Колоквиум вшэ пи алгебра линейная. Линейная алгебра, Коллоквиум i бобень Вячеслав
 Скачать 440.73 Kb.
|
|
– Почему? Когда {𝑖, 𝑗} пробегает все неупорядоченные пары в {1, 2, . . . , 𝑛}, пара {𝜌(𝑖), 𝜌(𝑗)} тоже пробегает все неупорядо- ченные пары в {1, 2, . . . , 𝑛}. Зависимость 𝛾(𝑖,𝑗) от 𝛼(𝑖,𝑗) и 𝛽(𝑖,𝑗): 𝛼(𝑖,𝑗) 0 0 1 1 𝛽(𝑖,𝑗) 0 1 0 1 𝛾(𝑖,𝑗) 0 1 1 0 Вывод: 𝛼(𝑖, 𝑗) + 𝛽(𝑖, 𝑗) ≡ 𝛾(𝑖,𝑗) (mod 2). Тогда sgn(𝜎𝜌) = (−1) ∑︀ 𝛾(𝑖,𝑗) = (−1) ∑︀ 𝛽(𝑖,𝑗)+∑︀ 𝛼(𝑖,𝑗) = (−1) ∑︀ 𝛼(𝑖,𝑗) · (−1) ∑︀ 𝛽(𝑖,𝑗) = sgn 𝜎 · sgn 𝜌 4. Знак обратной перестановки Следствие. 𝜎 ∈ 𝑆 𝑛 =⇒ sgn(𝜎 −1 ) = sgn(𝜎) Доказательство. 𝜎𝜎 −1 = 𝑖𝑑 =⇒ sgn(𝜎𝜎 −1 ) = sgn(𝑖𝑑) =⇒ sgn 𝜎 sgn 𝜎 −1 = 1 =⇒ sgn 𝜎 = sgn 𝜎 −1 5. Знак транспозиции 19 Лемма. 𝜏 ∈ 𝑆 𝑛 – транспозиция =⇒ sgn(𝜏) = −1. Доказательство. Пусть 𝜏 = 𝜏 𝑖𝑗 , можем считать, что 𝑖 < 𝑗. 𝜏 := (︂1 . . . 𝑖 − 1 𝑖 𝑖 + 1 𝑗 − 1 𝑗 𝑗 + 1 . . . 𝑛 1 𝑖 − 1 𝑗 𝑖 + 1 𝑗 − 1 𝑖 𝑗 + 1 . . . 𝑛 )︂ Посчитаем инверсии: {𝑖, 𝑗} {𝑖, 𝑘} при 𝑖 + 1 6 𝑘 6 𝑗 − 1, всего = 𝑗 − 𝑖 − 1 {𝑘, 𝑗} при 𝑖 + 1 6 𝑘 6 𝑗 − 1, всего = 𝑗 − 𝑖 − 1 Значит, всего инверсий 2(𝑗 − 𝑖 − 1) + 1 ≡ 1 (mod 2) =⇒ sgn(𝜏) = −1. 2.4 Определители det 𝐴 = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎)𝑎 1𝜎(1) 𝑎 2𝜎(2) . . . 𝑎 𝑛𝜎(𝑛) (⋆) 1. Определитель транспонированной матрицы det 𝐴 = det 𝐴 𝑇 Доказательство. Пусть 𝐵 = 𝐴 𝑇 , тогда 𝑏 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑗𝑖 det 𝐴 𝑇 = det 𝐵 = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎)𝑏 1𝜎(1) 𝑏 2𝜎(2) . . . 𝑏 𝑛𝜎(𝑛) = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎)𝑎 𝜎(1)1 𝑎 𝜎(2)2 . . . 𝑎 𝜎(𝑛) = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎)𝑎 1𝜎(1) −1 𝑎 2𝜎(2) −1 . . . 𝑎 𝑛𝜎(𝑛) −1 // замена 𝜎 −1 = 𝜌 // = ∑︁ 𝜌∈𝑆 𝑛 sgn(𝜌)𝑎 1𝜌(1) 𝑎 2𝜌(2) . . . 𝑎 𝑛𝜌(𝑛) = det 𝐴. 2. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на скаляр Если в 𝐴 все элементы одной строки или одного столбца домножить на одно и то же число 𝜆, то det 𝐴 тоже умножается на 𝜆. ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ * * * 𝜆* 𝜆* 𝜆* 𝜆* * * * ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = 𝜆 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ * * * * * * * * * * ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ Доказательство. В связи со свойством T можно доказать только для строк. 𝐴 (𝑖) → 𝜆𝐴 (𝑖) =⇒ 𝑎 𝑖𝑗 → 𝜆𝑎 𝑖𝑗 ∀𝑗 =⇒ в ( ⋆ ) каждое слагаемое умножается на 𝜆 =⇒ det 𝐴 умножается на 𝜆. 3. Поведение определителя при разложении строки (столбца) в сумму двух Если 𝐴 (𝑖) = 𝐴 1 (𝑖) + 𝐴 2 (𝑖) , то det 𝐴 = det ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐴 (1) 𝐴 1 (𝑖) 𝐴 (𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + det ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐴 (1) 𝐴 2 (𝑖) 𝐴 (𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Пример: ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑏 1 + 𝑐 1 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑏 3 + 𝑐 3 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ + ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ Аналогично, если 𝐴 (𝑗) = 𝐴 (𝑗) 1 + 𝐴 (𝑗) 2 , то det 𝐴 = det(𝐴 (1) · · · 𝐴 (𝑗) 1 · · · 𝐴 (𝑛) ) + det(𝐴 (1) · · · 𝐴 (𝑗) 2 · · · 𝐴 (𝑛) ) 20 Доказательство. В связи со свойством T можно доказать только для строк. Пусть 𝐴 1 (𝑖) = (𝑎 ′ 𝑖1 𝑎 ′ 𝑖2 · · · 𝑎 ′ 𝑖𝑛 ) , 𝐴 2 (𝑖) = (𝑎 ′′ 𝑖1 𝑎 ′′ 𝑖2 . . . 