Лекции(3 сем,2 курс). Лекция Общие понятия. Начальная задача (задача Коши) и теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения (интегралы) дифференциального уравнения.
 Скачать 4.11 Mb.
|
|
3 семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций. Лекция 1. Общие понятия. Начальная задача (задача Коши) и теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения (интегралы) дифференциального уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными В элементарной математике в основном рассматриваются алгебраические уравнения. Корнями (или решениями) таких уравнений являются, как правило, числа. В линейной алгебре мы имели дело с системами уравнений, решениями которых совокупности чисел (векторы). После изучения дифференциального и интегрального исчисления резонно рассмотреть уравнения, содержащих в качестве неизвестных не числа, а функции. Простейшим примером такого уравнения является следующее: µ § Здесь решением является такая функция µ § производная которой совпадает с известной функцией µ § Эту функцию, как известно называется первообразной для µ § Она имеет вид µ § Это и есть решение уравнения µ § которое называется дифференциальным уравнением. Перейдем к рассмотрению таких уравнений. 1. Общие понятия Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например, µ § Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то соответствующее уравнение называется обыкновенным уравнением (таковыми являются уравнения 1-3). Если же она зависит от двух и более переменных, то соответствующее уравнение называется уравнением в частных производных (таковым является уравнение 4). Здесь рассматриваются только обыкновенные уравнения. Они часто встречаются на практике. Например, уравнение µ §выражает собой второй закон Ньютона, а уравнение µ § описывает вынужденные колебания линейного осциллятора (точкой обозначено дифференцирование по µ §). Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной неизвестной функции или её дифференциала. Например, уравнения 1 и 3 ЁC дифференциальные уравнения первого порядка, а уравнение 2 ЁC уравнение µ §го порядка. 2. Дифференциальные уравнения первого порядка, его частное и общее решения (интегралы). Теорема Коши существования и единственности решения начальной задачи. Геометрический смысл дифференциального уравнения. Метод изоклин Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка: µ § µ § где µ §неизвестная функция. Областью определения уравнения (1) называется множество µ § Определение 1. Функция µ § называется решением уравнения (1) на отрезке1 µ § если выполнены следующие условия: 1) точка µ § 2) функция µ § дифференцируема на отрезке µ § и имеет место тождество µ § График решения µ § называется интегральной кривой уравнения (1). Например, функция µ § является решением уравнения µ § на всей числовой оси µ § (проверьте это!). Часто вместо слов “ решить уравнение” говорят “проинтег- рировать уравнение”. Пусть µ §ЁC область определения уравнения (1). Тогда в каждой точке µ § мы можем построить вектор µ § Поскольку угловой коэффициент интегральной кривой µ § в фиксированной точке µ § равен µ §то вектор µ § касается в точке µ § интегральной кривой. Важно заметить, что саму интегральную кривую можно и не знать, а вектор µ § всегда известен. Таким образом, уравнение µ § задаёт в своей области определения множество векторов µ § которое называют векторным полем (или просто полем) дифференциального уравнения (1). В этом и состоит геометрический смысл уравнения (1). В связи с этим задачу интегрирования дифференциального уравнения (1) можно свести к построению кривых, касающихся в каждой своей точке векторного поля µ § На такой интерпретации уравнения (1) основан геометрический метод решения, называемый методом изоклин. Поясним его смысл. Определение 2. Кривая µ § задаваемая уравнением µ § называется изоклиной уравнения (1). Из геометрического смысла уравнения (1) вытекает, что все его интегральные кривые в произвольной точке изоклины µ § имеют касательные векторы одного и того же наклона (см. рис.1). Построив довольно густую сетку изоклин (с различными постоянными µ §) и изобразив на них векторы µ § мы, двигаясь от фиксированной точки µ § с изображенным на ней вектором µ § проводим эскиз кривой, которая коснется вектора µ § на следующей ближайшей изоклине, и т.д. В результате будет нарисована приближенная интегральная кривая уравнения (1) (на рис. 1 изображены не сами векторы µ §, а их небольшие отрезки). Рассматривая уравнение µ § видим, что оно имеет бесконечное множество реше- ний µ § где µ §произвольная постоянная. Такая ситуация имеет место для любого дифференциального уравнения. Для выделения конкретного решения надо задать вместе с равнением (1) ещё так называемое начальное условие µ § означающее, что при µ § решение µ § должно иметь значение µ § Полученная задача называется начальной задачей или задачей Коши и её кратко записывают так: µ § Геометрически задача Коши означает, что среди всех интегральных кривых уравнения (1) надо найти ту, которая проходит через заданную начальную точку µ § (см. рис. 2). В каком случае задача Коши (2) имеет решение и будет ли оно единственным? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении, которое мы даём без доказательства. Теорема Коши (существования и единственности решения начальной задачи). Пусть в уравнении (1) правая часть µ § и её частная производная µ § непрерывны в области определения µ § уравнения (1). Тогда какова бы ни была начальная точка µ § лежащая внутри области µ § существует число µ § такое, что начальная задача (2) с указанной начальной точкой µ § имеет на отрезке µ § решение µ § и это решение единственно на этом отрезке. Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы Коши существует окрестность начальной точки µ §в которой содержится лишь одна интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку µ §(см. рис. 3) . Сделаем два замечания. Замечание 1. Теорема Коши носит достаточный характер. Это означает, что при выполнении её условий решение задачи (2) обязательно существует и единственно. Однако решение может существовать и тогда, когда не выполняются условия этой теоремы. Правда, в этом случае не гарантируется единственность решения. Например, задача Коши µ § имеет два решения : µ § и µ § В этой задаче правая часть µ § не удовлетворяет условиям теоремы Коши: в окрестности начальной точки µ § частная производная µ § не существует. Замечание 2. Теорема Коши носит локальный характер. Это означает, что при выполнении её условий существование решения гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки µ § (число µ §вообще говоря, достаточно малоМ). Перейдём теперь к описанию частного и общего решений и интегралов. Определение 3. Частным решением уравнения (1) называется решение какой-нибудь его фиксированной задачи Коши (2), а частным интегралом этого уравнения называется частное решение µ § записанное в неявной форме µ § Например, функция µ § является частным решением уравнения µ § а соотношение µ §ЁC частным интегралом того же уравнения. Определение 4. Общим решением уравнения (1) в области µ § (µ § область определения уравнения (1)) называется функция µ § удовлетворяющая следующим требованиям: 1) какова бы ни была допустимая постоянная µ § функция µ § является решением уравнения (1) на некотором отрезке µ § 2) какова бы ни была начальная точка µ § существует значение µ § постоянной такое, что функция µ § является решением задачи Коши (2) с этой начальной точкой. Общим интегралом уравнения (1) называется общее решение, записанное в неявной форме µ § Чтобы проверить, будет ли соотношение µ § общим интегралом уравнения (1), надо из системы уравнений µ § µ § исключить постоянную µ § Если при этом будет получено дифференциальное уравнение (1) (или эквивалентное ему уравнение), то µ §ЁC общий интеграл уравнения (1). Пример 1. Проверить, что соотношение µ § является общим интегралом уравнения µ § Решение. Составляем систему (3) и исключаем постоянную µ § µ § Получено данное дифференциальное уравнение, значит, µ §ЁC его общий интеграл. 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения Опишем теперь аналитические методы решения некоторых дифференциальных уравнений. 1. Уравнения с разделенными переменными: µ § Ясно, что общий интеграл этого уравнения может быть получен интегрированием обеих частей (функции µ §и µ § непрерывны в своих областях определения): µ § Отметим, что здесь часто вместо определенных интегралов пишут неопределенные. 2. Уравнения с разделяющимися переменными: µ § µ § (здесь перед дифференциалами стоят произведения функций с разделёнными переменными). Предполагая, что функции µ § непрерывны в своих областях определения, разделим обе части уравнения (4) на произведение µ § будем иметь µ § Получено уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя его, получим общий интеграл µ § Однако это верно в случае, когда µ § Случаи µ § или µ § надо рассматривать отдельно. Если при этом будут получены решения уравнения (4), то их надо присовокупить к уже полученным. Пример 2. Решить уравнение µ § Решение. Разделяем переменные, поделив обе части уравнения на произведение µ § и интегрируем полученное уравнение: µ § Рассматриваем отдельно случай µ § При µ § исходное уравнение обращается в тождество, значит, µ §ЁC решение. Оно может быть получено из µ § при µ § Функция µ § также удовлетворяет данному уравнение. Однако она не может быть получена из µ §. Следовательно, решениями исходного уравнения является совокупность функций µ § 3. Однородные уравнения: µ § Такие уравнения приводятся к уравнению с разделяющимися переменной заменой µ § где µ § новая неизвестная функция. Действительно, дифференцируя замену и подставляя её в исходное уравнение, будем иметь µ § Заметим, что к однородным приводятся уравнения вида µ § В первом случае надо разделить числитель и знаменатель входящей под знак функции дроби на µ § во втором случае сделать замену переменных µ § где µ § решение системы уравнений µ § Пример 3. Решить уравнениеµ § Решение. Найдем решение системы µ § Делаем замену переменных µ § Вместо исходного получим следующее уравнение: µ §jj Это уравнение однородно, поэтому делаем замену µ § В итоге получим уравнение µ § решая которое методом разделения переменных, будем иметь µ § Получен общий интеграл данного уравнения. Лекция 2. Линейные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл. Методы понижения порядка дифференциального уравнения Наиболее часто встречаются линейные дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, у которых правая часть линейна относительно неизвестной функции. Перейдём к их рассмотрению. 