b a a = r r . Достаточность. Если b a a = r r , то из определения 1.2.7, очевидно, вытекает коллинеарность векторов a r и b r 1.2.9. Теорема. (Свойства операции умножения вектора на число) 1. ( ) ( ) , a V a a a b a b ab " Î " Î = r r r (ассоциативность); 2. ( ) , a V a a a a b a b a b " Î " Î + = + r r r r (дистрибутивность относительно суммы скаляров); 3. ( ) , a b V a b a b a a a a " Î " Î + = + r r r r r r (дистрибутивность относительно суммы векторов); 4. a V " Î r 1 a a × = r r ; 5. a V " Î r ( ) 1 a a - × = - r r ; 6. a V " Î r 0 0 a × = r r ; 7. 0 0 a a " Î × = r r Доказательство этих свойств очевидно, читатели могут легко проделать его самостоятельно. 1.2.10. Определение. Делением вектора a r на действительное число 0 a ¹ называется его умножение на число 1 a - Замечание. Отметим, что орт вектора 0 a a a = r r r §1.3. Ортогональная проекция вектора на направление. 1.3.1. Определение. Осью будем называть прямую, на которой заданы начало отсчета, масштаб (единица длины) и положительное направление. 1.3.2. Определение. Ортогональной проекцией вектора AB uuur на направление (ось) l называется число, равное длине отрезка A 1 B 1 , где A 1 и B 1 - основания перпендикуляров, опущенных из концов вектора AB uuur на направление l, взятое со знаком плюс, если направление вектора 1 1 A B uuuur совпадает с направлением l и со знаком минус, если направление вектора 1 1 A B uuuur противоположно направлению l. Замечание. Проекция вектора AB uuur на направление l будем обозначать Пр l AB uuur . Например, на Рис. 1.7 1 1 Пр 0 l AB A B = + > uuur , 1 1 Пр 0 l CD D C = - < uuur 1.3.3. Свойства ортогональной проекции вектора на направление. 1.3.3.1. Теорема. (Свойство 1) Проекция вектора на направление равна произведению его длины на косинус угла между вектором и положительным направлением оси: Пр cos l AB AB j = × uuur uuur , где ( ) , AB j=Ð uuur l . 1.3.3.2. Теорема. (Свойство 2) Проекция суммы векторов на направление l равна сумме проекций слагаемых на это направление: ( ) Пр Пр Пр l l l a b a b + = + r r r r 1.3.3.3. Теорема. (Свойство 3) Проекция произведения вектора a r на число на направление l равна произведению этого числа на проекцию вектора a r на это направление: ( ) Пр Пр l l a a a a = r r Докажите эти теоремы самостоятельно. l B 1 C 1 A 1 B D 1 A C Рис. 1.7 Лекция 2. §1.4. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. 1.4.1. Определение. Линейной комбинацией векторов 1 2 , ,..., n a a a r r r с коэффициентами 1 2 , ,..., n a a a называется вектор 1 1 2 2 n n a a a a a a a = + + + r r r r . Здесь 1 2 , ,..., n a a a − заданные числа. 1.4.2. Определение. Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю 1 2 0 n a a a = = = = , то она называется тривиальной. Если же среди коэффициентов линейной комбинации найдется хотя бы один отличный от нуля, то она называется нетривиальной. 1.4.3. Определение. Система векторов 1 2 , ,..., n a a a r r r называется линейно зависимой, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, т.е. 2 1 2 1 1 2 2 1 , ,..., 0 ... 0. n n k n n k a a a a a a a a a a = $ Î ¹ + + + = å r r r r 1.4.4. Определение Система векторов 1 2 , ,..., n a a a r r r называется линейно независимой, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, т.е. 1 2 1 1 2 2 1 2 , ,..., 0 0. n n n n a a a a a a a a a a a a " Î + + + = Þ = = = = r r r r 1.4.5. Теорема. (Критерий линейной зависимости системы векторов линейного пространства) Для того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов являлся линейной комбинацией остальных векторов системы. Доказательство: Необходимость. Пусть система векторов 1 2 , ,..., n a a a r r r линейно зависима. Покажем, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Из определения линейной зависимости следует, что 2 1 2 1 1 2 2 1 , ,..., 0 ... 0. n n k n n k a a a a a a a a a a = $ Î ¹ + + + = å r r r r Предположим без ограничения общности, что 1 0 a ¹ (в противном случае векторы могут быть перенумерованы). Разделим последнее равенство на 1 a , получим: 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 0 ... , n n n n a a a a a a a a a a a a a a + + + = Þ = - - - r r r r r r r то есть вектор 1 a r является линейной комбинацией остальных векторов. Достаточность. Пусть один из векторов является линейной комбинацией остальных, например, 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 = 0. n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a - - - - + + + Þ + + + - = r r r r r r r r r Таким образом, получена нетривиальная (коэффициент при n a r отличен от нуля) линейная комбинация векторов 1 2 , ,..., n a a a r r r , равная нулю-вектору, следовательно, эти векторы линейно зависимы. 1.4.6. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов 1.4.6.1. Теорема. (Свойство 1) Всякая система векторов, включающая нулевой вектор, является линейно зависимой. Доказательство: Рассмотрим систему векторов 1 2 , ,..., ,0 n a a a r r r r . Очевидно, существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю-вектору: 1 2 0 0 ... 0 1 0 0. n a a a × + × + + × + × = r r r r r 1.4.6.2. Теорема. (Свойство 2) Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой. Доказательство: Пусть подсистема 1 2 , ,..., k a a a r r r системы векторов ( ) 1 2 , ,..., n a a a k n < r r r линейно зависима, тогда 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 , ,..., 0 0 0 ... 0 0. k k m k k m k k k n a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + $ Î ¹ + + + = Þ + + + + × + + × = å r r r r r r r r r r Таким образом, существует нетривиальная линейная комбинация векторов 1 2 , ,..., n a a a r r r , равная нулю-вектору, то есть система векторов 1 2 , ,..., n a a a r r r линейно зависима. 1.4.6.3. Теорема. (Свойство 3) Всякая подсистема линейно независимой системы векторов является линейной независимой. Доказательство: Используем доказательство от противного. Предположим, что у линейно независимой системы векторов 1 2 , ,..., n a a a r r r найдется линейно зависимая подсистема 1 2 , ,..., k a a a r r r . Тогда из предыдущего свойства 2 вытекает, что система векторов 1 2 , ,..., n a a a r r r линейно зависима, что противоречит условию теоремы. Нами получено противоречие, что и доказывает теорему. 1.4.7. Теорема. (О линейной зависимости двух векторов). Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Доказательство очевидным образом вытекает из критерия коллинеарности векторов 1.2.8. 1.4.8. Теорема. (О линейной зависимости трех векторов). Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Доказательство этой теоремы оставляется читателю. Следствие. Если векторы a r и b r неколлинеарны, и вектор c r компланарен с векторами a r и b r , то c r линейно выражается через векторы a r и b r ( c r является линейной комбинацией a r и b r ), т.е. существуют коэффициенты a и b такие, что с а b a b = × + × r r r . 1.4.9. Теорема. (О линейной зависимости четырех векторов). Четыре геометрических вектора линейно зависимы. Докажите эту теорему самостоятельно. Следствие. Если векторы a r , b r и c r некомпланарны, то любой вектор d r линейно выражается через векторы a r , b r и c r ( d r является линейной комбинацией a r , b r и c r ), т.е. существуют коэффициенты , , a b g такие, что d а b c a b g = × + × + × r r r r §1.5. Векторное пространство. Базис. 1.5.1. Определение. |