Лекция_3._Основы_имитационного_моделирования. Лекция Основы имитационного моделирования Стохастические системы и их модели
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
Лекция 3. Основы имитационного моделирования Стохастические системы и их модели В зависимости от характера внешних воздействий и поведения системы различают детерминированные и стохастические системы. В детерминированных системах внешние воздействия на систему можно описать как функцию времени. Аналогично можно описать и реакцию системы на входные воздействия с помощью функции от множества воздействий. В стохастических системах характер поведения системы в некоторый момент времени в будущем с полной определенностью предсказать нельзя в силу того, что отсутствует полная ясность относительно входных воздействий, которые будут наблюдаться в этот момент времени, и/или нет однозначности в отношении оценки реакции системы на конкретный набор значений параметров входных воздействий. Термин стохастический происходит от греческого στοχαστικός ( “умеющий угадывать”), используется во многих областях науки и в общем случае означает непредсказуемость, хаотичность, случайность чего-либо. Так, в математике стохастическая матрица - это матрица, в которой все столбцы и/или строки представляют собой векторы вероятности, то есть ряды неотрицательных целых чисел, дающих в сумме единицу. Одним из классов стохастических систем, включающих большое число практически важных случаев, является класс систем массового обслуживания. Роль моделирования в управлении экономическими системами Экономические системы относятся, как правило, к так называемым сложным системам. Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно говорить об адекватности построенной экономической модели. Закономерности экономических процессов не обнаруживаются на основании небольшого числа наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения. Важно отметить динамичность экономических процессов, которая заключается в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием среды (внешних факторов) и случайность и неопределенность в развитии экономических явлений. Экономические явления и процессы носят в основном вероятностный характер, и для их изучения необходимо применение экономико- математических моделей на базе теории вероятностей и математической статистики. Можно отметить невозможность изолировать протекающие в экономических системах явления и процессы от окружающей среды, чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде. Выделенные свойства экономических систем осложняют процесс их моделирования, однако эти свойства следует постоянно иметь в виду при рассмотрении различных аспектов экономико-математического моделирования, начиная с выбора типа модели и кончая вопросами практического использования результатов моделирования. Усложнение производства, повышение ответственности за последствия принимаемых решений и требование принятия более точных решений привели к необходимости использования в управлении методов, подобных экспериментированию в технике или естественных науках. Однако эксперимент в экономике стоит дороже или вообще невозможен. Моделирование, как известно, в состоянии заменить эксперимент в экономике. Это и служит причиной широкого применения моделирования в экономике, превратив его в одно из основных направлений повышения эффективности управления. Опыт работы ведущих организаций в этой области показывает, что эффективность от применения моделирования обычно составляет 5-15% снижения себестоимости, повышения производительности или улучшения других технико-экономических показателей. Метод моделирования позволяет решать и многие другие, нерешенные до сих пор задачи, автоматизирует экономические расчеты. Внедрение моделирования в управление неразрывно связано с применением вычислительной техники в экономических расчетах и с созданием автоматизированных систем управления производством (АСУП), представляющих собой совокупность наиболее совершенных методов управления (в первую очередь, основанных на экономико-математическом моделировании) и современных технических средств управления. принимающего решение лица, это зачастую приводит к ошибочным решениям. Системы массового обслуживания Любую систему, в которой поток требований встречает ограниченные средства их удовлетворения, можно рассматривать как систему массового обслуживания. В частности, если моменты поступления требований или продолжительность их обслуживания не регламентируются, то при пользовании системой возникают конфликты и образуется очередь. Сотрудник Копенгагенской телефонной компании, ученый Агнер Эрланг, в период между 1908 и 1922 годами заложил основы теории массового обслуживания. Системы массового обслуживания (СМО) - это системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы на выполнение каких-либо услуг, с другой - происходит удовлетворение этих запросов. Методами теории массового обслуживания могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. В борьбу за клиентов в современной экономике вкладываются огромные средства. По оценкам западных экономистов, завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание существующих покупателей. А если клиент ушел неудовлетворенным, то на его возвращение приходится потратить в 25 раз больше средств. Во многих случаях неудовлетворенность клиент вызвана неудачной организацией его обслуживания (слишком долгое ожидание в очереди, отказ в обслуживании и т.