Лекция интеграл лебега и пространства лебега

• Название: Лекция интеграл лебега и пространства лебега
• Дата: 06.09.2020
• Размер: 197.06 Kb.
• Имя файла: fanI3.pdf
• Тип: Лекция; #136870

Лекция ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА
Интеграл Лебега, конечно, строится не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки
(X
,
A
µ
,
µ
∗
)
мы будем писать просто, понимая под
A
уже полученную
σ
-алгебру измеримых множества под
µ
уже продолженную по Лебегу меру 1. Измеримые по Лебегу функции
Итак, пусть у нас имеется измеримое пространство с мерой. Дадим определение.
О пределен и е 1 . Функция (x) : X → называется измеримой, если для всякого ∈ множество ∈ X : f(x) < c}
принадлежит
A
.
Справедлива следующая лемма:
Л ем м а 1 . Для измеримой функции
f
следующие множества
измеримы:
{x : c
1 6
f (x) < c
2
}
,
{x : f(x) > c
2
}
,
{x : c
1
< f (x) 6 c
2
}
,
{x : f(x) 6 c
1
}
,
{x : c
1
< f (x) < c
2
}
,
{x : c
1 6
f (x) 6 Доказательство Действительно, пусть f (измерима, тогда {x : f(x) < c
1
}
,
A
2
= {x : f(x) < c
2
} ∈ A
,
B
n
= {x : f(x) < c
1
+
1
/n} ∈ Тогда измеримость указанных множеств вытекает из следующих формул Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега {x : f(x) < c
2
} \ {x : f(x) 6 c
1
} = {x : c
1
< f (x) < c
2
}
,
{x : c
1 6
f (x) 6 c
2
} = (X\A
1
) ∩ B ∈ При этом мы пользуемся замкнутостью
σ
-алгебры относительно операции счетного пересечения (см. задачу 3 лекции-семинара Лемма доказана ПРИМЕР. Боре лев с кием ноже ст в аи непрерывные функции. Рассмотрим все открытые множества в пространстве, те. такие множества, которые вместе с каждой точкой x
0
∈ содержат некоторый шар) :=

x ∈ R
N
: |x − x
0
| < r
,
r Рассмотрим алгебру, порожденную всеми открытыми множествами из, те. рассмотрим всевозможные конечные их пересечения, дополнения до всего пространства
R
N
и конечные объединения, а затем добавим результаты этих операций к семейству, которое и обозначаем через. Однако нам нужно из алгебры
B(R
N
)
построить такое расширение, которое было бы замкнуто относительно операций счетного объединения и пересечения. Такое расширение и есть так называемая борелевская
σ
-алгебра
B
(R
N
)
Дадим определение борелевской
σ
-алгебры в
R
N
О пределен и е 2 . Минимальная
σ
-алгебра, порожденная всеми открытыми множествами из, называется борелевской
σ
-
алгеброй и обозначается
B
(R
N
)
.
Справедлива следующая важная лемма:
Л ем м а 2 . Необходимыми достаточным условием измеримости функции (является следующее) ∈ для всех ∈ Доказательство Достаточность. Поскольку все множества вида
(−∞
,
c)
содержат- ся в борелевской
σ
-алгебре, измеримость функции непосредственно следует из (Необходимость. Пусть f (измерима. Введем следующее обозначение Докажем, что
E
—
σ
-алгебра.
Действительно, (смотри задачу 4 параграфа 7 лекции-семинара с. 80 части 2 тома I))
f
−1
+∞
[
n=1
B
n
!
=
+∞
[
n=1
f
−1
(B
n
) ∈ E
,
B
n
∈ B(R
1
)
,
f
−1
R
1
\B


= X\f
−1
(B) ∈ E.

2. Интеграл Лебега
3
Наконец, в силу результатов леммы 1 множество
E
содержит все открытые множества. Следовательно,
E
—
σ
-алгебра, а поскольку это минимальная
σ
-алгебра, содержащая все открытые множества,
то
E
⊇ Лемма доказана Утверждение. Всякая непрерывная функция измерима.
✷
Согласно определению измеримости, требуется доказать, что для всякого c ∈ множество def
= измеримо по Лебегу. Нов силу непрерывности функции f (множество открыто как прообраз открытого множества (см. теорему лекции 4). А всякое открытое множество на прямой измеримо по
Лебегу (доказано в конце семинара-лекции Нетрудно доказать простейшие свойства измеримых функций, а именно, что измеримые функции образуют линейное пространство.
Кроме того, композиция ◦ f непрерывной функции, которая,
как мы доказали, тоже измерима, и измеримой функции f (является тоже измеримой. Произведение измеримых функций измеримо. Частное (двух измеримых функций измеримо при естественном условии, что g(x) 6=
0
§ 2. Интеграл Лебега
Для дальнейшего нам необходимо ввести так называемые простые функции. Пусть i=1
⊂ а это характеристическая функция множества, т. е.
χ
A
i
(x)
def
=

