количественные отношения. Лекция Освоение детьми количественных отношений, чисел и цифр
 Скачать 63.89 Kb.
|
|
§ 4. О развитии у детей деятельности счета Изучая и наблюдая действия детей с множествами, можно заметить у них большой интерес к множественности одинаковых предметов. Дети раскладывают предметы совокупности на столе, на полу, чаще всего по горизонтали, в виде кривой линии, гирлянды. Часто они прижимают предметы друг к другу, например пуговицы, тарелки, чашки и другие мелкие предметы. Детей двух лет весьма привлекает множественность однородных предметов, но при этом они равнодушны к тому, одинакового ли цвета и размера все элементы множества. Раскладывая предмет за предметом, они как бы дробят множественность на элементы, и именно это привлекает внимание детей. Например, рассыпав пирамидку на кольца, они раскладывают их в ряд или вынимают матрешки одну за другой и ставят их в еще весьма неточный ряд. Детей в этом возрасте привлекает также однородность звуков, движений. Они охотно повторяют одно и то же движение: стучат ложкой или другим каким-либо предметом; открывают и закрывают много раз крышку коробки, сахарницы, открывают и закрывают много раз дверь в комнату; бросают предметы один за другим, следя за их падением; любят, чтобы взрослые раскачивали их самих из стороны в сторону, подбрасывали вверх и т. д. Таким образом, мы видим, что внимание детей в возрасте 1 года 6 мес.— 2 лет привлекают разнородные виды множественности: предметов, звуков, движений. Манипуляции с множественностью служат пропедевтикой будущей счетной деятельности детей, особенно это становится очевидным, когда все движения с предметами сопровождаются повторением одного и того же слова: «Вот... вот... вот...», или «Еще... еще... еще...», или «На... на... на...» и др. Важно то, что каждое повторяемое ребенком слово соотносится с одним предметом или с одним движением. Слово помогает выделять элементы из множественности одно родных предметов, движений, более четко обособлять один элемент от другого. При этом устанавливается еще не осознанное ребенком взаимно-однозначное соответствие между количеством предметов, вернее, движений и количеством произносимых однородных слов. Конечно, это еще стихийно используемый ребенком прием, однако он служит известной подготовкой ребенка к счетной деятельности в будущем. Такое манипулирование с множествами можно рассматривать как первый этап в развитии счетной деятельности. В дальнейшем появляется интерес к сравнению величин и множеств. Подобное поведение характеризует в основном детей третьего года жизни и может рассматриваться как второй этап в развитии счетной деятельности. Тенденция к сравнению проявляется у детей различно. Например, малыши пытаются сравнить размеры полученных ими пряников и для этого прикладывают пряники друг к другу, но, конечно, еще неточно. В других случаях дети спорят между собой, кому из них подарили дома больший мяч: они широко разводят руками, чтобы показать его размер. Это первые, еще весьма диффузные способы измерения и показа размеров предмета. Дети внимательно следят за тем, чтобы все получили поровну орехов, конфет и т. д., когда каждому дают по нескольку штук. Они начинают сопоставлять каждую конфету одной группы с конфетою другой группы, определяя тем самым численности множеств. Все эти факты свидетельствуют о стремлении детей путем сравнения определить численность той или иной совокупности или размер предметов — больше, меньше, поровну. Конечно, это еще первые попытки познать число путем сравнения, но зарождение их очевидно. Эта тенденция возникает, с одной стороны, в силу подражания действиям взрослых, а главное — в силу того, что у детей давно уже сформировалось представление о неопределенной множественности, и на данном этапе начинает формироваться представление о конечном множестве как структурно-целостном единстве. Именно это позволяет детям поэлементно сравнивать одну группу конфет с другой, устанавливая между ними взаимно-однозначное соответствие: А, В, С, D, эквивалентно а, b, с, d. На третьем этапе развития счетной деятельности при сопоставлении элементов сравниваемых множеств начинает включаться последовательное называние слов-числительных. Развитие этого этапа в значительной степени обусловлено обучением. При отсутствии такового или при неправильном обучении дети не усваивают приемы соотнесения числительных с объектами множеств (пропускают элементы множеств или, наоборот, соотносят одно числительное с несколькими объектами) и, как правило, не умеют обобщить все пересчитанное множество. На