МАТ.АН.+22+СО+СТО. Лекция Понятие числа. Комплексные числа
 Скачать 109.75 Kb.
|
|
Следствие 1. Если  то справедлива формула (2)Действительно, поскольку   Следствие 2. Формулу (2) можно обобщить. Пусть  любое действительное число, тогда справедлива формула (3)Поясним формулу (3) на двух примерах (заметим, что при  формула верна!)  Применение формулы (3) при начислении сложных процентов. Предположим, что банк хочет начислять ЕЖЕДНЕВНО процент по внесенному депозиту в объеме  сроком на один год (так называемый СЛОЖНЫЙ процент). То есть, с учетом того, что уже через день исходная сумма увеличивается в соответствии с установленным банком, например,  годовых. Как это сделать? Ответ кажется простым: надо разделить годовых на 365 дней и каждый день сумму умножать на коэффициент  Теперь давайте подсчитаем, какая сумма получится к выдаче ровно через год, то есть через 365 дней: Таким образом, мы видим, что указанный выше простой подход к начислению ежедневных процентов приводит к тому, что через год потребуется выдать не планируемую сумму 1 100 000 рублей, а больше на 5 200 рублей. Как же ПРАВИЛЬНО делать ежедневные начисления процентов, чтобы к к концу года сумма выросла именно на 10  В таблице экспоненциальной функции  находим значение  , при котором  Это значение равно  В результате мы нашли коэффициент  на который надо каждый день умножать сумму  чтобы по истечении 365 дней сумма выросла ровно на  Примеры.      Задания для самостоятельной работы. Найти предел: 1)  2)  3)  4)  Лекция 4 Функция и ее предел. Определение 1. Величина  называется функцией независимой переменной , если задан закон (правило), согласно которому каждому значению из области возможных значений (область определения функции) соответствует значение  Функция может быть задана АНАЛИТИЧЕСКИ, например площадь круга  ТАБЛИЧНО (например, таблица синусов), или ГРАФИЧЕСКИ.Определение 2. Множество  называется  окрестностью точки  Имеется два эквивалентных определения КОНЕЧНОГО предела функции в заданной точке  : определение по Коши, и определение по Гейне.Определение 3 (по Коши). Число  называется пределом функции  в точке  если для любого сколь угодно малого числа  ( найдется такое число  ( что как только выполняется условие  то имеет место неравенство  Если при этом  то функция называется НЕПРЕРЫВНОЙ в точке Определение 4 (по Гейне). Число называется пределом функции в точке если для любой последовательности  имеет место сходимость  Если при этом то функция называется НЕПРЕРЫВНОЙ в точке Из определения предела функции по Гейне автоматически вытекают следующие алгебраические свойства, аналогичные свойствам сходящихся последовательностей:    Если  то  Следствие из свойства 4): если  и  то Определение 5 . Говорят, что число называется пределом функции при  (при  если для любой последовательности  ( имеет место сходимость В этом случае прямая  называется ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ асимптотой к графику функции  Заметим, что как в случае  так и в случае  свойства пределов 1)  4) остаются справедливыми.Определение 6 . Предел функции в точке равен  ( (  , если для любой последовательности  , такой что , имеет место сходимость последовательности  В этом случае вертикальная прямая  называется ВЕРТИКАЛЬНОЙ АСИМПТОТОЙ к графику функции Первый замечательный предел   Рис. 1. Тригонометрический круг радиуса  .Докажем, что Для этого рассмотрим соотношение площадей треугольника  сектора и треугольника  на рисунке 1: (1)Так как  то неравенство (1) примет вид: (2)Заметив, что  поделим неравенство (2) на  : (3)Из неравенства (3) следует неравенство для обратных величин:  (4)Переходя в неравенстве (4) к пределу при  и учитывая следствие к свойству 4) и  получим, что Заметим, что при доказательстве использована непрерывность функции  Непрерывные функции будут изучаться в следующей лекции.Второй замечательный предел  В предыдущей лекции мы показали, что последовательность  монотонно возрастает  Если то для любого положительного найдется такое натуральное число  , что  Из этого неравенства следует неравенство  (5)А поскольку  то в соответствии со следствием из свойства 4) получим  С помощью замены  получаем другой вариант второго замечательного предела С помощью замены переменной  можно доказать, что  Примеры. Ниже приводятся примеры по раскрытию так называемых неопределенностей вида    . .   (обозначим  тогда  ) Задания для самостоятельной работы. Найти предел:        Лекция 5 Непрерывные функции. Точки разрыва. Определение 1. Функция называется непрерывной в точке если  Определение 2. Число называется пределом функции слева в точке если  Этот предел также обозначают как  Символ  означает, что приближается к точке слева, то есть  Если при этом то функция называется НЕПРЕРЫВНОЙ СЛЕВА в точке Определение 3. Число называется пределом функции справа в точке если  Этот предел также обозначают как  Символ  означает, что приближается к точке справа, то есть  Если при этом то функция называется НЕПРЕРЫВНОЙ СПРАВА в точке Определение 4. Если конечный предел слева  и конечный предел справа  не равны, то говорят, что функция имеет в точке разрыв первого рода, если же хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то такой разрыв называется РАЗРЫВ ВТОРОГО РОДА.Очевидно, что если предел слева равен пределу справа в точке то есть,  то функция будет непрерывной в этой точке. |