1
при x ∈ при x /
∈ Дадим определение.
О пределен и е 3 . Функция) :=
n
X
i=1
c i
χ
A
i
(x)
,
c i
∈ называется простой.
Очевидно, что простые функции измеримы, поскольку измеримы множества в определении простой функции. Заметим теперь, что всякую функцию f (x) : X → R
1

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега можно представить в следующем виде (x) = f
+
(x) − где f
+
(x) := max {f(x)
, 0
}
,
f
−
(x) := max {−f(x)
, 0
} Очевидно, что измеримость функции f (эквивалентна измеримости каждой из функций и Теперь мы в состоянии дать определение интеграла Лебега.
Сначала определим интеграл Лебега от простой функции следующим образом) dµ
def
=
n
X
i=1
c Теперь предположим, что измеримая функция f (является неотрицательной. Тогда определим интеграл Лебега от этой функции следующим образом (x)µ(dx)
def
=
= sup h



Z
X
h(x) dµ | h(x) >
0 и f (x) > h(x) п. вс.



(2.4)
Здесь мы ввели новое понятие п. вс.», которое означает, что множество, на котором не выполняется некоторое свойство имеет нулевую меру. Теперь осталось распространить интеграл Лебега на случай произвольных измеримых функций. Делается это следующим образом (x) dµ :=
Z
X
f
+
(x) dµ −
Z
X
f
−
(x) Несложно доказать, что множество интегрируемых по Лебегу
функций образует линейное пространство. Нулем этого линейного пространства является функция, тождественно равная нулю на множестве. Это приводит к некоторым неудобствам, о которых (и способе их решения) сказано ниже.
Заметим, что в отличие от интеграла Римана для интегрируемости по Лебегу функции f (справедливо следующее необходимое и достаточное условие:
Т е орем а 1 . Если (x)
— измеримая функция, то (x) ∈
∈ тогда и только тогда, когда ∈ L(X
,
µ)
. Причем

3. Сходимости почти всюду и по мере
5
имеет место следующее неравенство (x) dµ
6
Z
X
|f(x)| Доказательство Ясно, что если функция f (измерима, то для всех c ∈ измеримо множество ∈ X : −c < f(x) < c} = {x ∈ X : |f(x)| < Следовательно, функция
|f(x)|
тоже измерима. Наконец, функция f (интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируемы функции и f
−
(x)
. Кроме того, имеет место оценка (x) dµ
=
Z
X
f
+
(x) dµ −
Z
X
f
−
(x) dµ
6 6
Z
X
f
+
(x) dµ +
Z
X
f
−
(x) dµ
=
Z
X
|f(x)| Теорема доказана Из теоремы 1 и определения (2.4) следует, что если функция измерима 6 g(x) п. в. и интегрируема по Лебегу, то тоже интегрируема. В самом деле, для
|f|
точная верхняя грань в (конечна (она не превосходит таковой для g
), а тогда в силу теоремы функция также интегрируема. Это соображение понадобится нам в теореме 6, да и важно само по себе.
Отметим, что интегрируемые по Лебегу функции называются также суммируемыми 3. Сходимости почти всюду и по мере
До сих пор в курсе вещественного анализа у нас имелось два вида сходимостей функциональных последовательностей n
(x)}
: поточеч- ная и равномерная. В связи с введением измеримого пространства с мерой, те. тройки, можно ввести еще два типа сходимостей:
сходимость по мере
µ
и сходимость
µ
-почти всюду.
О пределен и е .
Функциональная
последовательность
{f называется сходящейся по мере
µ
к функции (x)
, если для
всякого
c >
0 имеет место предельное равенство n→+∞
µ ({x ∈ X : |f n
(x) − f(x)| > c}) Определение .
Функциональная
последовательность
{f называется сходящейся
µ
-почти всюду к функции (x)
,

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега
если множество точек из, на которых последовательность не сходится к функции (имеет нулевую
µ
-меру.
Возникает естественный вопрос о том, как связаны эти четыре типа сходимостей функциональных последовательностей. Имеет место следующая цепочка связей этих понятий:
равномерная сходимость
⇒
поточечная сходимость
⇒
⇒
сходимость п. вс.
⇒
сходимость по мере
Оказывается, что есть в некотором смысле и обратная связь этих понятий. Так, оказывается, что у всякой сходящейся по мере функциональной последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся почти всюду.
Кроме того, справедлива известная теорема Д. Ф. Егорова.
Т е орем а Егоров а . Для каждой почти всюду сходящейся
функциональной последовательности измеримых функций для всякого >
0 найдется такое подмножество множества, что \ X
ε
) 6 и сходится равномерно на
X
ε
.
Д ока за тел ь ст во Доказательство проведем в несколько шагов.
Шаг 1. По определению сходимости почти всюду найдется такое измеримое множество ⊂ X
, что f
n
(x) → f(x)
поточечно на) = Заметим, что f (измерима на. Действительно, при любом c ∈ имеем (проверить самостоятельно ∈ X : f(x) < c
=
[
k∈N
[
l∈N
\
n>l

x ∈ X : f n
(x) < c откуда с учетом замкнутости
A
относительно счетных объединений и пересечений ∈ X : f(x) < c
∈ С другой стороны, поскольку) =
0, то ∈ A
, поэтому ({x ∈ X : f(x) < c}) = µ

x ∈ X : f(x) < Следовательно ∈ X : f(x) < c} =

x ∈ X : f(x) < c
∪

x ∈ X\X : f(x) < c
∈ Шаг 2. Поскольку и f (измеримы на, то def
=

x ∈ X : |f i
(x) − f(x)| <
1
m

∈ A ⇒ B
nm
:=
\
i>n
A
im
∈ A.