вопрос «сколько?» они вновь начинают пересчитывать множество и снова не обобщают общего количества, не отвечают на этот вопрос. Это часто встречается в тех случаях, когда взрослые спешат с обучением счету с помощью слов-числительных и не учат сравнивать поэлементно конкретные множества и на основе сравнения определять их равенство и неравенство, т. е. не обеспечивают достаточных упражнений с множествами в дочисловой период. Усвоив же в дочисловой период, что множества бывают равными и неравными, дети начинают проявлять интерес к счетной деятельности, именовать множества числами. Понимание значимости итогового числа при счете усваивается детьми быстрее. Они дифференцируют итог счета от процесса счета, что весьма важно для данного этапа. Дети сравнительно легко усваивают и то, что равночисленные множества всегда именуются одним и тем же числом. Дети не сразу овладевают умениями считать предметы в большом количестве. По-прежнему, сравнивая две совокупности, состоящие из равного количества элементов, или две совокупности, одна из которых будет содержать на один элемент больше, дети четырех лет учатся считать, пользуясь словами-числительными, сначала в пределах пяти, а уже позднее (в пять-шесть лет) усваивают счет и в пределах десяти. На четвертом этапе развития счетной деятельности дети дошкольного возраста (пять-шесть лет) уже четко усваивают последовательность в назывании числительных, все более точно соотносят числительное с каждым элементом множества независимо от формы его расположения и качества его элементов; они не только усваивают значение последнего числа, как итогового, но. и начинают понимать, что число показывает равночисленность множеств независимо от пространственно-качественных их особенностей, что оно всегда служит показателем лишь количества. Строгая последовательность чисел обусловлена тем, что все числа натурального ряда взаимосвязаны между собою; каждое последующее число больше предыдущего на 1 единицу и каждое предыдущее меньше последующего на 1 единицу. Таким образом, на данном этапе дети овладевают пониманием количественного значения числа (его отношений к единице) и пониманием взаимно-обратных отношений между смежными числами натурального ряда. На пятом этапе, опираясь на знания и умения детей можно обучить детей шести-семи лет счету множеств с различным основанием единицы, когда считаются уже не отдельные предметы, а группы, состоящие из нескольких предметов (из трех, пяти, десяти). Дети усваивают, что единицей счета может быть целая группа, а не только отдельный предмет. Подобный счет групп углубляет понимание значения единицы. Деятельность счета поднимается на новый, более высокий уровень. Шестой этап развития деятельности счета в основном падает уже на I класс школы. Упражняясь в. счете множеств с различным основанием единицы (например, в счете групп, состоящих из 10 предметов), дети усваивают счет десятками .(один десяток, два десятка, три десятка и т, д.), т. е. подходят к, элементарному пониманию основ десятичной системы счисления, Усваивая дальше названия десятков (десять, двадцать, тридцать и т. д.),.дети понимают их значение и умеют доказать, продемонстрировав это на конкретном материале. В процессе развивающейся счетной деятельности у детей формируется целый ряд понятий, а также возникает и развивается новый вид деятельности — измерение. Пользуясь сначала счетом отдельных предметов, затем групп, измеряя ту или иную длину различными условными мерками, а затем общепринятыми мерами (метром, сантиметром); измеряя жидкие и сыпучие тела сначала условными мерками, (стаканом, ложкой и др.), а затем эталонами (литр, килограмм и др.); измеряя температуру воды, воздуха градусами; измеряя, длительность и текучесть времени часами, минутами и т. д., дети осваивают понятие числа, которое развивается, расширяется, поднимается до все большей абстракции. И если в младшем дошкольном возрасте знания и оценки численностей тех или иных множеств были эмпирическими, житейскими, опирающимися на сенсорное восприятие, то постепенное усвоение элементарных математических знаний поднимает уровень развития детей до опосредованных их оценок. Это в свою очередь служит основой для развития у детей новой деятельности — вычисления. Вычислительная деятельность имеет дело уже с числами как абстрактными понятиями, в то время как счетная деятельность всегда имеет дело с конкретными множествами (предметами, звуками, движениями, протяженностями, объемами и мн. др.), которые воспринимаются различными анализаторами. О руководстве развитием счетной деятельности