Лекции(3 сем,2 курс). Лекция Общие понятия. Начальная задача (задача Коши) и теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения (интегралы) дифференциального уравнения.
 Скачать 4.11 Mb.
|
|
µ § µ § Порядок уравнения (7) понизится на µ § единиц, если ввести новую функцию µ § Действительно, после этой замены получим уравнение µ § Если это уравнение имеет общее решение µ § то для решения исходного уравнения (7) надо проинтегрировать уравнение µ § Это уравнение типа (4). Его решение вычисляется последовательным интегрированием. б) Уравнение, в котором отсутствует в правой части независимая переменная µ § µ § Здесь для понижения порядка надо ввести новую неизвестную функцию µ § Чтобы не усложнять выкладки, рассмотрим уравнение второго порядка µ § µ § Сделав замену µ § будем иметь (учесть, что µ §): µ § При этом уравнение (8) приобретает вид µ § т.е. является уравнением первого порядка. Найдя общее решение µ § этого уравнения, получим решение исходного уравнения (8), если проинтегрируем уравнение µ § Рассмотрим примеры. Пример 2 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты). Найти общее решение дифференциально- го уравнения µ § Решение. Так как в уравнении отсутствуют сама функция и ее производная, то делаем замену µ §. Тогда µ § и уравнение приобретает вид µ § Получили линейное однородное уравнение первого порядка. Решаем его методом разделения переменных: µ § Теперь находим решение исходного уравнения: µ § Пример 3 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты). Решить задачу Коши µ § Решение. Так как в уравнении отсутствует независимая переменная µ § то делаем замену замену µ § Будем иметь (учесть, что µ §): µ § Исходное уравнение преобразуется к виду µ § Начальное условие для функции µ § находим, полагая в этом равенстве µ § Тогда µ § Итак, надо решить задачу µ §Разделяя переменные, получим µ § Учитывая, что в окрестности точки µ § функция µ § положительна, будем иметь µ § Полагая в этом равенстве µ § и учитывая, что µ §, получаем, что µ § т.е. µ § Значит, µ § Полагая в этом равенстве µ § и учитывая, что µ §найдём, что µ § Следовате- льно, µ § Это и есть ответ. Лекция 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка. Однородные уравнения. Пространство решений, его размерность и базис (фундаментальная система решений). Структура общего решения. Определитель Вронского. Условия линейной независимости решений однородного линейного дифференциального уравнения µ § Линейным дифференциальным уравнением µ §-го порядка называется уравнение µ § µ § в котором неизвестная функция µ § и все ее производные входят линейным образом (т.е. с целой неотрицательной степенью не выше первой). При этом функции µ § называются коэффициентами уравнения (1), а правая часть µ § ЁC неоднородностью этого уравнения. Если в (1) отсутствует неоднородность µ § то уравнение (1) называется однородным. Если же µ § то уравнение (1) называется неоднородным дифференциальным уравнением. Уравнение (1) можно записать кратко µ §, если обозначить через µ § ЁCдифференциальный оператор µ §--гo порядка: µ § µ § 1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием линейного пространства и с основными его свойствами. В дальнейшем будут использоваться следующие пространства: 1) µ § ЁC пространство функций, непрерывных на отрезке µ § 2) µ § ЁC пространство функций µ § непрерывных вместе со своими производными µ § (до µ §--го порядка включительно), µ § Эти пространства являются линейными пространствами с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа. Теорема 1. Если в операторе µ § все коэффициенты µ § непрерывны на отрезке µ §, то µ § действует из пространства µ § в пространство µ § (т.е. µ §) и является линейным оператором, т.е. µ § для произвольных постоянных µ § и µ § и произвольных функций µ § µ § Действительно, при дифференцировании теряется гладкость функции на единицу, значит при µ §--кратном дифференцировании функция класса µ § переходит в функцию класса µ § Кроме того, поскольку операция дифференцирования линейна, то и линеен оператор µ § Будем рассматривать в основном уравнения (1) со старшим коэффициентом µ § B этом случае на него можно поделить уравнение (1) и записать его в форме µ § где обозначено: µ § µ § Наша ближайшая задача ЁC изучить свойства решений этого уравнения. Начнем с теоремы существования и единственности решения задачи Коши µ § µ § где µ § произвольный вектор. Теорема 2 (Коши) . Если в уравнении (2) все коэффициенты µ § и правая часть µ § непрерывны на отрезке µ §, то задача Коши (2) для этого уравнения имеет единственное решение µ § и это решение определено также на этом отрезке. Таким образом, теорема существования и единственности решения начальной задачи для линейного дифференциального уравнения носит "глобальный" характер в отличие от "локального" характера общей теоремы существования единственности решения для нелинейного уравнения. 2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана Пусть функции µ § имеют смысл на отрезке µ § Определение 1. Говорят, что система функций µ § линейно зависима на отрезке µ §, если существуют постоянные µ §, не равные нулю одновременно, такие, что имеет место тождество µ § µ § Если же тождество (3), где µ § ЁC постоянные, выполняется тогда и только тогда, когда все числа µ § равны нулю (µ § то система функций µ § называется линейно независимой на отрезке µ § Аналогично определяется линейная зависимость и линейная независимость на промежутках µ § причем не исключается и случай бесконечного промежутка. Заметим, что выражение µ § называется линейной комбинацией функций µ § а числа µ § ЁC коэффициентами линейной комбинации. Пример 1. Доказать, что система функций µ § µ § линейно независима на любом отрезке µ § Решение. Составим линейную комбинацию функций (4) и посмотрим, когда она тождественно обращается в нуль: µ § Слева стоит многочлен с коэффициентами µ § Само тождество означает, что любое число µ § из отрезка µ § является корнем этого многочлена. Если хотя бы один из коэффициентов µ § не равен нулю, то получилось бы, что указанный многочлен имеет бесчисленное число корней, что невозможно. Значит, все числа µ § равны нулю, поэтому функции (4) линейно независимы на отрезке µ § Пример 2. Будут ли линейно зависимыми на промежутке µ § функции µ §? Решение. Линейная комбинация µ § тождественно обращается в нуль на промежутке µ §, если взять числа µ § Так как они не равны нулю (достаточно было бы, чтобы хотя бы одно из них не равнялось нулю), то указанные функции линейно зависимы на промежутке µ § Ответ: да. Теорема 3. Если система функций µ § линейно завиcима на отрезке µ § то хотя бы одна из них является линейной комбинацией других (на этом отрезке). Обратно: если одна из функций µ § является на отрезке µ § линейной комбинацией других, то система µ § линейно зависима на отрезке µ § Доказательство. Пусть функции µ § линейно зависимы на отрезке µ § Тогда найдутся числа µ § не равные нулю одновременно, такие, что µ § Пусть, например, µ § Тогда можно записать µ § т.