4. Свойства интеграла Лебега
7
Шаг 3. При каждом m ∈ справедливо очевидное вложение и представление B
n+1,m
,
X Действительно, либо x ∈ X\X
, либо x ∈ X
. И при любом фиксированном найдется такой номер n
0
∈ N
, что при всех i > n
0
|f(x) − f i
(x)| <
1
m
,
i > n
0
⇒ x ∈ B
n
0
m
⇒ X Шаг 4. Пусть >
0 — фиксированное. Тогда для каждого m ∈ в силу (3.2) с учетом (3.1) найдется такое n = n(m) ∈ N
, что При этом, конечно Справедлива следующая цепочка) 6 µ(X\X) + µ(X\X
ε
) = µ(X\X
ε
) =
= µ
X\
+∞
\
m=1
B
n(m)m
!
= Причем сходимость на множестве
X
ε
равномерная:
f n
(x) ⇒ f (x)
на
X
ε
,
т. к. по самому построению (3.3) множества
X
ε
имеем:
|f i
(x) − f(x)| 6 1
m при всех x ∈ X
ε
,
i > Теорема доказана Замечание. Отметим, однако, что можно привести пример функциональной последовательности n
(x)}
, сходящейся по мерено не сходящейся почти всюду 4. Свойства интеграла Лебега
Докажем сначала
σ
-аддитивность интеграла Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега
Т е орем а 2. Если =
S
n
A
n
— конечное или счетное объединение
непересекающихся измеримых множеств и функция (интегрируема по множеству, то верно равенство (x) dµ =
X
n
Z
A
n f (x) причем из существования интеграла в левой части следует существование всех интегралов в правой части и сходимость ряда.
Д ока за тел ь ст во Докажем теорему в несколько шагов.
Шаг 1. Сначала докажем аддитивность интеграла Лебега. Пусть = A
1
∪ A
2
,
A
1
∩ A
2
= ∅
,
A
1
,
A
2
∈ Сначала предположим, что f (x) >
0 почти всюду на. Заметим, что любую простую функцию h(x)
на
A
можно представить в виде h(x) если x ∈ если x ∈ где и h
2
(x)
— простые функции на
A
1
и
A
2
соответственно.
Поэтому согласно определению интеграла Лебега от неотрицательной функции f (получим равенство (x) dµ =
Z
A
1
f (x) dµ +
Z
A
2
f (x) Обобщение на произвольную (не знакопостоянную) функцию очевидно.
Шаг 2. Докажем теперь счетную аддитивность интеграла Лебега.
Пусть
A =
+∞
[
n=1
A
n
,
A
n
∈ A
,
A
n
1
∩ A
n
2
= ∅
,
n
1 6= Тогда =
+∞
[
n=1
A
n
= B
N
∪ C
N
,
B
N
=
N
[
n=1
A
n
,
C
N
= Докажем, что если f (измерима и интегрируема на множестве, то f (x) dµ →
+∞
X
n=1
Z
A
n f (x) dµ = I =
Z
A
f (x) dµ

4. Свойства интеграла Лебега
9
при
N → +Справедлива следующая цепочка неравенств I| =
Z
C
N
f (x) dµ
6
Z
C
N
|f(x)| Докажем, что последний интеграл стремится к нулю при → +С этой целью заметим, что в силу интегрируемости функции f (x)
на
A
для любого >
0 найдется такая неотрицательная простая функция, что − h
ε
(x)] dµ 6
ε
2
,
h
ε
6
M (Кроме того, при этом найдется такое достаточно большое ∈ N
, что (ε)µ(C
N
) 6
ε
2
,
Z
C
N
h
ε
dµ 6 M (ε)µ(C
N
) Следовательно dµ 6 Теорема доказана Теперь докажем теорему о достаточном условии интегрируемости интеграла Лебега.
Т е орем а 3. Если =
S
n
A
n
— конечное или счетное объединение
непересекающихся измеримых множеств, функция (интегрируема по каждому из множеств
A
n
и ряд сходится, то
f
интегрируема на
A
и верно равенство (x) dµ =
X
n
Z
A
n f (x) Доказательство Для доказательства этой теоремы достаточно воспользоваться неравенством Теорема доказана Справедлива важная теорема (неравенство Чебыш¨ева).
Т е орем а 4. Пусть) >
0 — суммируемая на
A
функция,
c >
0 произвольное положительное число. Тогда ∈ A | ϕ(x) > c} 6 1
c
Z
A
ϕ(x) dµ.