Усвоение счетной деятельности и в процессе ее развитие целого ряда понятий совершается не само собой, а в результате организованного взрослыми обучения. Зрительные представления малышей еще весьма диффузны. Поэтому очень важно с самого начала создать четкий образ действия счета, например направление движения правой руки слева направо, при использовании приемов наложения и приложения предметов совокупности на линейно расположенном образце; приемов действия при воспроизведении множества, представленного в виде числовой фигуры. Столь же необходимы четкие указания о характере действия и на последующих этапах обучения, например при отсчете предметов по названному числу, при счете звуков, разных движений и т. д. Важно, чтобы все движения в счетной деятельности выполнялись с самого начала правильно. А для этого необходимо помнить, что счетная деятельность по своей структуре является сложной системой соподчиненных друг другу отдельных действий. Она состоит из ряда частных операций, еще неизвестных ребенку. Не зная их, ребенок, часто подражая взрослым, схватывает лишь некоторые внешние действия счета, например, хаотически произносит числительные и двигает при этом рукою, как бы «считая» предметы. Естественно, что он допускает многочисленные ошибки, так как образ счета как деятельности у него еще весьма диффузен. Исследования А. В. Запорожца о формировании произвольных движений убедительно свидетельствуют, что надлежащая организация ориентировки ребенка в условиях задания и в характере его выполнения обеспечивает более быстрое овладение действием и формирование навыка (грубые ошибки исчезают, навык становится четким и легко переносится в новые условия); при этом овладение действием становится доступным и для малышей !. Исследования также показывают, что счет с помощью слов-числительных проходит весьма сложный путь. Процесс счета состоит из ряда компонентов, каждым из которых ребенок должен овладеть (выделение каждого объекта во множестве, показ его, соотнесение с ним слова-числительного, называемого по порядку) и в то же время усвоить их взаимосвязь. Двигательный компонент (показ на предметы счета) проходит свой путь развития: вначале ребенок передвигает предметы, потом прикасается к ним, затем указывает на предметы на расстоянии, наконец, выделяет каждый предмет лишь глазами, т. е. не опираясь на ручное действие. Подобная перестройка совершается постепенно от младшей к подготовительной группе. Совершается развитие и речевого компонента: от громкого называния слов-числительных в процессе деятельности счета ребенок переходит к называнию их шепотом, затем лишь шевелит губами и, наконец, произносит их про себя, т. е. без движения губ. Отсюда следует вывод, что речевое и ручное действия проходят общий путь развития: от внешнего, развернутого действия к внутреннему, сокращенному. Движение глаза и произнесенное слово выполняют функцию дробления множества; постепенно слово и движение глаз начинает замещать действия руки, становясь основным носителем счетного акта. Поэтому важно раскрыть перед ребенком все компоненты счетной деятельности, создать четкий образ этого сложного действия, с тем чтобы он пользовался ею в разных условиях жизни. И главное — обучение счету с помощью слов-числительных необходимо производить на основе сравнения двух множеств, выраженных смежными числами. В наглядно представляемом неравенстве численностей множеств количество элементов именуется разными смежными числами, и это наглядно раскрывает детям сущность счета и смысл порядка слов-числительных. § 5. Развитие у детей представления об известных отрезках натурального ряда Прислушиваясь к речи взрослых, дети рано начинают использовать слова-числительные. Но заимствуется лишь внешняя сторона счета взрослых. Нередко порядок называемых слов-числительных является копией того или иного номера телефона, который ребенок слышал от взрослых, или номером дома, квартиры и мн. др. Порядок называния слов-числительных не является стабильным и иногда меняется у одного и того же ребенка. Подобное случайное называние слов-числительных проф. И. А. Френкель в своем исследовании назвал хаотическим счетом. Но постепенно называние числительных упорядочивается. Дети усваивают порядок числительных на отдельных участках натурального ряда, например, в пределах пяти, а дальше вновь произносят их хаотически. И среди хаотически называемых числительных вновь оказываются отдельные числительные из упорядоченного отрезка —1, 2, 3, 4, 5, 8, 12, 2, 5, 40. Дальнейшее упорядочивание названий происходит в двух планах: с одной