Лекция Глава 1
 Скачать 288.38 Kb.
|
|
двойным векторным произведением векторов , , a b c r r r . Отметим равенство ( ) ( ) , , , , a b c b a c c a b é ù é ù = - ë û ë û r r r r r r r r r Доказательство предоставляется читателю. §1.8. Смешанное произведение трех векторов. 1.8.1. Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор. Смешанное произведение векторов , , a b c r r r обозначается ; ; a b c r r r или abc r r r . ( ) ; ; , , a b c a b c é ù = ë û r r r r r r 1.8.2. Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов). Модуль смешанного произведения векторов , , a b c r r r равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов , , a b c r r r – правая, и отрицательно, если эта тройка – левая (если векторы , , a b c r r r компланарны, то их смешанное произведение равно нулю). пар V ; ; a b c = r r r Доказательство: V пар = ( ) осн [ , ] cos S h a b c j × = × × r r r . Справа в этом равенстве стоит модуль смешанного произведения. Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса: если тройка , , a b c r r r – правая, то векторы , a b é ù ë û r r и c r расположены в одном полупространстве относительно плоскости векторов a r и b r , 2 / 0 p < j £ , 0 cos > j ; если тройка , , a b c r r r – левая, то векторы ,ab é ù ë û r r и c r расположены в разных полупространствах относительно плоскости векторов a r и b r , p £ j < p 2 / , 0 cos < j ; если компланарны, то высота параллелепипеда равна нулю, и V пар =0. Следствие. Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, равен одной шестой модуля их смешанного произведения тетр 1 V ; ; 6 a b c = r r r c r b r cos h c j = × r a r , a b é ù ë û r r Рис. 1.11 j Правая тройка Левая тройка c r a r b r , a b é ù ë û r r , a b é ù ë û r r a r j Рис. 1.12 1.8.3. Теорема. (Свойства смешанного произведения). 1. Если один из трех сомножителей равен нулю-вектору, то их смешанное произведение равно нулю 0 0 0 ; ; 0 a b c a b c = Ú = Ú = Þ = r r r r r r r r r ; 2. Критерий компланарности трех векторов: для того, чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю; 3. ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; a b c b c a c a b b a c c b a a c b = = = - = - = - r r r r r r r r r r r r r r r r r r ; 4. ; ; ; ; a b c a b c a a = r r r r r r ; 5. ; ; ; ; ; ; a b c d a c d b c d + = + r r r r r r r r r r ; Доказательство: Свойства 1 и 4 следуют из определения смешанного произведения трех векторов 1.8.1 Свойство 3 следует из доказанной теоремы 1.8.2 . Действительно, при перестановке сомножителей в смешанном произведении, величина объема параллелепипеда сохраняется, а знак смешанного произведения определяется ориентацией тройки. Докажем свойство 5: ( ) ( ) ( ) ; ; ; ; , , , , , , ; ; ; ; ; ; ; ; a b c d c d a b c d a b c d a c d b c d a c d b a c d b c d é ù é ù é ù + = + = + = + = + = + ë û ë û ë û r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r Теперь докажем свойство 2. Необходимость. Пусть векторы , , a b c r r r компланарны. Тогда, параллелепипед, построенный на этих векторах, вырождается в плоскую фигуру, следовательно, его объем равен нулю, то есть ; ; 0 a b c = r r r Достаточность. Пусть ; ; 0 a b c = r r r . Тогда из определения смешанного произведения 1.8.1 ( ) , , , cos 0 a b c a b c j é ù é ù = × × = ë û ë û r r r r r r . Если , 0 a b é ù = ë û r r , то либо один из векторов a r и b r является нулевым, тогда векторы , , a b c r r r компланарны, либо a r и b r являются коллинеарными векторами, тогда векторы , , a b c r r r компланарны. Если 0 c = r , то вектор c r является нулевым, то есть векторы , , a b c r r r компланарны. Если, наконец, cos 0 j = , то это означает, что векторы , a b é ù ë û r r и c r ортогональны. Заметим, что из определения векторного произведения вектор , a b é ù ë û r r ортогонален также векторам a r и b r , а это означает, что векторы , , a b c r r r параллельны некоторой плоскости, то есть компланарны. Замечание. Докажем теперь свойство 6 векторного произведения: [ ] , , , a b c a c b c é ù é ù + = + ë û ë û r r r r r r r . Покажем, что векторы в левой и правой частях этого равенства имеют одинаковые координаты. Координаты вектора равны скалярным произведениям этого вектора на базисные орты (см. Замечание к п. 1.6.4. ). Рассмотрим данное векторное равенство в координатах. Используем свойство 5 смешанного произведения: ( ) [ ] ( ) ( ) , , ; ; ; ; ; ; , , , , a b c i a b c i a c i b c i a c i b c i é ù é ù + = + = + = + ë û ë û r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r Аналогично можно показать равенство остальных координат. Таким образом, координаты векторов в левой и правой частях равенства равны, следовательно, по теореме 1.5.5. о разложении вектора по базису, эти векторы равны. 1.8.4. Теорема. (Выражение скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе). Смешанное произведение трех векторов в ортонормированном базисе равно определителю, строками которого являются координаты этих векторов данном базисе. Доказательство: Пусть векторы a r , b r и c r имеют в ортонормированном базисе разложения x y z a a i a j a k = + + r r r r , x y z b b i b j b k = + + r r r r , x y z c c i c j c k = + + r r r r Тогда ( ) ; ; , , x y z x y z i j k a b c a b c а b b b c c c æ ö ç ÷ é ù = = = ç ÷ ë û ç ÷ ç ÷ è ø r r r r r r r r r r , y z x y x z x y z y z x z x y x y z y z x y x z x y z x y z y z x z x y x y z b b b b b b a i a j a k i j k c c c c c c a a a b b b b b b a a a b b b c c c c c c c c c æ ö = + + - + = ç ÷ ç ÷ è ø = - + = r r r r r r В завершение главы отметим утверждение, являющееся прямым следствием доказанной теоремы и критерия компланарности (свойство 2 смешанного произведения): Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, строками которого являются координаты этих векторов в ортонормированном базисе, равен нулю. |