Лекция Глава 1

• Название: Лекция Глава 1
• Дата: 12.04.2021
• Размер: 288.38 Kb.
• Имя файла: Angem_ch_1.pdf
• Тип: Лекция; #194076
• страница: 2 из 3

Векторным пространством называется любое множество векторов, для элементов которого а) определена операция сложения (т.е. для каждой пары векторов
a
r и b
r определен третий вектор
c
r
, являющийся их суммой:
c
r
=
a
r
+ b
r
); b) определена операция умножения вектора на действительное число (т.е. для каждого вектора
a
r и действительного числа a определен вектор
a
a r
; c) эти операции обладают установленными в параграфе 1.2. Линейные операции
над векторами свойствами:
1.Для любых векторов
a
r и b
r
a b b a
+ = +
r r
r r (коммутативность);
2. Для любых векторов
a
r
, b
r и
c
r
(
)
(
)
a b
c a
b c
+
+ = +
+
r r
r r
r r (ассоциативность);
3. Для любого вектора
a
r
0
a
a
+ =
r r
r ;
4. Для любого вектора
a
r существует противоположный вектор
( )
a
- r
такой, что
( )
0
a
a
+ - =
r r
r
5. Для любого вектора
a
r
( ) ( )
,
a
a
a b a b ab
"
Î
=
r r
(ассоциативность);
6. Для любого вектора
a
r
(
)
,
a
a
a
a b a b a
b
"
Î
+
=
+
r r
r
(дистрибутивность относительно суммы скаляров);
7. Для любых векторов
a
r и b
r
( )
a b
a
b
a a
a a
" Î
+
=
+
r r
r r
(дистрибутивность относительно суммы векторов);

8. Для любого вектора
1 a a
× =
r r
;
Примеры векторных пространств
V
1
– множество векторов, расположенных на прямой;
V
2
– множество векторов, расположенных на плоскости;
V
3
– множество векторов, расположенных в пространстве.
1.5.2. Определение.
Базисом векторного пространства назы7ается линейно независимая упорядоченная совокупность векторов такая, что любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.
1.5.3. Определение
. Размерностью векторного пространства называется количество векторов в любом его базисе.
Замечание.
Базисом пространства V
1
векторов, расположенных на прямой, является любой ненулевой вектор этого пространства. Размерность пространства V
1
равна 1.
Базисом пространства V
2
векторов, расположенных на плоскости, является любая пара некомпланарных векторов этого пространства. Размерность пространства V
2
равна 2.
Базисом пространства V
3
векторов, расположенных в пространстве, является любая тройка некомпланарных векторов. Размерность пространства V
3
равна 3.
1.5.4. Определение.
Пусть
1 2
3
, ,
e e e
r r r - базис пространства V
3
. Представление геометрического вектора
a
r в виде линейной комбинации векторов базиса
1 2
3
, ,
e e e
r r r
1 1 2 2 3 3
a
e
e
e
a a
a
=
+
+
r r
r r называется разложением вектора
a
r
по базису
1 2
3
, ,
e e e
r r r . Коэффициенты линейной комбинации
1 2
3
, ,
a a a называются координатами вектора
a
r
в базисе
1 2
3
, ,
e e e
r r r .
1.5.5. Теорема. (О разложении вектора по базису).
Всякий вектор может быть разложен по некоторому базису векторного пространства
единственным образом.
Доказательство:
От противного. Рассмотрим разложение некоторого вектора
a
r по произвольному базису
1 2
3
, ,
e e e
r r r не единственно:
1 1 2 2 3 3
a
e
e
e
a a
a
=
+
+
r r
r r ;
1 1 2 2 3 3
a
e
e
e
b b
b
=
+
+
r r
r r .
Вычитая равенства, получим
(
)
(
)
(
)
1 1
1 2
2 2
3 3
3 0
e
e
e
a b
a b
a b
-
+
-
+
-
=
r r
r r
Из определения 1.5.2 вытекает линейная независимость векторов
1 2
3
, ,
e e e
r r r .
Следовательно, лишь тривиальная их линейная комбинация равна нулевому вектору, откуда
1 1
2 2
3 3
,
,
a b a b a b
=
=
=
, что и требовалось доказать.
Замечание.