стороны, увеличиваются отрезки запоминаемых в последовательности числительных, а с другой — дети начинают осознавать, что каждое из слов-числительных всегда занимает свое определенное место, хотя они еще не понимают, почему три всегда следует за двумя, а шесть — за пятью. У детей образуются лишь слухо-рече-двигательные связи между называемыми числительными подобно тому, как запоминается любая бессмысленная считалочка, например: э-ни-ки-бе-ни-ки-си-ко-ле-са, э-ни-ки-бе-ни-ки-кнап. Даже взрослые не могут начать эту считалочку с какого-либо среднего слога, например, со слога «ко», потому что при заучивании здесь образуются лишь слухо-рече-двигательные связи между слогами, и названный один слог не вызывает всей цепочки слов. По такому же типу у маленьких детей происходит и запоминание слов-числительных, поскольку значение этих слов остается для них неизвестным. В усвоенной цепочке слов: раз, два, три и т; д. совершенно невозможна замена слова раз словом один: образовавшиеся связи разрушаются, и ребенок молчит, не зная, что должно следовать за словом один (в некоторых же случаях, в угоду старшим ребенок (2 года 6 мес.— 3 года) называет слово один, как предшествовавшее всей заученной им цепочке: один, раз, два, три...). Встречаются и такие случаи, когда ребенок первые два-три слова-числительные воспринимает как одно слово, делая ударение на первом слоге «раздватри» или «раздва». В таких случаях он соотносит этот комплекс слогов к одному движению или предмету как своеобразное слово-прилагательное. «Это — яздватьи»,— говорит Леночка, нанизывая игрушку на елочку в кукольном уголке. По-видимому, она слышала, как считали, и непонятное ей слово раздватри ассоциировалось с елочкой. Бывает и так, что ребенок не сливает числительные в одно слово, но сопровождает ими движения своей руки, не соотнося слова-числительные с предметами. Поэтому интересно проследить, как же начинают представлять себе дети отрезок тех чисел натурального ряда, которые освоены ими. Создается ли у них какой-либо конкретный образ ряда или он отсутствует? На уровне усвоения слов-числительных как рече-двигательной цепочки у детей, по-видимому, отсутствует какое-либо конкретное представление о натуральном ряде чисел. Дети не знают еще ни последовательности, ни тем более места слова-числа в системе других числительных. В таких случаях едва ли можно говорить о зрительном образе, скорее, это слуховой образ слова раздватри. В последующем слова-числительные как бы выстраиваются в ряд и называются по порядку, но происходит это постепенно. Вначале упорядочивается лишь некоторое множество числительных, после него числительные называются, хотя и с промежутками, но всегда в восходящем порядке: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18 и т. д. Усвоив, что числительные первого десятка сочетаются с названиями десятков 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, дети дальше называют их так: двадцать десять, двадцать одиннадцать и т. д. Но стоит поправить и назвать после двадцати девяти тридцать, как стереотип восстановлен и продолжается: 31, 32, ..., 39, тридцать десять и т. д. Некоторые дети начинают при этом понимать, что после двадцати девяти, тридцати девяти, сорока девяти имеются особые слова, названия которых они еще не знают. В таких случаях дети делают паузу, ожи-Дая помощи взрослого. Однако, как мы уже говорили выше, называние числительных даже в большом объеме еще не свидетельствует ни об усвоении деятельности счета, ни о формировании ясного представления о натуральном ряде. Тем не менее у детей возникает уже некоторый образ натурального ряда чисел. При отсутствии специального обучения этот процесс протекает весьма длительно и своеобразно. Ребенок в таких случаях ставится в условия как бы «первооткрывателя», а не наследника в усвоении знаний современного ему общества. Поэтому дети одного и того же возраста могут оказаться на различных уровнях знаний. Те дети, которые не знают отношений между смежными числами, не могут ответить на предлагаемый им вопрос, какое число стоит до трех, какое после трех. Они просто начинают называть числительные по порядку от слов раз, два и т. д. Они не могут сразу решить и такую задачу: «У меня 6 конфет. Если мне прибавят еще одну, сколько конфет у меня будет?» Они начинают пересчитывать мысленно представляемые конфеты. Еще сложнее таким детям дать правильный ответ, если количество конфет уменьшилось на одну. В таких случаях они отсчитывают на пальцах шесть конфет, один палец отодвигают и пересчитывают оставшиеся. Это поведение наиболее типично для