д.). Использование теории массового обслуживания позволяет фирме избежать подобных неприятностей. Структура СМО Системы массового обслуживания (рис.1) включают следующие элементы: Источник требований; Входящий поток требований; Очередь; Обслуживающие устройства (каналы обслуживания); Выходящий поток требований Рис. 1. Структура СМО Заявками могут быть производственные и торговые заказы, заявки на ремонт станков, посадку самолетов в аэропорту и заправку и автомобилей на автозаправочной станции. Канал обслуживания может представлять собой совокупность устройств, этап производственного процесса, аэропорт и т.д. Интервалы между последовательными заявками и продолжительность их обслуживания являются случайными величинами. Экономические системы как вид СМО Экономическая система - это совокупность всех экономических процессов, совершающихся в обществе на основе сложившихся в нем отношений собственности и хозяйственного механизма. В любой экономической системе первичную роль играет производство товаров и услуг вкупе с последующим их распределением, обменом, потреблением и перераспределением. Многие экономические задачи связаны с системами массового обслуживания (СМО), т. е. такими системами, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой - происходит удовлетворение этих запросов. Методами теории массового обслуживания могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другим характерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организаций. Задача теории массового обслуживания в данном случае сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными. Теория массового обслуживания может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку - как требование. Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем. Примеры СМО 1) В торговле. Определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры 2) Склады. Установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными. 3) Расчет площади складских помещений. Складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку как требование. 4) Модель производственной фирмы, включает несколько цехов, которые последовательно участвуют в процессе производства некоторого изделия, заказы на изготовление изделия поступают в случайные моменты времени. 5) Модель управленческого звена фирмы, состоит из начальника и заместителей, которые принимают участие в приеме посетителей. В процессе моделирования требуется обеспечить одинаковую занятость участников процесса. 6) Модель бензоколонки. Количество автомобилей - случайная величина. 7) Модели в коммерческий деятельности предприятия. Коммерческая деятельность: погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация, а также операции с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п. Для коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени. Время их обслуживания носит также случайный характер. Характеристики эффективности СМО В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно выбрать три основные группы. 1) Показатели эффективности использования СМО: Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени. Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же время заявок. Средняя продолжительность периода занятости СМО. Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок и т.п. 2) Показатели качества обслуживания заявок: Среднее время ожидания заявки в очереди. Среднее время пребывания заявки в СМО. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания. Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО. Среднее число заявок, находящихся в очереди. Среднее число заявок, находящихся в СМО и т.п. 3) Показатели эффективности функционирования пары "СМО - Клиент", где под "клиентом" понимают всю совокупность заявок или некий их источник. К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени и т.п. Классификация СМО Классификацию СМО можно провести по следующим признакам. 1) По месту нахождения источника требований (рис. 2). Рис. 2. Классификация СМО по источнику требований. Разомкнутые - источник требования находится вне системы. Примером разомкнутой системы может служить ателье по ремонту телевизоров (магазины, кассы вокзалов, портов …). Здесь неисправные телевизоры — это требования, источник требований находятся вне системы, число требований можно считать неограниченным. Это система с неограниченным потоком требований. Замкнутые - источник находится в самой системе. К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником требований на их обслуживание бригадой наладчиков. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на новую накладку. В подобных системах общее число требований конечно и чаще всего постоянно. 2) По наличию очереди (рис. 3). Рис. 3. Классификация СМО по наличию очереди. С очередью - требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов. a) С ограничением на длину очереди (с ограниченным числом требований в очереди). b) С ограничением на время пребывания в очереди (ограниченным сроком пребывания каждого требования в очереди). С отказами - требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Примером системы с отказами является телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется. По наличию приоритета. Без приоритета: a) первый пришел - первый ушел b) последним пришел - первым ушел с) случайный отбор С приоритетом: a) абсолютный приоритет b) относительный приоритет с) специальные правила приоритета 3) По количеству каналов. Многоканальные: a) с однородными каналами b) с неоднородными каналами с) с параллельно расположенными каналами d) с последовательно расположенными каналами Одноканальные Метод Монте-Карло Статистические испытания по методу Монте-Карло представляют собой простейшее имитационное моделирование при полном отсутствии каких-либо правил поведения. Получение выборок по методу Монте-Карло - основной принцип компьютерного моделирования систем, содержащих стохастические или вероятностные элементы. Зарождение метода связано с работой фон Неймана и Улана в конце 1940-х гг., когда они ввели для него название «Монте-Карло» и применили его к решению некоторых задач экранирования ядерных излучений. Этот математический метод был известен и ранее, но свое второе рождение нашел в Лос-Аламосе в закрытых работах по ядерной технике, которые велись под кодовым обозначением «Монте-Карло». Применение метода оказалось настолько успешным, что он получил распространение и в других областях, в частности в экономике. По существу о применении метода Монте-Карло можно говорить только после работы Н. Метрополиса и С. Улема, вышедшей в 1949г. В этой работе впервые появился термин «Монте-Карло». Практически метод Монте-Карло получил широкое распространение только в процессе эксплуатации мощных вычислительных машин. Поэтому многим специалистам термин «метод Монте-Карло» иногда представляется синонимом термина «имитационное моделирование», что в общем случае неверно. Имитационное моделирование - это более широкое понятие, и метод Монте-Карло является важным, но далеко не единственным методическим компонентом имитационного моделирования. Статистическое моделирование является разновидностью имитаци- онного моделирования и состоит в обработке данных о системе (модели) с целью получения статистических характеристик системы. Чаще всего оно применяется как способ исследования процессов поведения вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах, главным образом при решении задач исследования операций, в анализе производственной деятельности. Способ заключается в машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на вычислительной машине со всеми присущими ему случайностями. Смысл метода Монте-Карло состоит в том, что исследуемый процесс моделируется путем многократных повторений его случайных реализаций (Рис. 4). Единичные реализации называются статистическими испытаниями - отсюда второе название метода. Метод применяется в тех случаях, когда построение аналитической модели явления затруднено или вовсе неосуществимо, например, при решении сложных задач теории массового обслуживания и ряда других задач исследования операций, связанных с изучением случайных процессов. Метод Монте-Карло широко применяется в различных областях, имеет ряд разновидностей и модификаций, зависящих от особенностей решаемых с его помощью задач и повышающих точность и вычислительную эффективность. Рис. 4. Блок-схема метода Монте-Карло. Случайные и псевдослучайные числа Чисто случайныепоследовательности выдают аппаратурные средства, например, базирующиеся на усилении и обработке теплового шума электрон- ных схем. На практике случайные числа генерируются на ЭВМ, для чего используются специальные программные или аппаратурные средства, которые называются генераторами случайных чисел. Программные средства данного типа обычно выдают так называемые псевдослучайные последовательности (имеющие цикл повтора, хотя и очень длительный). Механизм метода можно пояснить на примере вычисления определенного интеграла (Рис. ). n=0 Провести испытание n=N? n=n+1 Вычислить значение по результатам испытаний Нет Да 0 Y=F(x) Y X Рис. 5. Вычисление интеграла с помощью метода Монте-Карло. Для определения площади под графиком функции Y=F(X), представляющей собой графическую интерпретацию определенного интеграла, можно испо- льзовать следующий подход: ограничим функцию прямоугольником (показанным на рисунке пунктиром), площадь которого прямоугольника S легко вычисляется; внутрь прямоугольника поместим случайным образом N точек, коорди- наты которых будем получать с помощью специальных датчиков (гене- раторов) случайных чисел; определим число точек ' N , которые будут находиться ниже графика функции; Тогда значение интеграла (т.