е. функция µ § является линейной комбинацией функций µ § Обратно: если выполняется тождество µ § то µ § Мы видим, что тождество (3) имеет место при числах µ § не равных нулю одновременно. Следовательно, система функций µ § линейно зависима. Теорема доказана. Очевидны следующие утверждения. µ § Если система функций µ § содержит функцию µ § то она линейно зависима (на отрезке µ §, на котором указанные функции имеют смысл). µ § Если какая-нибудь подсистема системы функций µ § линейно зависима, то и вся система µ § линейно зависима. µ § Если система функций µ § линейно зависима на отрезке µ §, то она линейно зависима и на любом отрезке µ § лежащем внутри отрезка µ § µ § Если система функций µ § линейно независима на отрезке µ § то она линейно независима и на любом отрезке µ §, содержащем отрезок µ § (если, конечно, функции µ § определены на отрезке µ §). Заметим, что свойство линейной зависимости функций нельзя продолжить на больший отрезок, а свойство линейной независимости ЁC сузить на меньший отрезок.Дадим эффективный способ проверки линейной зависимости или линейной независимости системы функций с помощью определителя Вронского. Определение 2. Определителем Вронского (или просто вронскианом) системы функций µ §, принадлежащих пространству µ §, называется определитель µ § первую строку которого образуют данные функции µ § а последующие строки являются производными функций предыдущей строки. Матрицу этого определителя мы будем называть матрицей Вронского. Теорема 4 (необходимое условие линейной зависимости функций). Если функции µ § линейно зависимы на отрезке µ §, то их вронскиан обращается тождественно в нуль на этом отрезке, т.е. µ § Доказательство. Поскольку функции µ § линейно зависимы на отрезке µ § то существуют числа µ § не равные нулю одновременно, такие, что имеет место тождество µ § Дифференцируя это тождество µ § раз, получаем еще µ § тождество. Вместе с предыдущим тождеством они образуют однородную систему алгебраических уравнений: µ § µ § которая (в силу линейной зависимости функций µ §) имеет при каждом µ § ненулевое решение µ § Но тогда определитель этой системы, являющийся определителем Вронского функций µ §, обращается в нуль при каждом µ § т.е. µ § Теорема доказана. Заметим, что обратное утверждение для произвольной системы функций µ § не имеет место. Пример 3. Показать, что функции µ § линейно независимы на отрезке µ § но µ § Решение. Посмотрим, при каких постоянных µ § и µ § выполняется тождество µ § При µ § имеем µ § Это тождество имеет место при µ § и при произвольном µ § На промежутке µ § имеем µ § откуда выводим, что µ § Итак, тождество µ § на всем промежутке µ § имеет место лишь при µ § Значит, функции µ § и µ § линейно независимы на отрезке µ § С другой стороны, µ § µ § т.е. определитель Вронского µ § тождественно обращается в нуль на отрезке µ § Ситуация, описанная в этом примере, не реализуется, если µ § и µ § являются решениями однородного уравнения µ § с непрерывными на отрезке µ § коэффициентами. Это будет показано ниже. Теорему 4. применяют при установлении линейной независимости функций. Следствие 1. Если вронскиан системы функций µ § не равен нулю хотя бы в одной точке µ § то указанные функции линейно независимы на отрезке µ § Действительно, если бы µ § были линейно зависимы на отрезке µ §, то µ § тождественно обращался бы в нуль на этом отрезке, а значит, в частности, он был бы равен нулю в точке µ § чего быть не может. 3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение µ § µ § Докажем следующий важный результат. Теорема 5. Пусть функции µ § являются решениями однородного уравнения (5) с непрерывными на отрезке µ § коэффициентами µ § Тогда µ § линейно независимы на отрезке µ § в том и только в том случае, когда вронскиан µ § этих функций не равен нулю ни в одной точке отрезка µ § Доказательство. Достаточность вытекает из следствия 1. Докажем необходимость. Пусть решения µ § уравнения (5) линейно независимы на отрезке µ § Покажем, что тогда вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке отрезка µ § Предположим противное, т.е. что существует точка µ § такая, что вронскиан µ § обращается в нуль в этой точке: µ § Тогда столбцы этого определителя линейно зависимы, т.е. существуют числа µ § не равные нулю одновременно, такие, что µ § µ § С помощью указанных чисел построим функцию µ §. Поскольку µ § решения однородного уравнения (5), то из линейности дифференциального оператора µ § следует, что µ § Это означает, что функция µ § является решением уравнения (5). Из (6) следует, что эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям, т.е. µ § Но таким же начальным условиям удовлетворяет и тривиальное решение µ § этого уравнения. В силу единственности решения (см. теорему 1) функции µ § и µ § совпадают на отрезке µ § и значит µ § и значит µ § Поскольку здесь не все числа µ § равны нулю, то последнее тождество означает, что функции µ § линейно зависимы на отрезке µ §. Мы получили противоречие, которое показывает, что наше предположение µ § не верно. Следовательно, вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке отрезка µ § Теорема доказана. Из теоремы 4 и доказательства теоремы 5 вытекают следующие свойства вронскиана µ § системы решений µ § линейного однородного дифференциального уравнения (5) с непрерывными на отрезке µ § коэффициентами µ § µ § Если вронскиан µ § обращается в нуль в некоторой точке µ § отрезка µ § то он тождественно равен нулю на всем отрезке µ § (т.e. µ § µ § Если вронскиан µ § не равен нулю хотя бы в одной точке µ § отрезка µ §, то он не равен нулю и на всем отрезке µ § Свойства µ § и µ § легко усматриваются также из формулы µ § µ § называемой формулой Остроградского-Лиувилля. Здесь µ § ЁC коэффициент при производной µ § в уравнении (5), µ § ЁC произвольная фиксированная точка отрезка µ § Обозначим теперь через µ § множество всех решений µ § однородного уравнения (5). Какова структура множества µ §? Во-первых, оно является линейным пространством. Действительно, если µ § и µ § два произвольных элемента множества µ § то выполняются тождества µ § а значит для произвольных чисел µ § и µ § (в силу линейности оператора µ §) имеет место тождество µ § Это тождество показывает, что любая линейная комбинация элементов множества µ § принадлежит µ § (т.е. является решением уравнения (5)). Следовательно, µ § --- линейное пространство. Из линейной алгебры известно, что если линейное пространство µ § конечномерно, то в нем можно выделить базис, т.е. такую упорядоченную систему элементов µ § которая обладает свойствами: а) система µ § линейно независима; б) каков бы ни был элемент µ §, существуют числа µ § такие, что µ § При этом числа µ § называются координатами элемента µ § в базисе µ § (показывается, что координаты элемента в данном базисе единственны). В пространстве µ § также можно выделить базис. В случае дифференциальных уравнений (а также в случае любой линейной системы уравнений) базис пространства решений принято называть фундаментальной системой решений. Мы вернемся к этому термину немного позднее и определим его более точно.Существование базиса в µ § устанавливается следующей теоремой. Теорема 6 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если в уравнении (5) все коэффициенты µ § непрерывны на отрезке µ §, то для него существуют µ § линейно независимых на отрезке µ § решений µ § (µ § ЁC порядок уравнения (5)). При этом любое другое решение уравнения (5) является линейной комбинацией указанных линейно независимых решений µ §, т.