детей пяти-шести лет. Другие дети, отвечая на вопрос, какое число «до» указанного и «после» него, сами заменяют термин до — после термином впереди — сзади и называют последующее число, рассматривая его как впереди стоящее. Многие дети, называя последующее число, не могут все же назвать предыдущее. Этим детям натуральный ряд чисел представляется как движущийся вперед. Подобное представление мы условно назвали «пространственным образом» натурального ряда чисел. При выполнении задания найти число, большее на 1 единицу, эти дети мысленно или вслух начинают называть слова-числительные, начиная, с «раз», идя как бы по всему ряду. Тем самым, хотя пространственный образ натурального ряда сформировался у этих детей на основе понимания, что каждое следующее число больше предыдущего, однако точное представление о разностных отношениях между предыдущим и последующим числом еще не усвоено детьми, что и лишает их возможности сразу назвать число, большее или меньшее указанного на единицу. Итак, особенности формирования представления о натуральном ряде заключаются в том, что оно, развиваясь, лишь постепенно становится понятием. Эмпирическое представление натурального ряда как чисто «пространственного» образа по, мере усвоения детьми взаимно-обратных отношений между смежными числами в процессе обучения перестраивается в понятие о натуральном ряде, основой чего является осознание существенного признака числа, разностных его отношений между смежными числами п ± 1, где п — данное натуральное число. Дети начинают усваивать основной принцип построения натурального ряда: каждое последующее число больше предыдущего на 1 единицу и каждое предыдущее меньше последующего на 1 единицу. Массовый опыт убеждает в возможности и необходимости в процессе обучения раскрыть перед детьми взаимно-обратные и разностные отношения. Эти отношения целесообразно демонстрировать детям на сопоставлении двух множеств путем установления между ними взаимно-однозначного соответствия. Из изложенного следует вывод о необходимости, обучая счету, одновременно знакомить детей с взаимно-обратными отношениями между смежными числами, опираясь в этом обучении на сравнение конкретных множеств. В работах Ж. Пиаже и Б. Инельдер, посвященных изучению особенностей спонтанного развития у детей действий упорядочивания (сериации) множеств и понимания ими порядковых отношений, указывается на недоступность для детей дошкольного возраста взаимно-обратных отношений в упорядоченном ряду множества. Авторы указывают, что такое понимание становится возможным лишь на уровне «операторных» операций, т. е. на уровне развитой мыслительной деятельности, доступной лишь детям восьми-девяти лет. Исследования же советских авторов (Л. А. Венгер, Е. В. Про-скура, А. М. Леушина и многие другие) опровергают выводы Ж- Пиаже и Б. Инельдер. В условиях организованного обучения дети шести-семи лет овладевают пониманием обратимости. Обучение счету и нумерации ни в коей мере не должно сводиться к одностороннему пониманию того, что то число больше, которое находится дальше от начала счета. Число отражает двоякие отношения: отношение к единице (количественное значение) и отношение к своим «соседям», т. е. к смежным числам (порядковые отношения). И эти двоякие отношения числа должны раскрываться перед детьми в их единстве. Между тем даже при изучении нумерации в школе забывают показать отношение числа к единице, предполагая, что количественное отношение числа уже усвоено детьми. Если бы дело обстояло так, то учащиеся не решали бы пример подобным образом: 12 — 8 = 16. В этой ошибке обычно усматривают следующие причины: непонимание ребенком принципа разрядности, неупорядоченность движения глаз ребенка (детский стереотип движения справа налево). А самая существенная причина заключается в следующем: ученик не видит, что, уменьшая число 12, он получает большее число—16; он не замечает абсурдности полученного ответа, хотя и говорит об уменьшении числа 12; он не усвоил количественного значения числа, ибо привык определять большее или меньшее число лишь по признаку дальности его от начала счета. Поэтому при изучении нумерации в пределах первого десятка необходимо формировать у детей как понятие отношения числа к единице (количественное значение) так и понятие взаимно-обратных и разностных отношений между смежными числами. И это, как убеждает практический опыт вполне возможно показать и разъяснить детям, опираясь на наглядное сравнение множеств, выраженных смежными числами, и на установление между элементами этих множеств взаимно-однозначного соответствия. |