Лекции(3 сем,2 курс). Лекция Общие понятия. Начальная задача (задача Коши) и теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения (интегралы) дифференциального уравнения.
 Скачать 4.11 Mb.
|
|
Пример 2. Является ли функция аналитической хотя бы в одной точке? Решение. Так как , то , . Условия Коши--Римана имеют вид: , и выполняются только в точке . Следовательно, функция дифференцируема только в точке и нигде не аналитична. По определению запишем: . Таким образом, производная существует и равна нулю. Так как мнимая и действительная части аналитической функции связаны условиями Коши-Римана (3), то определяется (с точностью до постоянного слагаемого) либо своей действительной, либо мнимой частью. Покажем это на примере. Пример 3. Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая часть дополнительном условии . Решение. Так как , то из условий Коши-Римана (3) находим производные действительной части: Решив первое из этих уравнений, находим где -- произвольная функция переменной . Для определения дифференцируем по и подставляем в (2): , откуда и . Следовательно, и окончательно получим: т.е. действительная часть восстанавливается с точностью до постоянного слагаемого. Условие позволяет найти эту постоянную однозначно: . Таким образом, . Имеют место следующие утверждения. 1. Степенная функция с натуральным показателем аналитична во всей комплексной плоскости причем 2. Каждая ветвь - фиксировано) функции аналитична в области причем 3. Комплексная экспонента аналитична во всей плоскости причем 4. Комплексные тригонометрические функции и аналитичны во всей плоскости причем То же утверждение имеет место и для гиперболических функций, причем 5. Каждая ветвь логарифми- ческой функции аналитична в области причем Все эти утверждения проверяются с помощью соотношений Коши-Римана. 2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в бесконечно малый вектор исходящий из точки а гладкая кривая переходит в гладкую кривую (см. рис. 8). Поскольку то выполняются одновременно следующие соотношения: Отсюда следует, что с точностью до выполняются равенства Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ): Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ): а) модуль равен коэффициенту растяжения (сжатия) бесконечно малого вектора исходящего из точки при отображении б) аргумент равен углу поворота бесконечно малого вектора исходящего из точки при отображении Эти утверждения верны для произвольного бесконечно малого вектора исходящего из точки причем утверждение б) будет верно для любых гладких кривых исходящих из точки (в этом случае вектор касается кривой в точке ). Если и две гладкие кривые, исходящие из точки то из утверждения б) следует, что при отображении они развернутся на один и тот же угол, т.е. угол между кривыми и при отображении сохраняется. Более того, сохраняется и направление этого угла. Исходя из сказанного, вводят следующее понятие. Определение 4. Отображение окрестности точки на окрестность точки называется конформным, если оно обладает постоянством растяжения (сжатия) бесконечно малых элементов и сохранением углов и их направлением между любыми двумя гладкими кривыми Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке области и если функция является аналитической и однолистной в области . Теорема 2. Пусть функция -- однолистная и аналитическая в области и в каждой точке области . Тогда отображение будет конформным в области . Доказательство этого утверждения вытекает из геометрического смысла производной и ее аргумента. Например, главная ветвь логарифма является конформным отображением области } на область Конформные отображения играют важную роль в прикладных науках. Однако подробное их изучение в нашем курсе не предусмотрено программой. Читателю, заинтересованному в более детальном ознакомлении с теорией конформных отображений, рекомендуем книгу Б.А. Фукса и Б.В. Шабата ``Функции комплексного переменного и некоторые их приложения'' (ГИФМЛ, Москва, 1959) . Лекция 7. Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции Везде ниже, если не оговорено противное, функция предполагается однозначной в своей области определения. Пусть в плоскости задана некоторая ориентированная кривая ( начало, конец). Каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число (и обратно), поэтому будем отождествлять точку и соответствующее комплексное число и будем писать Пусть функция определена на кривой . Разобьём кривую на частичные дуги точками в направлении ориентации кривой: Возьмём произвольно точку и составим интегральную сумму Обозначим диаметр разбиения . Определение 1. Если существует конечный предел интегральных сумм: и он не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют интегралом от функции вдоль кривой (дуги) и обозначают При этом функцию называется интегрируемой на кривой. Сразу же отметим свойство ориентированности этого интеграла: которое вытекает из того, что при ориентации кривой от до вектор заменяется на вектор Кроме того, интеграл от комплексной функции, очевидно, обладает свойствами линейности и аддитивности, которые мы не выписываем. Следующее утверждение позволяет свести комплексный интеграл к двум действительным криволинейным интегралам. Теорема 1. Пусть ограниченная дуга } кусочно-гладка и лежит в области определения функии . Пусть, кроме того, непрерывна на дуге }. Тогда имеет место равенство Доказательство. Преобразуем в интегральной сумме (1) слагаемое : Тогда интегральная сумма в равенсте (1) примет вид Здесь действительная часть является интегральной суммой для криволинейного интеграла , а мнимая часть ЁC интегральной суммой для криволинейного интеграла . Так как функция непрерывна на дуге то на этой дуге непрерывны ее действительная часть и мнимая часть поэтому указанные криволинейные действительные интегралы существуют. Переходя к пределу в равенстве (7) при получаем равенство (2). Теорема доказана. Из этой теоремы вытекают свойства линейности, аддитивности и другие свойства комплексного интеграла. В частности, справедлива теорема об оценке интеграла. Теорема 2. Если функция непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной кривой то имеет место неравенство где -- длина дуги Из теоремы 1 вытекает также следующее утверждение. Теорема 3. Пусть дуга задана параметрически уравнением причем функция непрерывна на отрезке и дуга ориентирована по возрастанию параметра (т.е. -- начало, конец дуги ). Пусть, кроме того, функция непрерывна на дуге .Тогда имеет место равенство В качестве примера вычислим интеграл, имеющий широкое применение в дальнейшей теории интеграл Покажем, что Имеем Если то Если то Равенство доказано. 2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши Напомним, что множество µ § называется односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в можно стянуть в точку, не выходя из µ §. Множество µ § называется µ § связным, если его граница µ § состоит из попарно не пересекающихся между собой замкнутых контуров. Например, на рисунке A изображена односвязная область, на рисунке B ЁC 4-связная область (одна внешняя граница и три внутренних границ). При этом будем говорить, что направление на границе µ § является положительным (µ §ЁC положительно ориентирована), если при её обходе область µ § остаётся слева. Например, на рисунке C граница двухсвязной области положительно ориентирована. Ориентация, противоположная положительной, называется отрицательной. Теорема Коши для односвязной области. Пусть область µ § односвязная и функция µ § аналитична в µ § Тогда каков бы ни был кусочно- гладкий замкнутый контур µ § лежащий внутри µ § интеграл от µ § по µ § равен нулю. Доказательство. Вычислим интеграл µ § Воспользуемся формулой Грина: µ § где µ §область, охватываемая контуром µ § Будем иметь µ § (здесь в квадратных скобках выписаны условия Коши-Римана, которые выполняются, так как функция µ § аналитична в области µ §). Теорема доказана. Теорема Коши для многосвязной области. Пусть область µ § µ § связна,причем µ §её внешняя граница, а µ §её внутренние границы, обходимые все против часовой стрелки. Пусть функция µ § аналитична в µ § Тогда имеет место равенство µ § Доказательство проведём для двухсвязной области µ § Сделаем разрез µ § соединяющий внутреннюю и внешнюю границы µ § и µ § Тогда область µ § будет односвязной, а замкнутый контур µ § лежит в µ § Значит, для этого контура справедлива предыдущая теорема: µ § Применяя свойство аддитивности интеграла, будем иметь µ § Рис. 10 Учитывая, что µ § приходим к равенству µ § Остаётся учесть, что здесь контуры µ § и µ § обходятся против часовой стрелки. Теорема доказана. И, наконец, сформулируем без доказательство следующее важное утверждение. Интегральная теорема Коши. Пусть функция µ § аналитична в односвязной области µ § Тогда какова бы ни была точка µ § лежащая внутри области µ § и замкнутый кусочно-гладкий контурµ §, охватывающий точку µ § и обходимый против часовой стрелки, справедлива интегральная формула Коши µ § µ § При этом функция µ § имеет всюду в µ § производные любого порядка, для которых справедлива формула µ §. µ § Замечание 1. Если функция аналитична в замкнутой ограниченной областиµ § с кусочно гладкой границей µ § то в качестве контура µ § в (6) можно взять границуµ § Тогда из (5) вытекает, что аналитическая в µ § функция µ § полностью определяется своими значениями на границе µ § Таким свойством действительные функции не обладают. Интегральная формула Коши имеет многочисленные применения, о которых будет сказано в дальнейшим. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить µ § Решение. Внутри окружности µ § знаменатель дроби обращается в нуль в точке µ §. Для удобства применения формулы (5) перепишем интеграл в виде µ §. Здесь µ § и µ § аналитична в круге µ §. Тогда µ §. Пример 2. Вычислить µ §: по а) контуру µ §; б) µ §. Решение. а) В круге µ § функция µ § аналитична. Следовательно, по теореме Коши для односвязной области получаем, что µ §. б) Так как внутри контура интегрирования знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в точках µ § и µ §, то для того, чтобы стало возможным применить формулу (5), рассмотрим многосвязную область µ § (рис. 11), ограниченную окружностью µ § и внутренними контурами µ § и µ § µ §. µ § Рис. 11 Тогда в области µ § функция µ § является аналитической, и по теореме Коши для многосвязной области можно записать: µ §. Для вычисления интегралов справа применим формулу (5): µ §; µ § Таким образом, µ §. 3. Первообразная функции комплексных переменных Функция µ § называется первообразной функции µ § в области в области µ § если µ § дифференцируема в µ § и µ § Теорема 1. Если однозначная функция µ § дифференцируема в односвязной области µ § то она имеет первообразную в этой области. Одной из первообразных является интеграл µ § где µ § любой кусочно-гладкий путь, соединяющий фиксированную точку µ § с текущей точкой µ §. Все остальные первообразные имеют вид µ § где µ § произвольная комплексная постоянная. Доказательство этой теоремы проводится так же, как и в действительном анализе. Используя эту теорему, нетрудно доказать следующие утверждения. 1. Если функция µ § аналитична в односвязной области µ § и µ §её первообразная в µ §, то справедлива формула Ньютона-Лейбница µ § 2. Если функция µ § аналитична в односвязной области µ § и µ §её первообразная в µ §, то справедлива формула интегрирования по частям µ § Замена переменных в интегралах от функции комплексного переменного аналогична случаю функции действительного переменного. Пусть аналитическая функция µ § отображает взаимно однозначно кусочно-гладкий контур µ § в плоскости µ § на контур µ § в плоскости µ §. Тогда µ § Замечание 2. Интегралы от элементарных однозначных функций в односвязных областях вычисляются по тем же формулам, что и в действительном анализе. Если же область µ § неодносвязна, то это правило может нарушаться. Для вычисления интеграла от многозначной функции указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется. Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрирования µ § замкнут, то начальной точкой µ § пути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции. Рассмотрим примеры (пример взяты из пособия Острая О.В. “Теория функций комплексного переменного”.- Оренбург, 2008). Пример 3. Вычислить µ § по кривой µ §, соединяющей точки µ §. Решение. Для параболы µ § имеем µ §, µ §. По формуле (48) µ §. Пример 4. Вычислить µ §, где µ § ЁC дуга окружности µ §, µ §. Решение. Положим µ §, µ §. Тогда µ §, и по формуле (49) находим: µ §. Пример 5. Вычислить µ §. Решение. Так как подынтегральная функция µ § аналитична всюду, то по (50) найдем: µ §. Пример 6. Вычислитьµ §. Решение. Функции µ § и µ § аналитичны всюду. По формуле (51) получим: µ §. Пример 7. Вычислить µ §, µ §. Решение. Функция µ § является многозначной: µ §, µ §; µ §. Условию µ § удовлетворяет та однозначная ветвь этой функции, для которой µ §. Действительно, при µ § (и так как µ §) µ §. Полагая теперь µ §, µ § на кривой µ §, находим µ §, µ § и, следовательно, µ §. Лекция 8. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана Пусть дана функциональная последовательность µ § состоящая из комплексных функций (µ § Тогда формальная сумма бесконечного числа слагаемых: µ § µ § называется рядом, построенным по указанной функциональной последовательности. В частности, если все µ § то ряд будет числовым. При этом µ § общий член ряда (1), а µ § его µ §я частичная сумма. Множество µ §{все µ § имеют смысл} называется областью определения ряда (1). Определение 1. Говорят, что ряд (1) сходится в точке µ § к сумме µ § если существует конечный предел µ § его частичных сумм. Это эквивалентно высказыванию µ § Если здесь номер µ § не зависит от µ § (т.е. µ §), то говорят, что ряд (1) сходится равномерно по µ § (или равномерно на множестве µ §). Это определение фактически не отличается от аналогичного определения в действительном анализе. Поэтому здесь также справедливы следующие утверждения. 1. Если ряд (1) сходится в точке µ §, то его общий член µ § при µ § 2. Если “модульный ряд” µ § сходится, то сходится и сам ряд (1) (в этом случае говорят, что ряд (1) сходится абсолютно; если ряд (1) сходится, а его “модульный ряд” расходится, то говорят, что (1) сходится условно). Для нахождения области абсолютной сходимости ряда (1) и области его равномерной сходимости надо применить известные признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный признак, признак Вейерштрасса) к действительному знакоположительному ряду µ § При этом все свойства равномерно сходящихся действительных рядов рядов переносятся и на комплексные ряды. Эти свойства следующие. 3. Если ряд (1) состоит из непрерывных на множестве µ § слагаемых µ § и сходится к сумме µ § равномерно на множестве µ §, то его сумма µ § непрерывна на µ §. 4. Если ряд (1) сходится равномерно на ограниченной кусочно- гладкой кривой µ § и все его члены непрерывны на µ § то ряд (1) можно интегрировать на µ § т.е. µ § 5. Если все члены ряда (1) аналитичны в ограниченной односвязной области µ § и ряд (1) сходится равномерно в замкнутой области µ § то его сумма µ § аналитична в µ § причем µ § а ряд из производных будет сходиться равномерно по µ § 1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана Функциональные ряды вида µ § где µ § (коэффициенты ряда) и µ § (центр ряда) ЁC постоянные, µ §переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимости степенного ряда µ § µ § (с центром µ §), то легко найдем и область сходимости исходного ряда µ § Поэтому впредь, если не оговорено противное, будем рассматривать степенные ряды µ §. Теорема Абеля. Если степенной ряд µ § сходится в точке µ § то он сходится абсолютно и в круге µ § В любом замкнутом круге µ § указанный ряд сходится равномерно. Так же, как и в действительном анализе, здесь вводится понятие радиуса сходимости ряда. Определение 2. Число µ § называется радиусом сходимости ряда (2), если внутри круга µ § этот ряд сходится абсолютно, а вне замкнутого круга µ § он расходится. При этом круг µ § называется кругом сходимости ряда µ §. Заметим, что при µ § указанный степенной ряд сходится только в точке µ § а при µ § он сходится при всех комплексных µ § Следующие примеры показывают, что эти случаи не исключаются: µ § Примером ряда с ненулевым конечным радиусом сходимости может служить геометрическая прогрессия µ § Заметим также, что на границе µ § круга сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, рядµ § сходится условно в точке µ § и расходится в точке µ § Здесь так же, как и в действительном анализе имеет место утверждение. Теорема 1. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий: а) существует (конечный или бесконечный) предел µ § б) существует (конечный или бесконечный) пределµ §(при этом предполагается, что существует номер µ § такой, что µ §). Тогда число µ § радиус сходимости рядаµ §. Пусть функция µ § имеет в точке µ § и некоторой её окрестности µ § производные µ § Тогда этой функции можно поставить в соответствие степенной ряд µ § µ § Этот ряд называется рядом Тейлора, построенным по функции µ § Возникают следующие естественные вопросы: |