е. общее решение уравнения (5) описывается формулой µ § µ § где µ § --- произвольные постоянные. Доказательство. Покажем сначала, что для уравнения (5) существуют µ § линейно независимых на отрезке µ § решений. Возьмем произвольную постоянную матрицу µ § с определителем µ § и со столбцами µ § Так что матрица µ § не вырождена и имеет порядок µ §. Каждый столбец этой матрицы будем использовать в качестве начальной точки для задачи Коши для уравнения (21.5). Получим µ § задач Коши: µ § µ § µ § Каждая из этих задач (в силу непрерывности коэффициентов µ §) имеет единственное решение. Обозначим через µ § решения этих задач соответственно. Вронскиан в точке µ § этих решений: µ § совпадает с определителем µ § матрицы µ §, и поэтому не равен нулю. Отсюда следует, что решения µ § линейно независимы на отрезке µ § Существование таких решений доказано (их можно даже построить бесчисленное множество, выбирая произвольно матрицу µ § с µ §). Покажем теперь, что (8) ЁC общее решение уравнения (5). При любых значениях постоянных µ § функция (8) является решением уравнения (5), так как пространство µ § решений уравнения (5) является линейным пространством. Пусть теперь µ § ЁC решение произвольной задачи Коши µ § µ § где µ § Покажем, что существуют значения постоянных µ § такие, что функция µ § совпадает с решением µ § задачи Коши (9). Подчиняя (8) начальным условиям (9), получаем равенства µ §µ § µ § Так как решения µ § линейно независимы на отрезке µ § то их вронскиан µ § не равен нулю в произвольной точке отрезка µ §. Определитель системы (10) совпадает с вронскианом µ §, и значит он не равен нулю. Но тогда система уравнений (10) имеет единственное решение µ § При этом функция µ § являясь решением уравнения (5), удовлетворяет и начальным условиям (9) (в силу выбора чисел µ §). Следовательно, функция (8) является общим решением уравнения (5). Теорема доказана. Из этой теоремы следует, что любая система из µ § линейно независимых решений µ § уравнения (5) порядка µ § образует базис (фундаментальную систему решений (см. ниже)) в пространстве µ §. Определение 3. Любая упорядоченная система из µ § линейно независимых на отрезке µ § решений µ § уравнения (5) (µ §-го порядка) называется фундаментальной системой решений этого уравнения (или базисом его решений). Следовательно, пространство µ § решений однородного уравнения (5) имеет размерность µ §. На следующей лекции будет рассмотрено неоднородное уравнение и изучена структура его общего решения. Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений Займёмся теперь неоднородным уравнением и установим свойства его решений. 1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение µ § µ § Докажем следующее утверждение. Теорема 1 (о структуре общего решения неоднородного уравнения). Если в уравнении (1) все коэффициенты µ § и правая часть µ § непрерывны на отрезке µ §, то общее решение уравнения (1) (на этом отрезке) имеет вид µ § µ § где µ § ЁC фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения µ § а µ § ЁC частное решение неоднородного уравнения (1), µ §произвольные постоянные. Доказательство. Применяя оператор µ § к функции (2), будем иметь µ § Это означает, что функция (2) является решением уравнения (1) при произвольных значениях постоянных µ §. Пусть теперь µ § --- произвольная точка в µ § (µ §). Покажем, что решение µ § задачи Коши µ § µ § можно получить из (2) выбором определенных значений µ § постоянных. Подчиняя (2) условиям (3), будем иметь µ § µ § Определитель этой системы совпадает с вронскианом µ § в точке µ § и поскольку фундаментальная система решений µ § линейно независима на отрезке µ §, то указанный определитель системы (4) не равен нулю. Следовательно, система (4) имеет единственное решение µ § µ § а значит функция µ § является решением задачи Коши (3). Тем самым показано, что функция (2) является общим решением неоднородного уравнения (1). Теорема доказана. 2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам: 1) построение фундаментальной системы решений µ § соответствующего однородного уравнения; 2) вычисление частного решения µ § неоднородного уравнения (1). Самым трудным является осуществление первой процедуры. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами (см. следующий раздел) ее можно всегда реализовать. Если же найдена фундаментальная система решений µ § однородного уравнения µ § то реализовать вторую процедуру не составляет особого труда. Теорема 2. Пусть µ § --- фундаментальная система решений однородного уравнения µ § с непрерывными на отрезке µ § коэффициентами µ § Если правая часть µ § соответствующего неоднородного уравнения (1) непрерывна на отрезке µ § то его частное решение можно вычислить в виде µ § µ § где функции µ § (представляющие собой варьированные постоянные общего решения однородного уравненияµ §) находятся из системы µ § µ § Доказательство. Проведем доказательство для уравнения второго порядка: µ § µ § В этом случае система (6) имеет вид µ § µ § Проверим, что функция µ § µ § где µ § и µ § удовлетворяют уравнениям (8), является частным решением уравнения (7). Вычислим производные µ § и µ § функции (9) с учетом равенств (8): µ § µ § Отсюда получаем, что µ §µ § Группируя здесь коэффициенты отдельно перед каждой функций µ § и µ § получаем µ § Поскольку µ § и µ § ЁC решения соответствующего однородного уравнения µ § то µ § и значит µ § Таким образом, функция µ § µ § является частным решением неоднородного уравнения (7). Теорема доказана. Пример 1. Проверить, что функции µ § образуют фундаментальную систему решения уравнения µ § и найти общее решение неоднородного уравнения µ § Решение. Поскольку µ § и µ § то функция µ § удовлетворяет уравнению µ § Точно так же убеждаемся, что функция µ § также удовлетворяет уравнению µ § Вычисляем вронскиан µ § Видим, что он не обращается в нуль на промежутке µ § значит функции µ § образуют фундаментальную систему решений уравнения µ § Найдем теперь частное решение µ § неоднородного уравнения µ § в форме µ § При этом функции µ § и µ § должны удовлетворять системе µ § Поскольку нас интересует частное решение неоднородного уравнения µ § то µ § и µ § можно взять в виде µ § µ § Подставляя их в функцию µ §, получаем частное решение в виде µ § а значит, общее решение неоднородного уравнения запишется в форме µ § 3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений Напомним, что комплексными числами называют числа вида µ § где µ § и µ § ЁC действительные числа, µ § --- мнимая единица (µ §). При этом µ § называется действительной частью, а µ § ЁC мнимой частью комплексного числа µ §. Число µ § называется сопряженным числу µ § а неотрицательное число µ § называется модулем числа µ §. Множество всех комплексных чисел обозначают буквой µ §. Каждому комплексному числу µ § соответствует единственная точка µ § на плоскости µ § или радиус-вектор µ § этой точки. При этом ось µ § называется действительной осью, с ось µ § ЁC мнимой осью. Сама плоскость µ § называется комплексной плоскостью; ее тоже обозначают буквой µ §. Угол µ § называется аргументом комплексного числа µ §. Ясно, что аргумент определяется неоднозначно. Главным значением аргумента называется угол µ §лежащий в пределах µ § (или в пределах µ §). Главное значение аргумента обозначается так: µ §. Из рис. 1 видно, что µ § Значит, комплексное число можно записать еще в виде µ § Эта форма называется тригонометрической формой числа µ §, а его первоначальная форма µ § ЁCалгебраической формой комплексного числа µ §. Если воспользоваться формулой Эйлера µ §то можно получить еще одну форму комплексного числа µ § называемую показательной формой числа µ §. Два комплексных числа называются равными, если равны одновременно порознь действительные и мнимые части этих чисел, т.е. µ § Действия над комплексными числами определяются равенствами: µ §µ § µ § µ § Умножение комплексных чисел (и их деление) лучше производить в тригонометрической форме: µ § Отсюда вытекает известная фoрмула µ § называемая формулой Муавра. С помощью нее можно определить операцию извлечения корня µ §-й степени из комплексных чисел. Определение 2. Отображение µ §, ставящее в соответствие каждому действительному числу µ § единственное комплексное число µ § µ § называется комплексной функцией действительной переменной µ § с областью определения µ § Над такими функциями можно производить обычные арифметические действия. Например, µ § Комплексная экспонента вычисляется по формуле Эйлера µ § Отсюда легко получить формулы для синуса и косинуса комплексного аргумента: µ § µ § Производные комплексной функции действительного аргумента определим равенствами: µ § µ § а интеграл ЁC равенством µ § Например, µ § Пусть теперь дано дифференциальное уравнение µ § µ § в котором участвуют только функции действительного аргумента (в том числе и комплексные функции действительной переменной µ §). Комплексное решение этого уравнения определяется так же, как и действительное решение: функция µ § называется решением уравнения (11) на отрезке µ § если она, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество на отрезке µ § Задача Коши для уравнения (11) ставится аналогично (только здесь начальная точка может быть комплексной). Нас будет интересовать линейное дифференциальное уравнение µ § µ § с действительными коэффициентами µ § и с комплексной неоднородностью µ § (µ § и µ § ЁC действительные функции). Ясно, что оператор µ § остается линейным и в пространстве µ § комплекснозначных функций. Докажем следующее утверждение. µ § Если µ § комплексное решение уравнения (12) с действительными коэффициентами µ § то его действительная µ § и мнимая µ § части являются решениями уравнений µ § В самом деле, в силу линейности оператора µ § имеем µ § Приравнивая здесь отдельно действительную и мнимую части, получаем тождества µ § ч.т.д. Полагая здесь µ § получаем следующий результат. µ § Действительная и мнимая части комплексного решения µ § однородного дифференциального уравнения µ § с действительными коэффициентами µ § также являются решениями этого уравнения (т.е. µ §). Линейная зависимость и линейная независимость на отрезке µ § системы комплекснозначных функций µ § определяется так же, как и для системы действительных функций. Только здесь коэффициенты µ § линейной комбинации могут быть комплексными числами. Все теоремы 1ЁC8 предыдущей лекции остаются в силе и для комплексных решений. В дальнейшем потребуется факт линейной независимости некоторых систем комплекснозначных и действительных функций, описанных ниже. µ § Система функций µ § µ § где все числа µ § (комплексные или действительные) попарно различны (т.е. µ §) линейно независима на произвольном отрезке µ § Доказательство. Запишем вронскиан µ §µ § (здесь из каждого столбца вынесли общий множитель ЁC соответствующую экспоненту). Стоящий здесь определитель (его называют определителем Вандермонда) равен произведению двучленов µ § для всех µ § таких, что µ §, т.е. µ § Этот факт можно показать по индукции, но мы не будем этого делать. Проверим его только для определителя Вандермонда µ § третьего порядка. Прибавляя ко второй строке определителя µ § его первую строку, умноженную на (µ §), а к третьей строке ЁC вторую, умноженную на (µ §), будем иметь µ § µ § Итак, определитель Вронcкого µ § имеет вид µ § Поскольку у нас µ § при µ § (µ §) и экспонента в нуль не обращается, то µ § на любом отрезке µ § Свойство µ § доказано. µ § Пусть дана система действительных функций µ § µ § µ § Если числа µ § µ § попарно различны, то указанная система функций линейно независима на любом отрезке µ § Доказательство. Проведем его для системы функций µ § µ § Составим их линейную комбинацию и приравняем ее нулю: µ § µ § Используя формулы µ § перепишем предыдущее тождество (15) в виде µ § µ § где обозначено: µ § По условию числа µ § попарно не равны друг другу, но тогда попарно не равны друг другу и числа µ § (учесть, что µ § и µ § ЁC действительные числа). По свойству µ § система функций µ § линейно независима на любом отрезке µ §. Значит, тождество (16) имеет место тогда и только тогда, когда одновременно µ § Из равенств µ § получаем, что тогда и числа µ § Итак, в тождестве (15) все числа µ § a значит система функций µ § линейно независима на любом отрезке µ § Свойство µ § доказано. Аналогичными рассуждениями может быть доказано следующее утверждение. µ § Если числа µ § попарно не равны друг другу, то система функций µ § µ § где µ §ЁC натуральные числа (µ §), линейно независимы на произвольном отрезке µ § Линейно независимой будет также система, образованная действительными и мнимыми частями функций (17). µ § Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений На предыдушей лекции были приведены примеры линейно независимых систем функций. Сделано это было не случайно, так как именно такие функции образуют фундаментальные системы решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения такого типа могут быть изучены полностью, если будут найдены корни соответствующих характеристических многочленов (см. ни же µ §). Построению корней этих многочленов (их называют характеристическими числами) и связи характеристических чисел с решениями дифференциальных уравнений уделяется основное внимание в настоящей лекции. 1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения Рассмотрим уравнение µ § µ § с постоянными коэффициентами µ § Построим по нему алгебраическое уравнение µ § µ § заменив в (1) производные µ § на степени µ § (µ §). Определение 1. Многочлен µ § называется характерис- тическим многочленом уравнения (1), а само уравнение µ § ЁC характеристическим уравнением, соответствующим уравнению (1). Имеет место очевидное тождество µ § µ § если µ § ЁC постоянная, так как µ § Теорема Эйлера. Для того чтобы экспонента µ § (µ § ЁC постоянная) была решением уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы µ § было корнем характеристического многочлена µ § (или, что то же самое, корнем характеристического уравнения µ §). Доказательство. Действительно, если µ § то из (2) следует тождество µ § показывающее, что экспонента µ § является решением уравнения (1). Обратно: если µ § ЁC решение уравнения (1), то µ § и из (2) следует, что µ § т.е. µ §ЁC корень характеристического многочленаµ § Теорема доказана. Из теоремы Эйлера сразу же вытекает следующий результат. Теорема 1. Если все корни µ § характеристического уравнения µ § различны (т.