е., площади под графиком функции S ) определится из выражения: ' прямоугольника N S S N Случайные процессы в системах массового обслуживания В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания, - выходящим потоком. Случайный характер распределения длительности выполнения операций обслуживания наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который "может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания. Заметим, что заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи не обслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи не обслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем. Теория массового обслуживания занимается изучением процессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой методов решения типичных задач массового обслуживания. Работу системы обслуживания характеризуют такие показатели, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в конечном итоге удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показатели коммерческой деятельности. Чтобы улучшить качество функционирования системы обслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как расположить или сгруппировать каналы обслуживания или обслуживающие аппараты для улучшения показателей коммерческой деятельности. Для решения перечисленных задач существует эффективный метод моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики. Рассмотрим систему с одним прибором обслуживания и имеющую очередь для заявок, ожидающих освобождения прибора. Будем рас- сматривать случай простейшего потока заявок на обслуживание. Пусть s t — среднее время обслуживания заявки, w t — среднее время ожидания заявки в очереди, a t — средний интервал времени между поступлением заявок, s — стандартное отклонение времени обслуживания, ρ — коэффициент использования прибора, s a t = t , s c — коэффициент вариации времени обслуживания, s s s σ c t Тогда среднее время ожидания заявки в очереди можно рассчитать по формуле Хинчина-Полачека: 2 (1 ) 2(1 ) s s w t c t Число заявок, ожидающих обслуживания, (среднюю длина очереди) можно найти, умножив w t на величину λ: 2 (1 ) 2(1 ) s s w w t c n t Учитывая, что: w t будем иметь: 2 2 (1 ) 2(1 ) s w c n Формула Хинчина-Полачека используется для вычисления длин очередей при проектировании информационных систем. Она применяется в случае экспоненциального распределения времени поступления при любом распределении времени обслуживания и любой дисциплине управления, лишь бы выбор очередного сообщения для обслуживания не зависел от вре- мени обслуживания. Распределения случайных величин и функции распределения Распределение числовой случайной величины - это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу. Первое - если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задается функцией Р(Х=х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины Х вероятность того, что Х = х. Второе - если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задается набором вероятностей P(a b таких, что a Распределение может быть задано с помощью функции распределения F(x) = P(X P(a Это соотношение показывает, что как распределение может быть рассчитано по функции распределения, так и, наоборот, функция распределения – по распределению. Непрерывная случайная величина может принимать любое значение, принадлежащее числовой оси или интервалу. Примером такой случайной величины может служить вес какой-нибудь коробки, время загрузки Web- страницы, расходы на рекламу, доходы от продаж, время обслуживания клиента и время между двумя приходами клиентов в банк. На рис. 6 представлены примеры графиков плотности распределения для нескольких законов распределения. На панели А представлена плотность нормального распределения. Эта функция является симметричной и колоколообразной. Следовательно, большинство значений такой случайной величины концентрируется вокруг математического ожидания, которое совпадает с медианой. Несмотря на то что нормально распределенная случайная величина может принимать любые числовые значения, вероятность очень больших положительных или отрицательных значений крайне мала. На панели Б изображена плотность равномерного распределения. Значения случайной величины, равномерно