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега
Д ока за тел ь ст во Для доказательства обозначим {x ∈ A | ϕ(x) > c}
. Прежде всего следует заметить, что множество
A
′
измеримо в силу измеримости функции, которая, напоминаем, является необходимым условием интегрируемости. Теперь в силу только что установленных свойств аддитивности интеграла Лебега имеем) dµ =
Z
A
′
ϕ(x) dµ +
Z
A\A
′
ϕ(x) dµ >
Z
A
′
ϕ(x) dµ > Осталось лишь разделить полученное неравенство на положительное число Теорема доказана Следующее свойство используется при доказательстве теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла и носит название теоремы о абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Т е орем а 5. Если функция (интегрируема на множестве, то
для любого >
0 найдется такое >
0, что для всякого измеримого
множества
e ⊂ с) < имеет место оценка f (x) dµ
< Доказательство Легко видеть, что для ограниченной функции утверждение теоремы тривиально. Действительно, в случае 6 справедливо неравенство В общем же случае положим {x ∈ A | n 6 |f(x)| < n +
1
}
,
B
N
=
N
[
n=0
A
n
,
C
N
= A \ причем ясно, что A
n
2
= при n
1 6= В силу теоремы о
σ
-аддитивности интеграла Лебега имеем dµ =
+∞
X
n=0
Z
A
n
|f(x)| dµ

5. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
11
и, в частности, ряд в правой части сходится. Тогда можно выбрать такое число, что dµ =
Z
C
N
|f(x)| dµ Выберем еще ∈

0;
ε
2
(N +Тогда при) < δ
,
e ⊂ имеем f (x) dµ
6
Z
e
|f(x)| dµ =
Z
e∩B
N
|f(x)| dµ +
Z
e∩C
N
|f(x)| dµ <
ε
2
+
ε
2
= где первое слагаемое мы оценили в силу ∩ B
N
) 6 µ(e) <
ε
2
(N +
1
)
,
|f(x)|
B
N
< N +а второе — в силу условия Теорема доказана Замечание. На
σ
-алгебре
A
семейства подмножеств множества можно ввести помимо внешней меры Лебега
µ
ещ¨е много других мер, порожденных почти всюду неотрицательными измеримыми и интегрируемыми функциями f (последующей формуле (x) dµ
,
A ∈ С учетом теоремы 3 функция множеств
ϕ(A)
является счетно- аддитивной мерой на семействе. При этом в силу теоремы 5 эта мера является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега, т. е.
для любого множества
A
с
µ(A) =
0 мера) Известен важный результат — теорема Радона–Никодима о том, что, наоборот, для любой абсолютно непрерывной меры
ϕ
относительно меры
µ
найд¨ется такая измеримая интегрируемая функция f (x)
, что имеет место (4.4).
§ 5. Теорема Лебега о предельном переходе под
знаком интеграла
В этом параграфе мы докажем сначала важный результат, называемый теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, а затем мы докажем еще два утверждения лемму Фату и теорему Беппо
Леви. Напомним, что мы рассматриваем случай) < Теорема. Пусть выполнены следующие свойства. последовательность измеримых функций сходится почти
всюду на множестве
A
к функции

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега. для всех
n
всюду на множестве
A
имеет место неравенство n
(x)| 6 ϕ(x)
;
3. функция
ϕ(x)
интегрируема по множеству
A
.
Тогда
1. функции
f
и
f при всех
n
интегрируемы на. имеет место предельное равенство n
(x) dµ →
Z
A
f (x) Доказательство Прежде всего понятно, что предельная функция f (измерима. Это было доказано на шаге 1 доказательства теоремы Егорова. Кроме того,
из оценки n
(x)| 6 для всех x ∈ предельным переходом получим, что 6 для всех x ∈ Из этих неравенств и следует интегрируемость функций и f (Пусть задано произвольное >
0. В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега существует такое >
0, что для любого измеримого множества ⊂ с) < выполняется) dµ Нов силу теоремы Егорова это множество
B
можно выбрать таким образом, чтобы n
⇒
f равномерно на A \ B
,
A\A
ε
= Тогда мы можем выбрать такое ∈ N
, что при любом n > и при любом x ∈ выполнено неравенство) − f n
(x)| Но при этом сразу получаем, что при всех n > N
Z
A
f (x) dµ −
Z
A
f n
(x) dµ
6 1
) Если нужно мы можем в качестве B взять его подмножество. Все неравенства сверху останутся справедливыми

5. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла 6
Z
A
ε
(f (x) − f n
(x)) dµ
+
Z
B
f (x) dµ
+
Z
B
f n
(x) dµ
6 6
Z
A
ε
(f (x) − f n
(x)) dµ
+
Z
B
ϕ(x) dµ+
+
Z
B
ϕ(x) dµ 6
ε
2
+
ε
4
+
ε
4
= Теорема доказана Справедлива следующая теорема Беппо Леви:
Т е орем а 7. Пусть всюду на
A
выполнены неравенства) 6 f
2
(x) 6 ... 6 f n
(x) 6 причем функции измеримы и интегрируемы на
A
и
Z
A
f n
(x) dµ 6 Тогда. почти всюду на
A
существует конечный предел (x)
def
=
lim n→+∞
f n
(x)
,
(5.8)
2. функция
f
измерима и интегрируема на
A
и
Z
A
f n
(x) dµ →
Z
A
f (x) Доказательство Ограничимся случаем, когда f
1
(x) >
0, потому что общий случай можно свести к нему введением функций e
f n
(x) = f n
(x) − f
1
(x)
,
n ∈ Рассмотрим множество = {x ∈ A | f n
→ +Нужно доказать, что множество
Ω
имеет нулевую меру Лебега
µ
.
✷
Обозначим через f (x)
поточечный предел последовательности,
где он существует n
(x) → f(x)
,
x ∈ A.

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега
Введ¨ем следующие обозначения {x ∈ A : f n
(x) > r}
,
Ω
(r)
=
+∞
[
n=1
Ω
(r)
n
= {x ∈ A| f(x) > r}
,
(5.10)
Ω =
\
r>0
Ω
(r)
= {x ∈ A| f(x) = +∞} Стало быть где {x ∈ A | f n
(x) > Из неравенства Чебышева в силу (5.10) следует, что при всех n
,
r
µ(Ω
r n
) откуда с учетом Ω
(r)
2
⊂ ...
имеем
µ
[
n
Ω
(r)
n
!
6
K
r
Но при любом верно включение ⊂
S
n
Ω
(r)
n
, поэтому) откуда следует, что) =
0. Тем самым первое утверждение теоремы доказано.
⊠
Для доказательства предельного соотношения введем прежде всего обозначение def
= {x ∈ A | m −
1 6
f (x) < m}
,
m ∈ и положим) = m на. Заметим, что на множестве имеет место неравенство) = m 6 f (x) +Докажем, что
ϕ(x)
интегрируема на. После этого останется лишь воспользоваться теоремой Лебега.
Положим
B
l
=
l
[
m=1
A
m
,
A
m
1
∩ A
m
2
= ∅
,
m
1 6= m
2

5. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
15
Поскольку на множествах функции f
n и ограничены и) 6 f (x) +
1, тов силу теоремы Лебега имеем) dµ 6
Z
B
l f (x) dµ + µ(A) = lim n→+∞
Z
B
l f
n
(x) dµ + µ(A) 6 K + Но при всех верно) dµ Равномерная ограниченность этих сумм означает (абсолютную) сходимость ряда) =
Z
A
ϕ(x) Следовательно, выполнены все условия теоремы Лебега.
Т е орем ад оказана Докажем теперь важное утверждение, известное как лемма Фату.
Л ем м а 3. Если последовательность интегрируемых и измеримых
на множестве
A
неотрицательных функций сходится почти
всюду на
A
к функции
f
и при любом ∈ N
Z
A
f n
(x) dµ 6 K
,
(5.14)
то
f
интегрируема на
A
и
Z
A
f (x) dµ 6 Доказательство Доказательство проведем последующей схеме. Введем новые функции inf k>n которые обладают свойством) 6 ϕ
2
(x) 6 ... 6 ϕ
n
(x) 6 ....
2. Полученные функции измеримы (докажите сами, поскольку ∈ A | ϕ
n
(x) < c} =
[
k>n
{x ∈ A | f k
(x) < c} ∈ A.
1
) Мы рассматриваем случай µ(A) < +∞.

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега. Далее, 0 6
ϕ
n
(x) 6 f n
(x)
, поэтому интегрируемы и) dµ 6
Z
A
f n
(x) dµ 6 K.
(5.16)
4. С другой стороны) → почти всюду (а именно, в тех же точках, где f
n
(x) → f(x)
).
5. По теореме Беппо Леви, примененной к последовательности, имеем интегрируемость и измеримость функции и предельное соотношение) dµ →
Z
A
f (x) Наконец, из (5.16) и (5.17) получаем неравенство, которое утверждается в условии теоремы.
Л ем м ад оказана. Случай множества
X
с неограниченной мерой
µ
Мы ограничимся случаем так называемой
σ
-конечной меры
µ
Именно, будем говорить, что на пространстве
X
введена
σ
-конечная мера, если существует такая последовательность ⊂ X
, что) < +∞
,
X
n
⊂ X
n+1
,
X Любая такая последовательность называется исчерпывающей.
П РИМ ЕР. Приведем простой пример меры, не являющейся
σ
-конечной: возьмем меру на прямой и положим меру каждой точки равной единице. Действительно, предположим, что такая исчерпывающая последовательность
{X
n
}
существует, тогда с необходимостью каждое множество не может состоять из конечного числа различных точек, а в этом случае) =
+∞
X
l=1
µ(x l
) =
+∞
X
l=1 1
= Определение. Измеримая функция, определенная на множестве конечной меры, называется суммируемой на, если
она суммируема на каждом его измеримом подмножестве конечной
меры и если для любой исчерпывающей последовательности
{X
n
}
предел
lim n→+∞
Z
X
n f (x) dµ