е. µ § µ § µ §), то система функций µ § µ § образует фундаментальную систему решений уравнения (1). В этом случае общее решение (на любом отрезке [a,b]) уравнения (1) имеет вид µ § µ § где µ §ЁC произвольные постоянные. Доказательство следует сразу из теоремы Эйлера и утверждения µ § предыдущей лекции. Общее решение (4) уравнения (1) может быть комплексным, если хотя бы один из корней µ § характеристического полинома µ § комплексный. Для уравнений (1) с действительными коэффициентами µ § принято записывать общее решение в действительной форме. Это нетрудно сделать, если воспользоваться утверждениемµ § лекции 4 и отделив в комплексном решении µ § мнимую и действительную части: µ § и µ § Согласно µ § действительные функции µ § и µ § также являются решениями однородного уравнения (1) с действительными коэффициентами. Поступив так с каждой комплексной экспонентой в µ §, получим следующий результат. Теорема 2. Пусть корни µ § характеристического уравнения µ § различны, а коэффициенты µ § уравнения (1) действительны. Пусть, далее, корни µ § ЁCдействительны, а остальные корни µ § комплексны: µ § Тогда фундаментальную систему решений уравнения (1) можно выбрать в виде действительных функций µ § µ § а общее решение уравнения (1) записать в виде µ § где µ §ЁC произвольные постоянные. Доказательство следует из того, что функции (5) являются решениями уравнения (1) (лекция 4, утверждение µ §) и образуют линейно независимую систему на любом отрезке µ § (лекция 4, утверждение µ §). Остаётся заметить, что в силу действительности всех коэффициентов µ § уравнения (1) его характеристическое уравнение µ § наряду с корнем µ § имеет и комплексно-сопряженный корень µ § Пример 1. Найти общее решение уравнения µ § Решение. Составим характеристическое уравнение µ §: µ § Разлагая его левую часть на множители, будем иметь µ § Итак, все корни характеристического уравнения различны. Согласно теореме 1 соответствующая фундаментальная система решений будет иметь вид µ § а значит общее решение исходного уравнения запишется в форме µ § 2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения Напомним сначала, что корень µ § характеристического многочлена µ § называется корнем кратности µ § если µ § µ § Полезно заметить, что если полином µ § имеет µ § различных корней µ § (µ § ЁC степень многочлена µ §), то все они имеют кратность µ § Однократные корни называют еще простыми корнями µ §. Записав для многочлена µ § формулу Тейлора µ § (остаточный член его равен тождественно нулю), получим с учетом равенств (6), что если µ § ЁC корень кратности µ §, то µ § представляется в виде µ § µ § где µ § ЁC многочлен степени µ § такой, что µ § Очевидно, верно и обратное: если µ § представляется в виде (7) , где µ § то µ § --- корень кратности µ § многочлена µ § Построению фундаментальной системы решений в случае кратных корней характеристического уравнения µ § предпошлем несколько вспомогательных утверждений. µ § Если µ § ЁC дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами µ § то имеет место формула µ § µ § Действительно, по (2) имеем µ § Дифференцируя это тождество по µ § и учитывая, что операторы µ § и µ § перестановочны при применении их к бесконечно дифференцируемой по µ § и µ § функции µ §, будем иметь µ § Таким образом, справедливо тождество (8). µ § Пусть µ § ЁC корень кратности µ § характеристического многочлена µ § уравнения (21.26) с постоянными коэффициентами µ § Тогда µ § функций µ § µ § линейно независимы на любом отрезке µ § и являются решениями уравнения (1). Доказательство. Пусть µ § ЁC любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству µ §. Согласно µ § имеет место тождество µ § где µ § (см. µ §). Имеем µ § µ § µ § µ § µ § Полагая в последнем тождестве µ §, будем иметь µ § Это означает, что функции (9) являются решениями уравнения (1). Эти функции линейно независимы на любом отрезке µ § (см. утверждение µ § предыдущей лекции). Свойство µ § доказано. Если µ § ЁC комплексный корень кратности µ § уравнения µ § с постоянными и действительными коэффициентами µ §, то отделяя в (9) действительные и мнимые части, получаем µ § линейно независимых действительных решений µ § µ § Из этого факта и предыдущих утверждений вытекает следующий алгоритм построения фундаментальной системы решений однородного уравнения (1) с постоянными и действительными коэффициентами µ §. Алгоритм 1. 1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение µ §, заменив в (1) производные µ § на степени µ § (µ §). 2) Найдем корни µ § характеристического уравнения µ § и установим их кратности. 3) Каждому действительному корню µ § кратности µ § поставим в соответствие µ § линейно независимых решений µ § 4) Каждой паре комплексно-сопряженных корней µ § кратности µ § сопоставим µ § линейно независимых решений µ § 5) Объединим все полученные линейно независимые решения. Получим фундаментальную систему решений уравнения (1), состоящую из µ § функций (µ §ЁC порядок уравнения (1)). Общее решение уравнения (1) имеет вид µ § где µ § ЁC построенная в алгоритме 1 фундаментальная система решений, а µ § --- произвольные постоянные. Пример 2. Найти общее решение уравнения µ § Решение. Составляем характеристическое уравнение µ §, находим его корни и устанавливаем их кратности: µ § Согласно алгоритму 1 выписываем линейно независимые решения, отвечающие каждому корню: µ § Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид µ § 3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения Для неоднородного уравнения µ § µ § с непрерывными на отрезке µ § коэффициентами µ § и неоднородностью µ § был изложен метод вычисления частного решения µ § называемый методом вариации постоянных. После того как найдено частное решение неоднородного уравнения, его общее решение вычисляется по формуле µ § где µ § общее решение соответствующего однородного уравнения µ § Дадим еще один способ вычисления частного решения неоднородного уравнения (11), который применяется и в случае, когда коэффициенты этого уравнения переменные. µ § Пусть в уравнении (11) все коэффициенты µ § и правая часть µ § непрерывны на отрезке µ § и пусть µ § ЁC решение соответствующего однородного уравнения µ § удовлетворяющее начальным условиям µ § µ § при любом фиксированном значении параметра µ §. Тогда частное решение неоднородного уравнения (21.22) с нулевыми начальными данными µ § может быть записано в виде µ § µ § Доказательство. Найдем производные µ § функции (13), пользуясь формулой С учетом начальных условий (12), будем иметь µ § µ § Следовательно, µ § так как µ § Таким образом, функция (13) удовлетворяет неоднородному уравнению µ §. Из выписанных выше равенств для производных функции (13) следует, что она удовлетворяет нулевым начальным условиям. Утверждение µ § доказано. Пример 3. Найти общее решение неоднородного уравнения µ § µ § где µ § ЁC постоянная, а µ § ЁC произвольная непрерывная на отрезке µ § функция. Решение. Построим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения µ § Так как его характеристическое уравнение µ § имеет два различных комплексно-сопряженных корня µ § то его общее решение имеет вид µ § Подчиним это решение начальным условиям µ § Будем иметь µ § µ § Итак, µ §, значит µ § Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (14) имеет вид µ § а общее решение этого уравнения запишется в форме µ § Перейдем теперь к вычислению частного решения неоднородного уравнения (14) с помощью так называемого метода подбора. Оговоримся сразу же, что он применим для уравнений (11) с постоянными коэффициентами µ § и со специальной правой частью вида µ § µ § где µ § и µ § ЁC постоянные, а µ § и µ § --- многочлены степени µ § и µ § соответственно. Заметим, что функции вида µ § где µ §ЁC многочлены, а µ § ЁC постоянные (в