1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной Уравнение вида µ § µ § где µ § неизвестная функция, µ § известные функции2, называется линейным дифференциальным уравнением. Если µ § то уравнение (1) называется однородным. Если µ § то (1) называют неоднородным уравнением. Часто µ § называют свободным членом уравнения (1) или неоднородностью. Теорема 1. Пусть в уравнении (1) функции µ § непрерывны на отрезке µ § Тогда уравнение (1) с начальным условием µ § имеет на отрезке µ § единственное решение и это решение может быть записано в виде µ § µ § Доказательство. Найдем решение уравнения (1). Применим для этого так называемый метод вариации произвольной постоянной Лагранжа, который состоит в следующем. Решим сначала однородное уравнение, соответствующее уравнению (1): µ § µ §Затем вычислим решение уравнения (1), варьируя постоянную в решении однородного уравнения, т.е. будем определять решение уравнения (1) в виде µ § где µ § неизвестная функция. Подставляя предполагаемое решение в уравнение (1), будем иметь µ § откуда находим µ § Значит, общее решение уравнения (1) можно записать в виде µ § µ § Подчиняя его начальному условию µ § найдём, что µ § Следовательно, решение уравнения (1) с начальным условием µ § имеет вид (2). Теорема доказана. Замечание 1. Так как второе слагаемое в µ §есть частное решение (µ § ) неоднород- ного уравнения (1) (проверьте это!), а первое слагаемое суть общее решение µ § соответствующего однородного уравнения, то для линейных дифференциальных уравнений имеет место утверждение: общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е. µ § Замечание 2. В отличие от нелинейных уравнений, имеющих, как правило, локальные решения, линейные дифференциальные уравнения имеют “глобальные решения,” т.е. они существуют на отрезке µ §на котором непрерывны коэффициенты уравнения (1). И наконец, отметим, что так называемое уравнение Бернулли: µ § приводится к линейному уравнению делением обеих частей на µ § и дальнейшей заменой переменной µ § Пример 1 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты). Решить задачу Коши µ § Решение. Можно было бы сразу воспользоваться формулой (6), но мы ещё раз продемонстрируем метод Лагранжа. Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения: µ § Вычисляя общее решение исходного уравнения в виде µ §, будем иметь µ § Значит, общим решением данного неоднородного уравнения является функция µ §Подчиняя её начальному условию µ § будем иметь µ § Следовательно, решением исходной задачи Коши будет функция µ § Если в уравнении µ § порядок µ § то это уравнение называют уравнением высшего порядка. Мы будем рассматривать уравнения высших порядков, разрешённые относительно старшей производной: µ § µ § µ § Областью определения уравнения (1) называется множество µ § {µ § имеет смысл }. 2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл Сначала дадим понятие решения уравнения (3). Определение 1. Решением уравнения (3) на отрезке µ § называется такая функция µ § которая удовлетворяет следующим условиям: 1) функция µ § дифференцируема µ § раз на указанном отрезке; 2) точка µ § при всех µ § 3) имеет место тождество µ § Например, функция µ § является решением уравнения µ § на всей оси µ § так как имеет место тождество µ § Начальная задача (задача Коши) для уравнения (1) ставится следующим образом: µ § µ § µ § и формулируется так: для фиксированной начальной точки µ § найти решение µ § уравнения (3), график которого (интегральная кривая) проходит через точку µ § Имеет место следующее утверждение. Теорема Коши (существования и единственности решения начальной задачи для уравнения высшего порядка). Пусть в уравнении (3) функция µ § и её частные производные µ § непрерывны в области µ § Тогда какова бы ни была начальная точка µ § лежащая внутри областиµ §, существует число µ § такое, что задача Коши (4) с указанной начальной точкой имеет на отрезке µ § решение µ § и это решение единственно на указанном отрезке. Обращаем внимание на достаточный и локальный характер этой теоремы (см. предыдущую лекцию). Так же, как и в случае уравнения первого порядка, здесь вводятся понятия частного и общего решений (и их интегралов). Определение 2. Частным решением уравнения (3) называется решение какой-нибудь его задачи Коши (4). Общим решением уравнения (3) в области µ § называется функция µ §зависящая от µ § произвольных постоянных µ § удовлетворяю- щая следующим условиям: 1) при любых допустимых значениях постоянных µ § функция µ §является решением уравнения (1) на некотором отрезке µ § 2) какова бы ни была начальная точка µ § существуют значения постоянных µ § такие, что функция µ § является решением задачи Коши (4) с этой начальной точкой. И, наконец, частный интеграл уравнения (3) есть частное решение этого уравнения, записанное в неявной форме µ §а общий интеграл суть общее уравнения (3), записанное в неявной форме µ § Для проверки того, что соотношение µ § является общим интегралом уравнения (3) надо из системы уравнений µ § исключить произвольные постоянные µ §. Если при этом будет получено дифференциальное уравнение (3) (или эквивалентное ему уравнение), то µ §общий интеграл этого уравнения. Предлагаем в качестве упражнения проверить, что соотношение µ § является общим интегралом уравнения µ § 3. Уравнения, допускающие понижение порядка Ясно, что чем меньше порядок дифференциального уравнения, тем легче его решить. Посмотрим, какие уравнения допускают понижение порядка. Сначала рассмотрим простейшее уравнение µ § µ § не содержащее в правой части неизвестную функцию. Оно легко решается последовательным интегрированием: µ § µ § где µ § произвольные постоянные. Нетрудно доказать так называемую формулу Коши для µ §мерного повторного интеграла: µ § µ § и, стало быть, записать решение (5) с помощью одномерного интеграла. а) Уравнение, в котором отсутствуют неизвестная функция и её производные до µ §порядка включительно: |