7. Класс интегрируемых по Лебегу функций
17
существует и не зависит от выбора исчерпывающей последовательности. Этот предел называется интегралом Лебега от функ-
ции
f
по множеству
X
и по-прежнему обозначается символом (x) Для интегралов по множествам бесконечной меры сохраняют справедливость все предыдущие результаты, кроме утверждения об инте- грируемости ограниченной измеримой функции 7. Класс интегрируемых по Лебегу функций
Теперь наша задача рассмотреть важный класс интегрируемых по
Лебегу функций. Из определения интеграла Лебега ясно, что множество интегрируемых по Лебегу функций образуют линейное пространство, которое мы будем обозначать символом
L
(X)
Дадим определение так называемого метрического пространства,
изучение которых мы детально начнем в следующей лекции.
О пределен и е 7 . Множество
Y
называется метрическим
пространством,
если
на
н¨ем
задана
вещественная
функция
d : Y ⊗ Y → такая, что выполнены следующие свойства) =
0 тогда и только тогда, когда = y
;
(ii)
d(x
,
y) = для всех ∈ Y
;
(iii)
d(x
,
y) 6 d(x
,
z) + для всех ∈ Теперь введем на множестве всех интегрируемых на множестве функций относительно измеримого пространства
(X
,
A
,
µ)
—
вещественную функцию d(f
,
g) =
Z
X
|f(x) − g(x)| Ясно, что на множестве
L
(X)
эта функция удовлетворяет условиям 7. Однако не выполняется требование
(i)
Действительно, пусть интегрируемые по Лебегу функции f (и отличаются только на множестве нулевой меры Лебега
µ
на множестве, тогда, очевидно) =
0, но f (x) 6= g(x)
на
X.
Что с этим нам делать Задача заключается в построении так называемого класса функций, интегрируемых по Лебегу.
Будем вместо функций f (x) ∈ рассматривать классы функций такие, что две функции f
1
(x)
,
f
2
(x) ∈ принадлежат одному классу, если они отличаются от заданной функции f (на множестве нулевой меры Лебега
µ
на множестве. Тогда на полученном пространстве, которое мы будем обозначать через
L(X)
,
можно ввести метрику d
◦
({f}
,
{g}) = d(f
,
g) =
Z
X
|f(x) − g(x)| dµ
,
(7.2)

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега где f (x) ∈ {f(x)}
,
g(x) ∈ {g(x)}
, те. в данной формуле мы в левой части рассматриваем метрику на пространстве
L(X
,
µ)
классов эквивалентных функций, а в правой части мы берем некоторые представители из этих классов. В этом случае все условия (i)–(iii) будут выполнены.
Это построение является частным случаем операции введения на множестве
A
отношения эквивалентности
ϕ
между элементами x
,
y ∈
∈ A
, что обозначается как x
ϕ
∼ таким образом, чтобы это отношение эквивалентности удовлетворяло следующим трем свойствами При этом для любых двух элементов x
,
y ∈ возможен ровно один из двух случаев либо x
ϕ
∼ y
, либо и не связаны отношением
ϕ
После того, как множестве
A
введено отношение эквивалентности, можно провести операцию сопоставления по паре
(A
,
ϕ)
множества
A
\{ϕ}
классов эквивалентности, определенное следующим образом A) ∈ {x} ∈ если x
1
ϕ
∼ Эта операция называется разбиением множества
A
по фактору
ϕ
на классы эквивалентности
ϕ
П РИМ ЕР. В случае множества отношение эквивалентности между функциями f (x)
,
g(x) ∈ характеризуется следующим условием (x) = почти всюду по мере
µ.
Можно проверить, что отношение эквивалентности
ϕ
разбивает множество
A
на непересекающиеся классы. Действительно, если x ∈
∈ и y ∈ и между ними есть отношение эквивалентности
ϕ
,
то они попадают в один класс. Если же они неэквивалентны, то они попадают в разные классы.
К о р рек т нос т ь определениям е три к и Естественно, нам нужно доказать, что значение величины в левой части не зависит от выбора представителей в правой части. Доказывается это следующим образом.
Пусть f (x)
,
f
1
(x) ∈ и g(x)
,
g
1
(x) ∈ {g(x)}
. Тогда имеют место следующие неравенства, в силу того, что выполнены свойства (ii) и) определения 7 для функции (7.1):
d(f
,
g) 6 d(f
,
f
1
) + d(f
1
,
g
1
) + d(g
1
,
g) = d(f
1
,
g
1
)
,
(7.3)
d(f
1
,
g
1
) 6 d(f
1
,
f ) + d(f
,
g) + d(g
,
g
1
) = поскольку в силу определения (7.1) функции итого, что f
1
(x) = f
2
(x) = f (x)
,
g
1
(x) = g
2
(x) = почти всюду в x ∈ X
,