общем случае комплексные), называются квазиполиномами (или квазимногочленами). Если выразить в (15) µ § и µ § через экспоненты (см. предыдущую лекцию), то (15) можно представить в виде квазиполинома с комплексными коэффициентами. Поэтому функцию (15) будем также называть квазимногочленом. При этом будем считать, что числа µ § и µ § действительные, а число µ § будем называть спектральным значением квазиполинома (15). Это число играет важную роль при построении частного решения неоднородного уравнения (11). Алгоритм 2 (метода подбора) Пусть требуется найти частное решение уравнения µ § µ § с постоянными коэффициентами µ § и с неоднородностью µ §, являющейся квазимногочленом (15). Для этого надо сделать следующее: 1) составить спектральное значение µ § правой части µ § уравнения (16); 2) если спектральное значение µ § не является корнем характеристического уравнения µ § то частное решение следует искать в виде µ § µ § где µ § и µ § --- многочлены (с неопределенными коэффициентами) степени µ §; 3) если спектральное значение µ § является корнем кратности µ § хаpактеристического уравнения µ §, то частное решение следует искать в виде µ § µ § где µ § и µ § ЁC многочлены (с неопределенными коэффициентами) степени µ §; 4) для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить функцию (17) (или (18)) в уравнение (16), сократить его обе части на экспоненту µ § и произвести приравнивание коэффициентов в обеих частях при одинаковых µ § а затем решить полученную линейную систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Заметим, что если спектральное значение µ § является корнем характеристического уравнения µ §, то говорят, что в уравнении (16) имеет место резонанс. Мы не будем заниматься обоснованием этого алгоритма. Такое обоснование можно найти во многих учебных пособиях по обыкновенным дифференциальным уравнениям (см., например, [I]). Покажем, как он работает на практике. Отметим, что при применении алгоритма 2 часто используется следующий принцип суперпозиции. Принцип суперпозиции. Если правая часть µ § уравнения µ § µ § является линейной комбинацией непрерывных на отрезке µ § функций µ §,и если µ §решения уравнений µ § то функцияµ § является решением уравнения (19) (здесь числа µ § могут быть и комплексными). Действительно, в силу линейности оператора µ § из тождеств µ § вытекает тождество µ § Рассмотрим несколько примеров. Пример 4. Найти общее решение уравнения µ § µ § Решение. Так как в правой части (20) нет µ §, то µ § и поскольку в правой части нет синусов и косинусов, то µ §. Значит, спектральное значение правой части равно µ § Характеристическое уравнение µ § имеет два различных чисто мнимых корня µ § и спектральное значение µ § oтличается от них, поэтому частное решение неоднородного уравнения (20) следует искать в виде µ § µ § (т.е. в таком же виде, что и правая часть уравнения (20)). Для вычисления неопределенных коэффициентов µ § надо подставить (21) в (20) и произвести приравнивание коэффициентов при oдинаковых степенях µ §. Вычислим сначала производные от много- члена (21): µ §Значит,µ § Приравнивание коэффициентов дает: µ §µ § Подставляя найденные коэффициенты в (21), найдем окончательно частное решение неоднородного уравнения (20): µ § Поскольку корни µ § характеристического уравнения µ § различны, то общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид µ § а значит общее решение исходного уравнения (20) запишется в форме µ § Пример 5. Найти общее решение уравнения µ § µ § Решение. Найти общее решение соответствующего однородного уравнения µ § не составляет труда, так как здесь корни характеристического уравнения µ § различны: µ § Оно имеет вид µ § Займемся вычислением частного решения неоднородного уравнения (22). Поскольку в правой части нет экспоненты µ § и синусов и косинусов, то спектральное значение µ § Оно является корнем характеристического уравнения кратности µ § Согласно п.3 алгоритма 2 частное решение неоднородного уравнения (22) следует искать в виде µ § µ § Вычисляя производные µ § функции (23) и подставляя ее в (22), будем иметь µ §Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях µ §получаем µ § Подставляя µ § и µ § в (23), найдем частное решение уравнения (22) в виде µ § а значит, общее решение этого уравнения запишется в форме µ § Пример 6. Решить уравнение µ § µ § Решение. Спектральное значение правой части µ § равно µ §, так как µ §, а синусы и косинусы отсутствуют. Характеристическое уравнение µ § имеет два различных действительных корня: µ § и µ §. Так как спектральное значение µ § не является коpнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (24) следует искать в виде (см. п.2 алгоритма 2): µ § µ § Для составления уравнений относительно неопределенных коэффициентов µ § и µ §, найдем производные функции (25): µ § Следовательно, µ § Сокращая здесь экспоненту, получаем тождество µ § Приpавнивание коэффициентов дает: µ § Подставляя µ §, µ § и µ § в (25), получаем частное решение в виде µ § При этом общее решение соответствующего однородного yравнения строится по корням µ § и µ § характеристического уравнения следующим образом: µ § а значит, общее решение неоднoродного уравнения (24) запишется в виде µ § Пример 7. Построить общее решение уравнения µ § µ § и найти его интегральную кривую, удовлетворяющую начальным условиям µ § Решение. Здесь правая часть не является квазиполиномом вида (17), поэтому сразу воспользоваться алгоритмом 2 нельзя. Разобьем уравнение (26) на два уравнения µ § µ § µ § µ § к которым можно применить метод подбора. Если будут найдены частные решения µ § и µ § этих уравнений, то, согласно принципу суперпозиции, частное решение исходного уравнения (26) будет иметь вид µ § Займемся поиском частного решения уравнения (27). Спектральное значение µ § его правой части равно µ § так как в (27) отсутствуют синусы и косинусы. Характеристическое уравнение µ § имеет два различных корня µ § Спектральное значение не совпадает с ними, и поэтому частное решение уравнения (27) следует искать в виде (см. п.2 алгоритма 21) µ § Подставляя это в уравнение (27), имеем µ §Значит, µ § Спектральное значение правой части уравнения (28) равно µ § Оно является корнем кратности µ § характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения (28) следует искать в виде (см. п.3 алгоритма 2): µ §Вычисляя производные µ § µ § и подставляя их в уравнение (28), получаем тождество µ § µ § или µ § Приравнивая здесь коэффициенты при µ § и µ §, получаем µ § Значит, частное решение уравнения (28) имеет вид µ §Согласно принципу суперпозиции частное решение уравнения (26) является суммой частных решений µ § и µ § т.