Лекция 3 высшая математика 1 семестр. Лекция Теорема 3
![]()
|
Лекция 3. Теорема 3.3. Последовательность { xn } ![]() Доказательство. xn< zn ![]() ![]() ![]() Следовательно, по АБВ ![]() ![]() ( ![]() Следствия. 1). zn = ( 1 + 1/n )n+1 = xn(1+1/n) ![]() Вычислим приближенно число е : n = 1 : 2 < e < 4 n = 2 : 2,25 < e < 3,375 n = 3 : 2,37 < e < 3,161 , и т.д. ( e = 2,718281… ) 2). ![]() ![]() ![]() Определение 3.3. Пусть дана последовательность вещественных чисел { xn } ![]() ![]() n1 =5 , n2 = 7 , n3 =10, … ). Рассмотрим элементы последовательности { xn } ![]() ![]() ( например, х5 , х7, х10 , … ). Они образуют последовательность { x ![]() ![]() ![]() ук = x ![]() Замечание. nk ![]() Лемма 3.4. Последовательность { xn } ![]() Доказательство. 1). Так как любая подпоследовательность последовательности { xn } ![]() ![]() 2). Пусть последовательность { xn } ![]() Возьмем произвольное положительное ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим последовательность { x ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Глава II. Предел и непрерывность функции. Параграф 1. Понятие предела функции. Определение 1.1. Проколотой ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 1.2. ] A ![]() 1). Точка х называется внутренней точкой множества А , если она входит в А вместе с некоторой своей окрестностью. 2). Точка х называется внешней точкой множества А , если существует окрестность точки х , в которой нет точек множества А (ясно, что внешние точки не принадлежат множеству А ). 3). Точка х называется граничной точкой множества А , если любая окрестность точки х содержит как точки множества А , так и точки, не принадлежащие множеству А (граничные точки могут принадлежать или не принадлежать множеству А ). 4). Точка х называется предельной точкой (или точкой сгущения) множества А , если любая проколотая окрестность точки х содержит точку множества А (предельные точки могут принадлежать или не принадлежать множеству А ). Если точка х принадлежит множеству А , но не является предельной точкой А , она называется изолированной точкой множества А . Примеры. 1). ] A = (a, b] ![]() a) ![]() ![]() б) ![]() ![]() ![]() в) Точки a , b , c- граничные точки А. г) ![]() ![]() 2). ] A = { xn } ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача. Точка a - предельная точка множества А ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 1.3 предела функции по Коши. Пусть функция fопределена в некоторой проколотой окрестности ![]() Число А называется пределом функции в точке а, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ( для любого положительного числа ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или Число А называется пределом функции в точке а, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ( для любого положительного числа ![]() ![]() ![]() ![]() Обозначение: ![]() ![]() Определение 1.4 предела функции по Гейне. Пусть функция fопределена в некоторой проколотой окрестности ![]() Число А называется пределом функции в точке а, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ( Для любой последовательности { xn } ![]() ![]() ![]() Теорема 1.1. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны. Доказательство. 1). Пусть выполнено определение предела по Коши. Покажем, что выполнено определение предела по Гейне. Возьмем произвольное положительное ![]() Существует ![]() ![]() ![]() ![]() Возьмем произвольную последовательность { xn } ![]() ![]() ![]() ![]() Для этого ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Cледовательно, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2). Пусть выполнено определение предела по Гейне. Покажем, что выполнено определение предела по Коши от противного. Предположим, что выполнено определение предела по Гейне , но не выполнено определение предела по Коши, то есть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим последовательность значений ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Получим последовательность { xn } ![]() - 1 / n < xn – a <1 / n ( см. теор. 1.3 ) . Тогда f (xn) ![]() Следовательно, для ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() | f (xn) – A | < ![]() Получили противоречие. Следовательно, если выполнено определение предела по Гейне , то выполнено определение предела по Коши. Параграф 2. Теоремы о функциях, имеющих предел. Определение 2.1. Образом множества Z при отображении f : X ![]() ![]() f ( Z ) = { y ![]() ![]() ![]() Теорема 2.1. Пусть функция fимеет конечный предел в точке а . Тогда существует проколотая окрестность точки а , в которой функция ограничена ( ] ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. Возьмем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, | f (x)| = | f (x) – A + A | ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2.2. Пусть функции f и gопределены в некоторой проколотой окрестности точки а. ] ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. Возьмем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следствие. ] ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ( Взять g (x) = 0 , и, следовательно, В = 0 ). Теорема 2.3 о предельном переходе в неравенствах. Пусть в некоторой проколотой окрестности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2.4 о сжатой переменной . Пусть в некоторой проколотой окрестности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2.5. Пусть в некоторой проколотой окрестности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1). ![]() ![]() 2). ![]() ![]() 3). ![]() ![]() ![]() Замечание. Доказательства теорем 2.3, 2.4, 2.5 проводятся с использованием определения предела по Гейне и аналогичных теорем для последовательностей. Докажем для примера теорему 2.3. Пусть ![]() ![]() Пусть { xn } ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2.6 о пределе суперпозиции. Пусть в некоторой проколотой окрестности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть в некоторой проколотой окрестности ![]() ![]() ![]() Тогда в некоторой проколотой окрестности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Функция F (x) = g ( f (x) ) называется сложной функцией, или суперпозицией функций g (y) и f (x) . Доказательство. 1). Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() F (x) = g ( f (x) ) . Следовательно, в окрестности ![]() ![]() 2). Покажем, что ![]() ![]() Пусть { xn } ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следствие. Замена переменной при вычислении предела. В условиях теоремы ![]() ![]() |