МАТ.АН.+22+СО+СТО. Лекция Понятие числа. Комплексные числа
 Скачать 109.75 Kb.
|
|
2.Понятие множества. Операции над множествами. МНОЖЕСТВО относится к тем математическим объектам, для которых нет СТРОГОГО определения. Под множеством будем понимать любое собрание некоторых объектов, мыслимое как единое целое, то есть имеющих нечто общее, что их объединяет. Выше мы познакомились с некоторыми ЧИСЛОВЫМИ множествами  . Запись  означает, что объект  принадлежит множеству  то есть, является его ЭЛЕМЕНТОМ. Множество  называется ПОДМНОЖЕСТВОМ множества  если любой элемент множества является элементом множества и обозначается  Например,  Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество можно задать простым перечислением, например,  Бесконечные множества задаются с указанием определенного свойства, присущего элементам данного множества, например,  Среди множеств выделяют ПУСТОЕ множество  , в котором нет ни одного элемента, и так называемое УНИВЕРСАЛЬНОЕ множество  . Примером пустого множества служит множество  Под универсальным множеством понимается наиболее широкое множество в данном конкретном рассуждении. То есть, когда все другие возможные множества являются лишь подмножествами . Например, если мы говорим о студентах НГИЭУ (множество , то студенты инженерного института  это подмножество  При этом, множество элементов множества  НЕ ПРИНАДЛЕЖАЩИХ  называется ДОПОЛНЕНИЕМ к множеству и обозначается  Объединением (суммой)  множеств и  называется множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств и  Пересечением (произведением)  множеств и называется множество, каждый элемент которого принадлежит обоим множествам и Геометрической иллюстрацией множеств и операций с ними являются так называемые КРУГИ ЭЙЛЕРА (см. рис. 3). На рисунке 3a) изображены множество и дополнение к нему  . Нетрудно видеть, что их объединением будет универсальное множество (прямоугольник). На рисунке 3b) изображено множество  и на рисунке 3c) изображено множество    Рис. 3. Круги Эйлера. Задания для самостоятельной работы. Вычислить  Вычислить  Вычислить  Лекция 2. Числовая последовательность и ее предел. Определение 1. Переменную действительную величину  принимающую ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО (то есть, в порядке возрастания номера) значения  называют числовой последовательностью. Число  ( с номером  ) называют общим элементом последовательности.Примеры:     Определение 2. Постоянное число  называется ПРЕДЕЛОМ числовой последовательности  (обозначается  если для любого сколь угодно малого числа  ( найдется номер  ( такой что при всех  имеет место неравенство  Проиллюстрируем это определение на примере. Докажем, что  Для этого напишем несколько ЭКВИВАЛЕНТНЫХ неравенств: Если теперь взять натуральное число  то из неравенства  будет следовать неравенство  а значит, и неравенство  Определение 3. Переменная величина, имеющая пределом нуль, называется бесконечно малой величиной (б.м.в). Определение 4. Переменная величина  называется ОГРАНИЧЕННОЙ, если существует такое положительное число  , что  имеет место ограничение  Переменная величина называется ограниченной СВЕРХУ, если существует такое положительное число , что имеет место ограничение  Свойства сходящихся последовательностей     , при условии  Если  , то Следствие из свойства 4): Если  , и  то и  5)Сходящаяся последовательность ОГРАНИЧЕНА, то есть существует такое положительное число , что имеет место ограничение 6)Если последовательность монотонно возрастающая, то есть  , и ограничена СВЕРХУ, то она имеет конечный предел.7)Если последовательность монотонно убывающая, то есть  , и ограничена СНИЗУ, то она имеет конечный предел.Доказательство свойств делается на основе определения предела. Докажем свойство 1):  Дано:   Это значит, что для любого сколь угодно малого числа  найдется номер  такой что при всех имеют место неравенства и  . Раскрывая модули, получим неравенства   сложив которые, мы получим неравенство:  при всех  эквивалентное неравенству  что и требовалось доказать.Примеры.       Докажем, что  если  Заметим, имея в виду график функции  при  , что из неравенства  следует неравенство   Рис.1. График функции при .Напишем несколько ЭКВИВАЛЕНТНЫХ неравенств:  Если взять  то при будет выполняться неравенство  а значит, и неравенство   Докажем, что  Действительно, так как  последовательность  монотонно убывает! НО она ограничена снизу числом нуль. Значит, она имеет предел!Обозначим этот предел  Переходя в равенстве  к пределу при  получим: откуда и следует, что  Определение 5. Говорят, что ПРЕДЕЛОМ числовой последовательности  является  ( (обозначается  если для любого сколь угодно большого числа  найдется номер  такой что при всех  имеет место неравенство  Определение 6. Переменная величина, имеющая пределом ∞, называется бесконечно большой величиной (б.б.в). Свойства бесконечно малых величин Если  бесконечно малая величина и  бесконечно малая величина, то и  бесконечно малая величина.Если бесконечно малая величина, ограниченная величина, то произведение  бесконечно малая величина.Задания для самостоятельной работы. Найти предел:   Доказать, что  Лекция 3. Второй замечательный предел. Бином Ньютона. Докажем, что место формула  (1)которая называется ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. Для этого надо изучить свойства последовательности  , каждый элемент которой представляет собой так называемый БИНОМ НЬЮТОНА: Заметим, что последние два слагаемых можно записать в более простом виде:  Эта формула доказывается методом математической индукции.Вы эту формулу знаете для  и  : Если предположить, что формула верна для , то после выполнения произведения  и приведения подобных членов получится эта же формула, в которой заменено на  Действительно:  Для возведения двучлена  в большую степень полезно также использовать ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ:      Например,  Рассмотрим поведение элементов последовательности  с возрастанием номера  :  ,…. Мы видим, что  Для того, чтобы показать, что эта последовательность действительно монотонно возрастает, применим бином Ньютона  Нетрудно видеть, что следующий элемент  будет больше, чем так как в его разложении каждое слагаемое, кроме первых двух, становится БОЛЬШЕ и добавляется еще одно,  рое слагаемое Заметим, что  рое слагаемое в разложении имеет вид Итак, последовательность  монотонно возрастает. Теперь докажем, что она ограничена сверху.  (Заметим, что при оценке сверху использовались неравенства  В соответствии со свойством 7) последовательность  имеет предел, он равен числу |