Из доказанной теоремы следует, что координаты данного вектора в заданном базисе определяются однозначно.
1.5.6. Теорема. (Линейные операции с векторами в координатной форме).
При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это же число.
Доказательство:
1. Докажем первую часть теоремы, касающуюся сложения векторов.
Пусть разложения векторов
a
r и b
r в базисе
1 2
3
, ,
e e e
r r r имеют вид:
1 1 2 2 3 3
a
e
e
e
a a
a
=
+
+
r r
r r ;
1 1 2 2 3 3
b
e
e
e
b b
b
=
+
+
r r
r r
Тогда
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
1 1
2 2
2 3
3 3
a b
e
e
e
e
e
e
e
e
e
a a
a b
b b
a b a
b a
b
+ =
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
r r
r r
r r
r r
r r
r
2. Аналогично получим
(
)
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
a
e
e
e
e
e
e
g g a a
a ga ga ga
=
+
+
=
+
+
r r
r r
r r
r
Следствие. Критерий коллинеарности векторов.
Для того, чтобы два геометрических вектора были коллинеарными, необходимо и
достаточно, чтобы их соответствующие координаты в некотором базисе были
пропорциональными.
Доказательство следует из теорем 1.5.6 и 1.2.8. Действительно, коллинеарность векторов
a
r и b
r согласно теореме 1.2.8 эквивалентна условию b
a
a
=
r r , что означает пропорциональность соответствующих координат в произвольном базисе.
1.5.7. Определение.
Базис векторного пространства, состоящий из попарно перпендикулярных векторов единичной длины, называется ортонормированным.
Замечание.
Ортонормированный базис в пространстве V
2 обычно обозначается ,
i j
r r
, в пространстве V
3
-
, ,
i j k
r r r
§1.6. Скалярное произведение двух векторов.
1.6.1. Определение.
Скалярным произведением векторов
a
r и b
r называется действительное число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов
a
r и b
r обозначается
( )
,
a b
r r
или a b
×
r r
. Итак,
( )
,
cos( , )
a b
a b
a b
a b
Ù
= × =
× ×
r r
r r
r r
r r

1.6.2. Теорема. (Свойства скалярного произведения двух векторов).
1.
( ) ( )
,
,
a b
b a
=
r r
r r ;
2.
(
)
2
,
a a
a
=
r r r (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);
3.
( )
,
Пр
Пр
a
b
a b
a
b
b
a
=
=
r r
r r
r r
r r ;
4.
(
)
( )
( )
,
,
,
a b c
a c
b c
+
=
+
r r
r r
r r r ;
5.
(
) ( )
,
,
a b
a b
a a
=
r r
r r
;
6.
( )
,0 0
a
=
r r
;
7. если a b
^
r r
, то
( )
,
0
a b
=
r r
;
8. если
( )
,
0
a b
=
r r
, то либо хотя бы один из векторов
a
r и b
r равен нулю, либо
a
r и b
r ортогональны.
Доказательство.
Первое и второе свойства непосредственно следуют из определения:
1. косинус – четная функция, поэтому неважно, как отсчитывается угол – от
a
r к b
r или от b
r к
a
r
;
2.
( )
2
,
cos0
a a
a a
a
=
=
r r r r r .
3. Используем первое свойство ортогональной проекции (Теорема 1.3.3.1)
( )
,
cos( , )
Пр
Пр .
a
b
a b
a b
a b
a
b
b
a
Ù
=
× ×
=
=
r r
r r
r r
r r
r r
r r
4. Используем предыдущее свойство 3 и второе свойство ортогональной проекции (Теорема
1.3.3.2):
(
)
(
)
( )
( )
,
Пр
Пр
Пр
,
,
c
c
c
a b c
c
a b
c
a
c
b
a c
b c
+
=
+
=
+
=
+
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r r .
5. Используем свойство 3 и третье свойство ортогональной проекции (Теорема 1.3.3.3):
(
)
( )
( )
,
Пр
Пр
,
b
b
a b
b
a
b
a
a b
a a
a a
=
=
=
r r
r r
r r
r r
r r
Шестое, седьмое и восьмое свойства очевидны (если
0
b
=
r
, то
0
b
=
r
; если a b
^
r r
, то cos( , ) 0
a b
Ù
=
r r
; если произведение равно нулю, то необходимо один из сомножителей, входящих в определение (
a
r
, либо b
r
, либо cos( , )
a b
Ù
r r
) равен нулю).
Замечание 1.
Так как направление нуль-вектора произвольно, то восьмое свойство можно переформулировать как необходимое и достаточное условие ортогональности векторов
:
два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно
нулю.
Замечание 2.