е. µ § Пo корням µ § характеристического уравнения µ § строим общее решение соответстующего однородного уравнения µ § µ § и общее решение исходного неоднородного уравнения (28): µ § µ § Найдем теперь интегральную кривую, удовлетворяющую начальным условиям µ § Дифференцируя (29), найдем, что µ § µ § Подчиняя (29) и (30) начальным условиям µ § будем иметь µ § Cледовательно, искомая интегральная кривая задаётся уравнением µ § Замечание. Частное решение уравнення (26) можно вычислить с помощью интеграла (см. µ §): µ § Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними Комплексные числа и действия над ними были определены ранее (см. лекцию 4). Напомним их. Комплексными числами называют числа вида µ § где µ § и µ § ЁC действительные числа, µ § мнимая единица (µ §). При этом число µ § называется действительной частью, а число µ § ЁC мнимой частью комплексного числа µ §. Число µ § называется сопряженным к числу µ § а неотрицательное число µ § называется модулем числа µ §. Множество всех комплексных чисел обозначают буквой µ § Каждому комплексному числу µ § соответствует единственная точка µ §. При этом ось µ § называется действительной осью, с ось µ § ЁC мнимой осью. Сама плоскость µ § называется комплексной плоскостью; ее тоже обозначают буквой µ § Угол µ § называется аргументом}комплексного числа µ §. Ясно, что аргумент определяется неоднозначно. Главным значением аргумента называется угол µ § лежащий в пределах µ § (или в пределах µ §). Главное значение аргумента обозначается так: µ §. Из рис. 1 видно, что µ § Значит, комплексное число можно записать еще в виде µ § Эта форма называется тригонометрической формой числа µ §, а его первоначальная форма µ § --алгебраической формой комплексного числа µ §. Если воспользоваться формулой Эйлера µ §то можно получить еще одну форму комплексного числа µ § называемую показательной формой числа µ §. Понятие комплексной экспоненты и связанная с ней формула Эйлера будут даны немного позднее. Два комплексных числа называются равными, если равны одновременно порознь действительные и мнимые части этих чисел, т.е. µ § Действия над комплексными числами определяются равенствами: µ § µ § µ §µ § µ § Умножение комплексных чисел (и их деление) лучше производить в тригонометрической форме: µ § µ § µ § µ § (эти формулы легко получить, используя равенства 1-2). Отсюда вытекает следующее равенство µ § µ § Действительно, применяя первую из предыдущих формул µ § раз, будем иметь µ § 1. Извлечение корня µ §й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости Равенство (1) называется формулой Муавра. Используя его, можно вывести формулу извлечения корня µ §й степени из комплексного числа. Однако для этого надо ввести сначала понятие корня. Определение 1. Корнем µ §й степени из комплексного числа µ § называется такое комплексное число µ § µ §я степень которого равна µ § Обозначение: µ § Таким образом, µ § Пусть µ § Имеем (при µ §) µ § Значит, µ §Изменяя здесь µ § видим, что различные значения корня µ §й степени получаются при µ § Дальнейшее изменение µ § привело бы к уже полученным значениям µ § Если же µ §то, очевидно, µ § Мы доказали следующий результат. Теорема 1. Если µ §то корень µ § имеет ровно µ § различных значений: µ §Если µ § то µ §имеет только одно значение, равное нулю. Например, µ § µ § Приведем примеры простейших множеств точек на комплексной плоскости: а) µ §-- окружность с центром в точке µ § радиусом µ §; б) µ §-- открытый круг с центром в точке µ § радиусом µ §; в) µ §-- внешность открытого круга с центром в точке µ § радиусом µ §; г) µ § -- открытое кольцо с центром в точке µ §; д) µ § -- луч с началом в точке µ §, идущий под углом µ § к положительному направлению действительной оси; е) µ § -- внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точке µ § и углом µ §; ж) µ § -- прямая, параллельная мнимой оси, проходящая через точку µ §; з) µ § -- прямая, параллельная действительной оси, проходящая через точкуµ § и) µ §вертикальная полоса между прямыми µ § и µ § к) µ § горизонтальная полоса между прямыми µ § и µ § Рекомендуем сделать рисунки всех перечисленных множеств. В качестве упражнения попробуйте записать аналитически (в виде уравнений или неравенств) приводимые ниже множества на комплексной плоскости3 Рис. 2 Понятие окрестности точки вводится также, как и в действительном анализе. Определение 2. µ § окрестностью точки µ § называется открытый круг µ § с центром в точке µ § радиуса. Проколотой µ § окрестностью точки µ § называется множество µ § Определение 3. Точка µ § называется внутренней точкой множества µ § если она входит в µ § вместе с некоторой своей окрестностью. Если все точки множества µ § внутренние, то µ § называется открытым множеством. Определение 4. Точка µ § называется граничной точкой множества µ § если в любой окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащие µ § так и точки, не принадлежащие µ § Множество всех граничных точек µ § образует границу µ § Обозначение: µ § Определение 5. Множество µ § называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, не выходя из µ § Множество µ §называется односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в µ § можно стянуть в точку, не выходя из µ § И, наконец, множество µ § называется µ §связным, если его граница µ § состоит из µ § попарно не пересекающихся между собой замкнутых контуров. Определение 6. Любое открытое связное множество называется областью. Область µ § µ § называется ограниченной, если существует круг, охватывающий область µ § В противном случае область µ § называется не ограниченной. Пусть µ § и µ § две области на комплексной плоскости µ § причем µ § находится в плоскости µ § а µ § в плоскости µ § Определение 7. Говорят, что задана функцияµ § отображающая область µ § в область µ § если каждому числу µ § поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел µ § по закону µ § При этом µ § называется областью определения функции µ § Если каждому µ § поставлено в соответствие единственное число µ § то говорят, что функция µ §однозначна; в противном случае функция µ § многозначна. Функция называется однолистной в области µ § если µ § Например, функция µ § однозначная, но не однолистная, а функция µ § трёхзначная. Функция µ § однозначная и однолистная. Поскольку каждое комплексное число вполне определяется своей действительной и мнимой частью, то функцию комплексной переменной можно записать в виде Например, функцию можно записать в указанном виде, если в ней выделить действительную и мнимую части: Здесь Частные типы комплексных функций: а) комплексная последовательность: б) комплексная функция действительного аргумента: С последней функцией мы встречались в главе 4 при рассмотрении комплексных решений дифференциальных уравнений. Такие функции часто используются при задании кривых в комплексной плоскости. Например, уравнение описывает уравнение окружности в плоскости радиуса и с центром в точке 2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и ЁC действительные величины. Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись µ § автоматически предполагает, что µ § и µ § -- действительные величины. Определение 8. Число µ § называется пределом функции µ § в точке µ § (или при µ §), если µ § При этом пишут: µ § Геометрическая иллюстрация предела дана на рис. 6. Так же, как для действительных функций двух переменных, здесь действует правило: Так же, как для действительных функций двух переменных, здесь действует правило: если предел µ § существует,то он не должен зависеть от того, по какому пути текущая точка µ § стремится к предельной точке µ § Если найдутся два различных пути, по которым функция µ § имеет различные пределы, то µ § не существует. Из определения 8 вытекают следующие утверждения: µ § µ § µ §(еслиµ § Заметим, что для числа µ § аргумент не определён (удобно считать, что он произвольный), поэтому µ § произвольный. Поскольку определение предела функции комплексного переменного дословно повторяет аналогичное определение функции действительного переменного, то для комплексных функций справедливы все теоремы о пределах (о пределе суммы, произведения, частного и т.