распределенной на интервале от а до b, равновероятны. Иногда это распределение называют прямоугольным. Оно является симметричным, и, следовательно, его математическое ожидание равно медиане. На панели В показана плотность экспоненциального распределения. Это распределение имеет ярко выраженную положительную асимметрию, и, следовательно, его математическое ожидание больше медианы. Экспоненциально распределенные случайные величины изменяются от нуля до плюс бесконечности, однако очень большие значения крайне мало вероятны. Рис. 6. Примеры плотности распределения для нескольких законов распределения. Использование нормального распределения Нормальное, или гауссово распределение, – это, несомненно, одно из наиболее важных и часто используемых видов непрерывных распределений. Оно симметрично относительно математического ожидания (см. панель А на рис. 6). Важность нормального распределения в статистике обусловлена тремя причинами: 1. Оно описывает (точно или приблизительно) распределение многих непрерывных случайных величин. 2. С помощью нормального распределения можно аппроксимировать разнообразные дискретные распределения. 3. Нормальное распределение лежит в основе классической теории статистических выводов, поскольку оно тесно связано с центральной предельной теоремой. Нормальное распределение: Имеет колоколообразную (а значит, симметричную) форму. Его математическое ожидание, медиана и мода совпадают друг с другом. Половина нормально распределенных значений лежит в интервале, длина которого равна 4/3 стандартного отклонения. Это значит, что межквартильный размах находится в интервале от 2/3 стандартного отклонения левее среднего значения до 2/3 стандартного отклонения правее среднего значения. Значения нормально распределенной случайной величины лежат на всей числовой оси (–∞ < Х < +∞). Предположим, что какой-то случайный процесс состоит из последовательности n элементарных независимых процессов. Длительность каждого элементарного процесса t i это случайная величина, распределенная по неизвестному закону с математическим ожиданием t i и дисперсией 2 i Допустим, что это непрерывное распределение (допущение, справедливое для нормальной жизни общества, где существует природная инертность), причем третий момент должен иметь ограничение по абсолютной величине (это также естественно реальное условие). Справедливо соотношение: n i i t n T 1 } { Теорема 1 (без доказательства). Если сделать предельный переход и устремить n , то распределение случайной величины t=T{n} устремится к нормальному с математическим ожиданием M[t] и дисперсией D[t], определяемых из следующих соотношений: n i i t t M 1 ] [ и n i i t D 1 2 ] [ . В различных математических постановках центральная предельная теорема рассматривается в научной литературе по теории вероятностей и математической статистике. Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит свое название по той причине, что она является центральным, наиболее часто применяющимся математическим результатом теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет - с 1730 г., когда английский математик А.Муавр (1667-1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ, до двадцатых – тридцатых годов ХХ в., когда финн Дж.У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886-1971), югослав В. Феллер (1906- 1970), русский А.Я. Хинчин (1894-1959) и другие ученые получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы. Практический смысл этой теоремы очень прост. Любые сложные работы на объектах экономики (ввод информации из документа в компьютер, проведение переговоров, ремонт оборудования и др.) состоят из многих коротких последовательных элементарных составляющих работ. Причем количество этих составляющих работ иногда настолько велико, что требования в приведенной выше теореме о независимости и одинаковом распределении становятся излишними. Поэтому при оценках трудозатрат всегда справедливо предположение о том, что их продолжительность – это случайная величина, которая распределена по нормальному закону. Выяснение условий, при которых действует ЦПТ, составляет заслугу выдающихся русских ученых А.А.Маркова (1857-1922) и, в особенности, А.М.Ляпунова (1857-1918)». Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения. Использование равномерного распределения Случайная величина имеет равномерное распределение, если вероятность того, что она принимает любое значение в интервале, ограниченном минимальным числом а и максимальным числом b, постоянна. Поскольку график плотности этого распределения имеет вид прямоугольника, равномерное распределение иногда называют прямоугольным (см. панель Б на рис. 6). Плотность вероятности этой функции распределения: где a и b – некоторые числа, a Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того, в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности). Чаще всего равномерное распределение используется для выбора случайных чисел. При осуществлении простого случайного выбора предполагается, что каждое число извлекается из генеральной совокупности, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1. Такое распределение используется, если об интервалах времени известно только то, что они имеют максимальный разброс, и ничего не известно о распределениях вероятностей этих интервалов. Равномерное распределение можно использовать при расчетах по сетевым графикам работ, в том числе при работе по методу PERT. Это распределение можно применять и при расчетах основных длительностей и времен в военном деле (времени выдвижения воинской части или ее подразделения на исходный рубеж, времени марша, времени подготовки рубежа обороны и др.). Равномерно распределённая случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчётов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении в отчёте до ближайшего целого деления является случайной величиной, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Использование экспоненциального распределения Экспоненциальное распределение является непрерывным, имеет положительную асимметрию и изменяется от нуля до плюс бесконечности (см. панель В на рис. 6). Этому закону распределения подчиняются многие явления, например: время поступления заказа на предприятие; посещение покупателями магазина-супермаркета; телефонные разговоры; срок службы деталей и узлов в компьютере, установленном, например, в бухгалтерии. Экспоненциальное распределение оказывается весьма полезным в деловых приложениях, особенно при моделировании производства и систем массового обслуживания. Оно широко используется в теории расписаний (очередей) для моделирования промежутков времени между двумя запросами, которые могут представлять собой приход клиента в банк или ресторан быстрого обслуживания, поступление пациента в больницу, а также посещение Web-сайта. Если вероятность наступления события на малом интервале времени t очень мала и не зависит от наступления других событий, то интервалы времени между последовательностями событий распределяются по экспоненциальному закону с плотностью вероятностей 0 , 0 ; 0 , ) ( e t t t p t Особенностью этого распределения являются его параметры: математическое ожидание M[t] =1/ ; дисперсия и D[t] = 2 = (1/ ) 2 Математическое ожидание равно среднеквадратичному отклонению, что является одним из основных свойств экспоненциального распределения. В теории потоков событий справедлива теорема, аналогичная центральной предельной теореме, но в ней речь идет не о суммировании случайных величин, а о суммировании потоков событий. Рассматривается суммарный поток, составленный из большого числа независимых потоков, ни один из которых не оказывает преобладающего влияния на суммарный поток. Рассмотрим предельную теорему о суперпозиции потоков. Предположим, что можно наблюдать k независимых потоков событий (рис. 7). В каждом таком потоке можно наблюдать m j элементарных событий, j=1, ... , k. Интервалы времени между событиями это независимые случайные величины, распределенные по неизвестному закону с математическим ожиданием 1/ j Рис. 7. Интерпретация предельной теоремы о суперпозиции потоков событий Спроектируем моменты всех событий на общую ось времени и рассмотрим случайный интервал времени t=T{k} между двумя событиями полученного суммарного потока, состоящего из n событий, где k j j m n 1 Теорема 2 (без доказательства). Если сделать предельный переход и устремить n , то распределение случайной величины интервала t=T{k}в суммарном потоке событий, состоящем из k элементарных потоков, устремится к экспоненциальному с математическим ожиданием k j j t M 1 1 ] [ Следствие (без доказательства). Поток заявок, интервал поступления которых в некую системы имеет экспоненциальное распределение, является простейшим. Прокомментируем практический смысл этой теоремы. Пример. Допустим, что имеется некая крупная фирма. Клиенты фирмы – это физические и юридические лица. Каждый из них может иметь набор планов и расписанных дел на значительном интервале времени. Однако если рассмотреть суммарный поток обращений этих клиентов к служащим фирмы по разным вопросам, то интервал времени между двумя последовательными обращениями в соответствии с рассмотренной теоремой является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение зависит только от одного параметра, который обозначается буквой λ и представляет собой среднее количество запросов, поступающих в систему за единицу времени. Величина 1/λ равна среднему промежутку времени, прошедшего между двумя последовательными запросами. Например, если в систему в среднем поступает 4 запроса в минуту, т.е. λ = 4, то среднее время, прошедшее между двумя последовательными запросами, равно 1/λ = 0,25 мин, или 15 с. |