Механический смысл скалярного произведения заключается в следующем: если материальная точка под воздействием силы F
r перемещается на вектор
s
r
, то совершаемая этой силой работа равна скалярному произведению F
r на
s
r
:
( )
,
A
F s
=
r r
1.6.3. Теорема. (Выражение скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе).
В ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных
произведений их соответствующих координат.
Доказательство:
Пусть в ортонормированном базисе
, ,
i j k
r r r заданы векторы
x
y
z
a a i
a j a k
=
+
+
r r
r r
,
x
y
z
b b i
b j b k
=
+
+
r r
r r
Заметим, что вследствие ортонормированности базиса
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
,
,
,
1,
,
,
,
,
,
,
0.
i i
j j
k k
i j
i k
j i
j k
k i
k j
=
=
=
=
=
=
=
=
=
r r r
r r
r r r r r r r r
r r r
r r
Тогда
( ) (
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
x
y
z
x
y
z
x x
x y
x z
y x
y y
y z
z x
z y
z z
x x
y y
z z
a b
a i
a j a k b i
b j b k
a b i i
a b i j
a b i k
a b j i
a b j j
a b j k
a b k i
a b k j
a b k k
a b
a b
a b
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
r r
r r
r r
r r
r r r r r
r r
r r
r r r r r r r
r r
Следствие 1. (Вычисление длины вектора в ортонормированном базисе).
( )
2 2
2
,
x
y
z
a
a a
a
a
a
=
=
+
+
r r r
Следствие 2. (Вычисление координат орта вектора в ортонормированном базисе)
0 2
2 2
2 2
2 2
2 2
y
x
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
a
a
a
a
a
i
j
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
r r
r r
r r
1.6.4. Вычисление ортогональной проекции вектора на направление в ортонормированном базисе
Из свойства 3 скалярного произведения (Теорема 1.6.2)
( )
2 2
2
,
Пр
x x
y y
z z
b
x
y
z
a b
a b
a b
a b
a
b
b
b
b
+
+
=
=
+
+
r r
r r
r
Замечание.
Если b i
=
r r
, то
( )
,
Пр
x
i
a i
a
a
i
=
=
r r
r r
r
. Аналогично,
Пр
, Пр
y
z
j
k
a a
a a
=
=
r r
r r
. Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе являются его ортогональными проекциями на направления, заданные соответствующими ортами.

1.6.5. Вычисление угла между векторами в ортонормированном базисе.
Из определения скалярного произведения получим
2 2
2 2
2 2
( , )
cos( , )
x x
y y
z z
x
y
z
x
y
z
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
Ù
+
+
=
=
×
+
+
+
+
r r
r r
r r
, откуда:
2 2
2 2
2 2
( , ) arccos
x x
y y
z z
x
y
z
x
y
z
a b
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
Ù
æ
ö
+
+
ç
÷
=
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
r r
1.6.6. Определение.
Косинусы углов, которые отличный от нуля вектор образует с векторами ортонормированного базиса, называются направляющими косинусами.
2 2
2 2
2 2
2 2
2
( , )
( , )
( , )
cos
, cos
, cos
y
x
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
a
a i
a
a j
a k
a
a i
a j
a k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a b
g
=
=
=
=
=
=
×
×
×
+
+
+
+
+
+
r r
r r
r r
r r
r r
r r
Замечание 1.
Легко видеть, что направляющие косинусы удовлетворяют соотношению
1
cos cos cos
2 2
2
=
+
+
g b
a
Замечание 2.
Из полученных выражений для направляющих косинусов видно, что они совпадают с координатами орта вектора.
0 2
2 2
cos cos cos
x
y
z
x
y
z
a i
a j a k
a
a
i
j
k
a
a
a
a
a b
g
+
+
=
=
=
× +
× +
×
+
+
r r
r r
r r
r r
r
Лекция 3.
§1.7. Векторное произведение двух векторов.
1.7.1. Определение.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при приведении этих векторов к общему началу ближайший поворот от первого вектора ко второму виден с конца третьего вектора совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
1
a
r
Рис. 1.8 2
a
r
3
a
r