д.), сформулированные ранее для действительных функций. Нет нужды повторять их. Отметим только, что здесь аналогичным образом вводятся классы µ § для которых справедливы те же свойства, что и действительных классов. Например, µ § Справедлива также таблица эквивалентных бесконечно малых, которую мы напомним в соответствующем месте. Определение 9. Функция µ § называется непрерывной в точке µ § если: а) µ § определена в точке µ § и некоторой её окрестности; б) Из свойства 1 вытекает, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда одновременно непрерывны в точке её действительная часть и мнимая часть Таким образом, непрерывность в комплексном анализе аналогична непрерывности в действительном анализе, а значит, и там и там свойства непрерывных функций аналогичны друг другу. Например, если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области то она ограничена в В заключение приведем определения и свойства основных элементарных функций комплексного переменного. Некоторые из этих свойств будут обоснованы в следующей лекции. 1. Показательная функция определяется следующим образом: Она обладает следующими свойствами: 10) Область определения показательной функции -- все множество 20) Модуль и аргумент показательной функции. Из формулы (2) находим, что , поэтому 30) Область значений показательной функции все множество, кроме нуля, т.к. 40) 50) т.е. показательная функция периодическая с основным периодом, равным . 60) -- формула Эйлера. 2. Тригонометрические функции и . Они определяются следующим образом: Имеют место формулы Эти функции обладают следующими свойствами: 70) Тригонометрические функции и определены для 90) , Из основного тригонометрического тождества и теорем сложения можно получить обычные тригонометрические формулы: формулы приведения, синус и косинус кратного аргумента, формулы понижения степени и т.д. Отметим, что и могут быть не ограниченными. 110) Функции являются периодическими с периодом . 3. Тригонометрические функции и определяются равенствами Для них также сохраняются свойства "действительной" тригонометрии. 4. Гиперболические функции определяются равенствами: Между тригонометрическими и гиперболическими функциями устанавливается связь: Справедливо также соотношение 5. Логарифмическая функция -- комплекснозначный логарифм -- определяется как функция, обратная к показательной . Покажем, что Пусть Имеем Значит, т.е. имеет место формула (3). Логарифм является бесконечнозначной функцией. Вводится понятие главного значения (однозначной ветви) логарифма: Справедливы соотношения: Эти равенства следует понимать как равенства между множествами. Заметим, что если положительное действительное число, то В этом случае логарифмическая функция принимает бесконечное множество значений, одно из которых при действительно, т.е. главное значение логарифма совпадает с логарифмической функцией действительного аргумента. 6. Обратные тригонометрические функции определяются как решения соответствующих уравнений (например, функция есть обратная по отношению к , т.е. это решение уравнения и т.д.) Все эти функции бесконечнозначны и выражаются через логарифмические функции: 7.Обратные гиперболические функции вычисляются по формулам: 8. Степенная функция определяется по формуле -- комплексные числа). 9. Показательная функция. По определению полагаем Из представления видно, что эта функция представляет собой совокупность отдельных ветвей, отличающихся друг от друга множителем . Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции Так же, как и в действительном анализе, для функций комплексного переменного вводится понятие производной. Однако здесь это понятие более глубокое, чем в действительном анализе. Например, всякая линейная действительная функция дифференцируема в любой точке. Для комплексных функций это не так. Например, функция нигде не дифференцируема. Перейдём к изучению этого понятия. 1. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности Сместимся из точки в точку Тогда аргумент функции получит приращение , а сама функция -- приращение Определение 1. Если существует конечный предел то его называют производной функции в точке и обозначают С понятием производной тесно связано понятие дифференцируемости функции в точке функция называется дифференцируемой в точке если её приращение в этой точке представляется в виде где постоянная, не зависящая от При этом величина называется дифференциалом функции в точке и обозначается Разделив обе части равенства (2) на будем иметь Последнее равенство означает, что существует предел (1), т.е. что существует производная и что она равна Q. Таким образом, дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию производной . При этом и значит, Как уже отмечалось выше, не любая (даже очень простая) функция дифференцируема в точке Для этого её мнимая и действительные части должны быть определенным образом подчинены друг другу в следующем смысле. Теорема Коши-Римана. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы в точке её действительная и мнимая части были дифференцируемы (как функции действительных переменных) и чтобы в этой точке имели место равенства (равенства (3) называются условиями Коши-Римана). Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке {\textit{}} Тогда имеет место асимптотическое разложение (2). Запишем его более подробно: где 4. Отделяя здесь мнимые и действительные части, получим Эти равенства означают, во-первых, что функции дифференцируемы как функции действительных переменных и в точке и, во-вторых, что имеют место равенства в точке Таким образом, если функция дифференцируема в точкето имеют место условия Коши-Римана (3). Рассуждая обратным ходом, покажем, что при выполнении условий (3) функция будет дифференцируемой в точке Теорема доказана. Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что если } дифференцируема в точке то ее производную в этой точке можно вычислять по формуле или по формуле . Пример 1. Проверить, будет ли функция дифференцируемой. Если да, то найти её производную. Решение. Выделим сначала в мнимую и действительные части: Теперь проверим условия Коши-Римана. Имеем значит, условия (3) Коши-Римана выполняются для всех Следовательно, функция дифференцируема в любой точке Её производную находим по формуле. Таким образом, как и ожидалось, мы получили, что Забегая вперёд, отметим, что производные всех элементарных однозначных комплексных функций находятся по тем же правилам, что и производные действительных функций. Например, То же замечание справедливо и для отдельных ветвей многозначных функций. Например, Введём теперь следующее важное понятие. Определение 2. Функция называется аналитической в точке если она дифференцируема как в точке так и в некоторой её окрестности. Аналитичность функции в точке равносильна тому, что удовлетворяет условиям Коши-Римана (3) в некоторой окрестности точки (включая и саму точку Определение 3. Функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области }если она аналитична в любой точке этой области. Заметим, что действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа: Это непосредственно вытекает из условий Коши-Римана. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. |