Лекции. Лекция Уравнения гиперболического типа. Колебания струны df. Струна
 Скачать 0.51 Mb.
|
|
Интеграл Пуассона Формулу (8) можно преобразовать. Для этого в неё надо подставить выражения для коэффициентов (9) и произвести тригонометрические преобразования. А именно,   .Принимая во внимание формулы Эйлера, получаем  .Следовательно,   (Комплексные члены каждого ряда образуют геометрические прогрессии, знаменатели которых по модулю меньше единицы:  ,  А сумма членов таких геометрических прогрессий находится по известной формуле.)   .Таким образом,  .Эта формула называется интегралом Пуассона, и функция, определяемая этой формулой, является решением задачи Дирихле для круга. Лекция 7. Понятие о конечно-разностных методах. Для нахождения решений задач математической физики наряду с аналитическими методами (например, метод разделения переменных) используются численные методы, к которым относятся конечно-разностные методы, метод конечных элементов, метод контрольных объёмов и др. Эти методы используются для нахождения приближенных решений. Основная идея численных методов состоит в том, что исходное уравнение с заданными условиями заменяется (аппроксимируется) системой алгебраических уравнений относительно значений искомой функции в некоторых точках. Конечно-разностные аппроксимации Ряд Тейлора для функции  в окрестности точки  имеет вид .Если этот ряд оборвать на втором члене, то получим  ,откуда  .Выражение, стоящее в правой части, называется правой разностной производной. Она аппроксимирует первую производную  в точке .Если в разложении Тейлора  заменить на  , то получится левая разностная производная .Если из  вычесть , то получится центральная разностная производная .Если в ряде Тейлора оставить на одно слагаемое больше, то аналогично можно получить центральную разностную производную для аппроксимации  : .Теперь понятие конечно-разностной аппроксимации можно распространить на частные производные. Если исходить из разложения Тейлора  , ,можно получить следующие аппроксимации частных производных  , , , , , .Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей Первая краевая задача для уравнения теплопроводности ставится следующим образом. Необходимо найти функцию  , удовлетворяющую уравнению , (1)и краевым условиям  ,  , (2) ,  , (3) , , (4)т.е. требуется найти решение в прямоугольнике, ограниченном прямыми  ,  ,  ,  , если известны значения искомой функции на трёх сторонах этого прямоугольника: , , . Покроём область решения задачи (прямоугольник) сеткой, образованной прямыми  ,   ,  ,где  ,  . О выборе  и  (или что тоже самое и  ) скажем ниже. Будем искать приближённые значения решения в узлах сетки, т.е. в точках пересечения этих прямых. Введём обозначения:  .С помощью конечно-разностных аппроксимаций  , ,запишем вместо уравнения (1) соответствующее ему уравнение в конечных разностях для точки   . (5)Из (5) найдём  : . (6)Из формулы (6) следует, что если известны три значения  ,  ,  в  -ом ряду, то определяется значение в  -ом ряду. Так как известны все значения функции на прямой (условие (2)) и на прямых (условие (3)) и (условие (4)), то ряд за рядом определяются все значения искомого решения во всех узлах сетки.Теперь вернёмся к выбору и . Доказано, что по формуле (6) можно получить приближённое решение не при произвольных шагах и , а только в том случае, если  . Формула (6) сильно упрощается, если шаг по оси  выбрать так, чтобы было или  .В этом случае формула (6) принимает удобный для вычислений вид:  . |