Например, на Рис. 1.8. показана правая тройка векторов
1 2
3
, ,
a a a
r r r .
Замечание 1.
Цикличная перестановка векторов не меняет ориентации тройки; (то есть после цикличной перестановки она остается либо правой, либо левой).
Замечание 2.
Тройки компланарных векторов не относят ни к правым, ни к левым.
Замечание 3.
Стандартный ортонормированный базис
, ,
i j k
r r r пространства V
3 задается правой тройкой ортов.
1.7.2.
Определение.
Векторным произведением векторов
a
r и b
r называется вектор
c
r
, длина и направление которого определяются следующими условиями:
1. sin( , )
c
a b
a b
Ù
=
× ×
r r
r r
r
;
2
,
c
a c
b
^
^
r r
r r
;
3.
a
r
, b
r
,
c
r
- правая тройка (если векторы
a
r и b
r не коллинеарны).
Векторное произведение векторов
a
r и b
r обозначается ,
a b
é
ù
ë
û
r r
или a b
´
r r
1.7.3. Теорема. (Геометрический смысл векторного произведения двух векторов).
Длина векторного произведения векторов
a
r
и b
r
равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах.
Доказательство очевидно.
1.7.4. Механический смысл векторного произведения двух векторов.
Если к точке А приложена сила F
r
, то момент этой силы относительно точки О равен
( )
,
O
M
F
OA F
é
ù
= ë
û
uuur r
r
(Рис. 1.9).
1.7.5. Теорема. (Свойства векторного произведения двух векторов).
1. ,
,
a b
b a
é
ù
é
ù
= -
ë
û
ë
û
r r
r r ; (антикоммутативность)
2.
[ ]
,
0
a a
=
r r r
;
3. ,
0 ||
a b
a b
é
ù = Û
ë
û
r r
r r
r
;
4. ,0 0
a
é
ù =
ë
û
r r
r
;
5.
,
,
a b
a b
a a
é
ù
é
ù
=
ë
û
ë
û
r r
r r
;
a
r
b
r
,
a b
é
ù
ë
û
r r
,
b a
é
ù
ë
û
r r
Рис. 1.10
А
F
r
О
Рис. 1.9

6.
[ ]
,
,
,
a b c
a c
b c
é
ù
é
ù
+
=
+
ë
û
ë
û
r r
r r
r r r .
Доказательство:
Свойства 2, 3, 4 и 5 вытекают непосредственно из определения векторного произведения
1.7.2. Свойство 1 также очевидно, поскольку при перемене порядка сомножителей векторы
a
r
, b
r и
,
b a
é
ù
ë
û
r r
, очевидно, образуют левую тройку (см. Рис. 1.10). Свойство 6 будет доказано позднее, после свойств смешанного произведения трех векторов.
1.7.6. Теорема. (О векторном произведении векторов ортонормированного базиса).
,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
i j
k
j k
i
k i
j
j i
k
k j
i
i k
j
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
=
=
=
= -
= -
= -
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
r r
r r
r r
r r r
r r
r r r r
r r
r
Доказательство:
Докажем первое равенство
,
i j
k
é
ù =
ë
û
r r r
. Рассмотрим вектор
,
c
i j
é
ù
= ë û
r r r
. Из определения векторного произведения 1.7.2 1,
, .
c
c
i c
j
=
^
^
r r
r r
r
Так как векторы , ,
i j c
r r r образуют правую тройку, то c k
=
r r
Доказательство остальных равенств полностью аналогично.
1.7.7. Теорема. (Выражение скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе).
Координаты векторного произведения векторов
a
r
и b
r
равны алгебраическим дополнениям
элементов первой строки символического определителя
x
y
z
x
y
z
i j k
a a a
b b b
r r r
Доказательство:
Пусть векторы
a
r и b
r имеют в ортонормированном базисе разложения
x
y
z
a a i
a j a k
=
+
+
r r
r r
,
x
y
z
b b i
b j b k
=
+
+
r r
r r
Тогда по свойству 6 векторного произведения
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
x
y
z
x
y
z
x x
x y
x z
y x
y y
y z
z x
z y
z z
a b
a i
a j a k b i
b j b k
a b i i
a b i j
a b i k
a b
j i
a b
j j
a b j k
a b k i
a b k j
a b k k
é
ù é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
=
+
+
+
+
=
+
+
+
ë
û
ë
û
ë
û ë
û
ë
û
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
+
+
+
+
+
+
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
r r
r r
r r
r r
r r r r r
r r
r r
r r r r r r r
r r
Используя предыдущую теорему 1.7.7, и очевидные равенства ,
,
,
0,
i i
j j
k k
é
ù
é
ù é
ù
=
=
=
ë
û ë
û ë
û
r r r
r r r r получим
(
)
(
)
(
)
,
y z
z y
z x
x z
x y
y x
x
y
z
x
y
z
i j k
a b
a b
a b i
a b
a b j
a b
a b k
a a a
b b b
é
ù =
-
+
-
+
-
=
ë
û
r r r r
r r
r r
1.7.8. Двойное векторное произведение.

Вектор
,
,
a b c
é
ù
é
ù
ë
û
ë
û
r r
r называется