8. Пространства Лебега L
p
(X, µ) при p > 1 имеют место равенства d(f
,
f
1
) = d(f
1
,
f ) =
0,
d(g
,
g
1
) = d(g
1
,
g) Следовательно, из неравенств (7.3) и (7.4) вытекает, что d(f
,
g) = Стало быть, функция d
◦
, определенная формулой (7.2), определена корректно.
Но теперь у нас для этой функции помимо условий (ii) и) выполнено и свойство (i). Таким образом, пространство классов интегрируемых функций
L(X)
является метрическим пространством относительно метрики (7.2). Кроме того, в силу линейности пространства линейным является и пространство классов функций
L(X)
,
в котором нулевым элементом
ϑ(x)
является класс функций
{ϑ(x)}
,
почти всюду равных нулю.
Таким образом, пространство классов функций ∈ является линейным метрическим пространством 8. Пространства Лебега
L
p
(X
,
µ
)
при
p Дадим определение нормированного пространства.
О пределен и е 8 . Линейное пространство
E
называется нормированным, если на
E
задана такая функция : E → R
1
+
, что
выполнены свойства =
0 тогда и только тогда, когда = ϑ
— нулевой элемент
линейного пространства = для всех ∈ и всех ∈ E
;
(iii)
kf + gk 6 kfk + для всех ∈ Нетрудно проверить, что линейное нормированное пространство является метрическим относительно метрики d(x
,
y) = kx − yk
. Проверьте самостоятельно!
Заметим, что если мы определим на линейном пространстве
L(X)
норму следующим образом :=
Z
X
|f(x)| dµ
,
f (x) ∈ {f} ∈ то получим линейное нормированное пространство
L(X
,
µ)
Теперь рассмотрим некоторые классы функций, важных в приложениях. Дадим определение.
О пределен и е 9 . Измеримые функции (x)
, у которых прибудем обозначать как пространство

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега
Уже стандартным образом разбивая функции f (из пространства
L
p
(X
,
µ)
на классы функций, мы получим класс
L
p
(X
,
µ)
при p ∈
∈ (Заметим, что класс функций
L
p
(X
,
µ)
при p ∈ является линейным нормированным пространством. Докажем это. Действительно,
пусть f (x)
,
g(x) ∈ и ∈ C
, тогда имеет место элементарное неравенство) + βg(x)|
p
6
c(p) (|α|
p
|f(x)|
p
+ |β|
p
|g(x)|
p
) ∈ поскольку пространство
L(X
,
µ)
является линейным. Стало быть, пространство при p ∈ является линейным. Теперь определим на линейном пространстве
L
p
(X
,
µ)
при p ∈ следующую числовую функцию p
:=


Z
X
|f(x)|
p dµ


1
/p
: L
p
(X
,
µ) → Ясно, что эта функция удовлетворяет свойствами) определения нормы.
Докажем, что для функции (8.3) выполнено неравенство треугольника) определения нормы, те. докажем так называемое неравенство Минковского:


Z
X
|f(x) + g(x)|
p dµ


1
/p
6 6


Z
X
|f(x)|
p dµ


1
/p
+


Z
X
|g(x)|
p dµ


1
/p при p ∈ [
1
+ С этой целью заметим, что при p =
1 это неравенство есть следствие неравенства+ z
2
| 6 |z
1
| + для всех z
1
,
z
2
∈ Теперь нам нужно рассмотреть случай p ∈ (Но для этого нам предварительно нужно доказать так называемое неравенство
Г¨ельдера.
Т е орем а 8. Пусть (x) ∈ и) ∈ при ∈ (
1,
+
+∞)
, прич¨ем
1
p
+
1
q
=
1,
тогда
f (x)g(x) ∈ и имеет место неравенство 6
kfk p
kgk q
(8.5)

8. Пространства Лебега L
p
(X, µ) при p > 1 Доказательство Для неотрицательных чисел a
,
b ∈ имеет место хорошо известное неравенство · b 6
a p
p
+
b Докажем, что для всех x >
1 и ∈ (
0, имеет место следующее неравенство αx + α −
1 Рассмотрим функцию f (x) = в окрестности точки x =
1. По формуле Лагранжа имеем x
α
−
1
α
= αz
α−1
(x −
1
)
,
z ∈ (Отсюда сразу же получаем следующее неравенство при x и ∈ (
0, Пусть a >
0,
b >
0 и для определенности a > b
. Тогда в неравенстве) положим x =
a и =
1
p при p Тогда получим следующее неравенство a b

1
/p
−
1
p a
b
6 Умножим обе части этого неравенства на и получим неравенство a
1
/p b
1
−1/p
−
a p
6
b q
⇒ a
1
/p b
1
/q
6
a p
+
b q
⇒ ab 6
a p
p
+
b q
q
. Поскольку f ∈ и g ∈ L
q
(X
,
µ)
, то f (и измеримы, а значит, измеримо и их произведение.
✷
Без ограничения общности будем считать, что f (x)
,
g(x) Докажем, что множество = {x ∈ X | f(x)g(x) < c}
(8.8)
измеримо.
Для удобства обозначений введем функции (x) =
f (x)
√
c
,
G(x) Тогда = {x ∈ X | F (x)G(x) Пусть n
}
n∈N
— последовательность пронумерованных (в некотором порядке) всех рациональных чисел. Пусть

