Лекции. Лекция Уравнения гиперболического типа. Колебания струны df. Струна
 Скачать 0.51 Mb.
|
|
Лекция 5. Уравнение распространения тепла в стержне Допустим, имеется однородный стержень длины  . Предположим, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Нас интересует процесс распространения тепла в таком стержне.Ось  расположим так, что один конец стержня совпадает с точкой  , а другой - с точкой  . Пусть  - температура в сечении стержня с абсциссой  в момент времени  . Опытным путём установлено, что скорость распространения тепла, т.е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой за единицу времени, определяется формулой ,где  - площадь сечения стержня,  - коэффициент теплопроводности.Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами  и  ( ). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой за время  , будет равно ,а для сечения с абсциссой : .Приток тепла  в выделенный элемент за время будет равен: =  . (*)Этот приток тепла за время затратился на повышение температуры элемента стержня на величину  : или  , (**)где  - теплоёмкость материала стержня,  - плотность материала стержня (  - масса выделенного элемента стержня).Приравняв выражения (*) и (**) одного и того же количества тепла , получаем или  .Далее обозначив  , окончательно получаем: .Это и есть уравнение распространения тепла в однородном стержне (одномерное уравнение теплопроводности). ▲ Чтобы решение уравнения теплопроводности было определено, функция должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия могут быть различными. Для первой краевой задачи краевые условия для следующие: , (а) , (б) . (в)Условие (а) – начальное условие. Оно соответствует тому, что при  в различных сечениях стержня задана температура, равная  .Условия (б), (в) – граничные условия. Они соответствуют тому, что на концах стержня при и при поддерживается температура, равная  и  соответственно.Доказано, что уравнение теплопроводности имеет единственное решение в области  ,  , удовлетворяющее условиям (а), (б), (в).Распространение тепла в неограниченном стержне (Задача Коши) Задача: Определить температуру однородного бесконечного стержня в любой момент времени  по известной температуре в различных сечениях в момент времени . Считать, что боковая поверхность теплоизолирована, так что тепло из стержня через неё не уходит.Пусть стержень совпадает с осью . Тогда математически задача формулируется следующим образом. Найти решение уравнения (1)в области  ,  , удовлетворяющее начальному условию . (2)Эта задача также решается методом Фурье. Прежде чем решать поставленную задачу (1),(2), проведём вспомогательную замену переменной  .Тогда  ,и, следовательно, уравнение (1) записывается в виде  или  .Начальные условия (2) не меняются, т.к. при переменная  также равна нулю.Таким образом, решаем следующую задачу. Найти функцию такую, что , (1)удовлетворяющую условию . (2)Применим метод Фурье. Решение будем искать в виде  . (3)Тогда из (1):  . (4)Каждое из этих соотношений не может зависеть ни от , ни от , и потому их приравниваем постоянной  (т.к. по смыслу задачи не может неограниченно возрастать). Из (4) получаем два обыкновенных однородных дифференциальных уравнения первого и второго порядка с постоянными коэффициентами , (5) . (6)Решая их, находим  ,  . Подставляя эти решения в (3), получаем  ,  , (7)где  ,  .Путём подстановки (7) в (1) легко проверить, что (7) представляет собой частные решения уравнения (1) при любом  . Общее же решение уравнения (1) будет равно сумме всех частных решений (7). Однако произвольно и может принять любое значение в интервале  , поэтому сумму частных решений следует заменить интегралом по параметру , т.е. общее решение уравнения (1) представляется в виде . (8)Выберем  и  так, чтобы (8) удовлетворяло условию (2). Для этого в (8) положим и использовав (2), получаем . (9)В свою очередь функция может быть представлена интегралом Фурье  . (10)Сравнивая (9) и (10), получим  ,  . (11)Подставляя (11) в (8), получим    . (12)Это и есть решение поставленной задачи. Внутренний интеграл (без доказательства) можно заменить на  .Подставив это выражение в (12), получим  .И, возвращаясь к старым переменным ( ), окончательно получаем .Эта формула, называемая интегралом Пуассона, представляет решение поставленной задачи о распространении тепла в неограниченном стержне. ▲ Доказано, что функция, определяемая интегралом Пуассона, является решением задачи (1),(2), если функция ограничена на .▲ Полезно иметь в виду формулу  .Лекция 6. Эллиптический тип. Уравнение Лапласа. К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стационарных, т.е. не меняющихся во времени, процессов различной физической природы. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа. df. Уравнением Лапласа называется уравнение  ,где - лапласиан, который имеет вид в декартовых координатах , ,и в полярных координатах  .df. Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. ▲ Этому уравнению удовлетворяет стационарное распределение температуры в теле. Уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал стационарного электрического поля, где отсутствуют заряды, и потенциал поля тяготения в области, где отсутствуют массы. Уравнение Лапласа имеет бесконечное множество решений. Какое-то конкретное решение определяется заданием некоторых дополнительных условий. Типичной для уравнения Лапласа является задача: найти функцию  , гармоническую в области  и удовлетворяющую на границе  области граничному условию, которое может быть одного из следующих видов: - первая краевая задача (задача Дирихле); - вторая краевая задача (задача Неймана); -третья краевая задача.Здесь  ,  ,  ,  - заданные функции,  - производная в направлении внешней нормали к границе .Задача Дирихле для круга. Решение методом Фурье. Задача ставится следующим образом: найти функцию, гармоническую внутри круга и принимающую на его границе заданные значения. Если ввести полярные координаты  и  так, чтобы полюс находился в центре данного круга, радиус которого пусть  , то задача записывается в следующем виде: , (1) , (2)где  - функция, требующая определения, а  - заданная функция.Будем искать решение уравнения (1) в виде  . (3)Подставим (3) в (1) и получим  или (умножив все на  ) .Последнее равенство должно выполняться для всех и из данной области (круг:  ,  ). Это возможно лишь случае, когда обе части равенства не зависят от и , т.е. являются одной и той же постоянной, так как левая часть его может зависеть только , а правая – только от . Обозначив эту постоянную через , получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка  , (4) . (5)Уравнение (5) имеет общее решение  ,где  - произвольные постоянные. Что касается значений , то они не могут быть произвольными. Так как прибавление к аргументу слагаемого  возвращает точку  в исходное положение. Это значит, что  , т.е. функция  является периодической с периодом . Тогда  ,  ,  . Отрицательные значения  можно не принимать во внимание, поскольку знак влияет только на знак  - произвольной постоянной.Таким образом, уравнение (5) имеет решения  , .Уравнение (4) (уравнение Эйлера) при теперь принимает вид  .Решение этого уравнения находится с помощью подстановки  . Так как  ,  ,то  , , .Если  , то  при  . Такая функция не может быть использована для построения решения задачи Дирихле (ищется решение непрерывное и конечное в круге).При  получаем  , . Подставляя выражения для  и  в формулу (3), записываем частные решения .Решением этого уравнения (3) является также функция  .Коэффициенты  определим из граничного условия (2). При  имеем . (6)Запишем разложение функции в ряд Фурье , (7)где  ,  , ,  .Сравнивая ряды (6) и (7), получаем  ,  ,  , .Таким образом, решение поставленной задачи есть  , (8)где  (9). |