Векторное и смешанное произведения векторов. Векторное и смешанное произведения векторов
 Скачать 130.34 Kb.
|
|
П1. Векторное произведение и его основные свойства Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями: 1). Модуль вектора равен , где - угол между векторами и ; 2). Вектор перпендикулярен к каждому из векторов и ; 3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ). Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно: Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и : Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами: , , то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой или П.2. Смешанное произведение трех векторов Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись , , означает, что вектор считается первым, - вторым, - третьим. Тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы , , расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой. Смешанным произведенем трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть . Имеет место тождество , ввиду чего для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ . Таким образом, , . Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , взятого со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы , , компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение равно нулю; иначе говоря, равенство есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов , , . Если векторы , , заданы своими координатами: , , , то смешанное произведение определяется формулой Пример. Найти объем пирамиды , если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2). Найдем координаты векторов: Объем пирамиды |