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега {x ∈ X | F (x) < e
−r n
} ≡ {x ∈ X | f(x) <
√
c e
−r n
}
,
B
n
= {x ∈ X | G(x) < e r
n
} ≡ {x ∈ X | g(x) <
√
c e Докажем, что =
[
n∈N
A
n
∩ Тогда из измеримости множеств и будет следовать измеримость множества, а отсюда, в силу произвольности числа c >
0 — и измеримость функции f (Вложение справа налево очевидно. Докажем обратное вложение.
Итак, пусть x ∈ фиксировано и (x)G(x) <
1. Пусть q
k
→ ln G(x) +
+
0. Тогда k
→ − ln G(x) > ln F (последнее неравенство следует из того факта, что ln F (x) + ln G(x) <
0). Поэтому для всех q
k
, достаточно близких к ln G(x)
, имеем k
> ln F (x)
. Зафиксируем номер из тех k
, для которых выполнено последнее неравенство. Теперь выберем такое n
, что r
n
= q k
0
. Тогда x ∈ A
n
∩ B
n
. Кроме того, их произведение определено почти всюду в. Теперь возьмем a =
|f(x)|
kfk p
,
b =
|g(x)|
kgk и подставим их в неравенство (8.6), откуда получим неравенство p
|g(x)|
kgk q
6 1
p
|f(x)|
p kfk p
p
+
1
q
|g(x)|
q kgk Интегрируя обе части по мерена множестве, получим неравенство Откуда сразу же вытекает неравенство Г¨ельдера.
Т е орем ад оказана Теорема. Пусть ∈ при ∈ [
1,
+∞)
, тогда имеет
место неравенство) + g(x)|
p
µ(dx)


1
/p
6 Доказательство. Пространства Лебега L
p
(X, µ) при p > 1 Прежде всего отметим, что в силу неравенства) + g(x)|
p
6 2
p−1
[|f(x)|
p
+ сумма функций f (x) + g(x)
принадлежит
L
p
(X)
Перейдем к доказательству неравенства. Случай p =
1 очевиден.
Рассмотрим теперь случай, когда p ∈ (Заметим, что имеет место следующее неравенство) + g(x)|
p
6
|f(x) + g(x)|
p−1
|f(x)| + |f(x) + g(x)|
p−1
|g(x)| Воспользуемся теперь неравенством Г¨ельдера для обоих слагаемых в правой части этого неравенства, в котором для первого слагаемого сначала положим f
1
(x) = |f(x) + g(x)|
p−1
,
f
2
(x) = |f(x)|
,
r
1
=
p p −
1
,
r
2
= а затем положим f
1
(x) = |f(x) + g(x)|
p−1
,
f
2
(x) = |g(x)|
,
r
1
=
p p −
1
,
r
2
= В результате применения неравенства Г¨ельдера получим следующее неравенство) + g(x)|
p−1
|f(x)| dµ 6 6


Z
X
|f(x) + g(x)|
q(p−1)
dµ


1
/q


Z
X
|f(x)|
p dµ


1
/p
6 6


Z
X
|f(x) + g(x)|
p dµ


1
/q


Z
X
|f(x)|
p dµ


1
/p
,
q =
p p Аналогичное неравенство получается и для второго слагаемого.
Таким образом, получили) + g(x)|
p dµ 6


Z
X
|f(x) + g(x)|
p dµ


1
/p
×
×





Z
X
|f(x)|
p dµ


1
/p
+


Z
X
|g(x)|
p dµ


1
/p


 Откуда получаем требуемое неравенство

Лекция 3. Интеграл Лебега и пространства Лебега
Следовательно, числовая функция (8.3) является нормой. Значит,
линейное пространство
L
p
(X
,
µ)
при p ∈ является линейным нормированным относительно указанной нормы.
К настоящему моменту мы разобрали случай, когда p ∈ Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда p = +Сначала введем класс функций. Дадим определение.
О пределен и е 1 0 . Классом
L
∞
(X
,
µ)
мы назовем класс измеримых функций, которые почти всюду являются ограниченными.
Введ¨ем норму на этом пространстве inf{c : µ{x : |f(x)| > c} Подробное изучение этого пространства мы продолжим во второй части, где и докажем, что введенная функция действительно является нормой.
Таким образом, функция (8.15) является нормой на линейном пространстве введения пространства
L
∞
(X)
вызвана, например,
следующим утверждением, которое мы приведем без доказательства.
Т е орем а 10. Неравенство Г¨ельдера остается справедливым для
функции
f (x) ∈ и функции) ∈ и имеет вид 6
kfk
1
kgk
∞