𝑎 ′′ 𝑖𝑛 ) =⇒ 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑎 ′ 𝑖𝑗 + 𝑎 ′′ 𝑖𝑗 det 𝐴 = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎)𝑎 1𝜎(1) 𝑎 2𝜎(2) . . . 𝑎 𝑛𝜎(𝑛) = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎)𝑎 1𝜎(1) 𝑎 2𝜎(2) . . . (𝑎 ′ 𝑖𝜎(𝑖) + 𝑎 ′′ 𝑖𝜎(𝑖) ) . . . 𝑎 𝑛𝜎(𝑛) = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎)𝑎 1𝜎(1) 𝑎 2𝜎(2) . . . 𝑎 ′ 𝑖𝜎(𝑖) . . . 𝑎 𝑛𝜎(𝑛) + ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎)𝑎 1𝜎(1) 𝑎 2𝜎(2) . . . 𝑎 ′′ 𝑖𝜎(𝑖) . . . 𝑎 𝑛𝜎(𝑛) = det 𝐴 1 + det 𝐴 2 4. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) Если в А есть две одинаковые строки (столбца), то det 𝐴 = 0. Доказательство. В связи со свойством T можно доказать только для строк. При перестановке двух одинаковых строк (столбцов): – А не изменится =⇒ det 𝐴 не изменится – по свойству 3: det 𝐴 меняет знак Значит, det 𝐴 = − det 𝐴 =⇒ det 𝐴 = 0. 5. Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на скаляр Если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженный на скаляр, то det 𝐴 не изменится. Доказательство. В связи со свойством T можно доказать только для строк. 𝐴 → 𝐴 ′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐴 (𝑖) + 𝜆𝐴 (𝑗) 𝐴 (𝑗) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ |𝐴 ′ | = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝐴 (𝑖) 𝐴 (𝑗) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ + ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜆𝐴 (𝑗) 𝐴 (𝑗) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = |𝐴| + 𝜆 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝐴 (𝑗) 𝐴 (𝑗) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = |𝐴| + 𝜆0 = |𝐴|. 6. Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов) Если в 𝐴 поменять местами две строки или два столбца, то det 𝐴 поменяет знак. Доказательство. В связи со свойством T можно доказать только для строк. Пусть 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀 𝑛 , 𝐵 = (𝑏 𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀 𝑛 – матрица, полученная из А перестановкой 𝑝-ой и 𝑞-ой строк. Так же, 𝜏 = 𝜏 𝑝𝑞 𝑏 𝑖𝑗 = 𝑎 𝜏 (𝑖)𝑗 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑎 𝑖𝑗 , если 𝑖 ̸= 𝑝, 𝑞 𝑎 𝑞𝑗 , если 𝑖 = 𝑝 𝑎 𝑝𝑗 , если 𝑖 = 𝑞 𝑏 𝑖𝑗 = 𝑎 𝜏 (𝑖)𝑗 =⇒ 𝑏 𝑖𝜎(𝑖) = 𝑎 𝜏 (𝑖)𝜎(𝑖) = 𝑎 𝜏 (𝑖),(𝜎𝜏 𝜏 )(𝑖) 21 det 𝐵 = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎) · 𝑏 1𝜎(1) · 𝑏 2𝜎(2) . . . 𝑏 𝑛𝜎(𝑛) = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎) · 𝑎 𝜏 (1),𝜎(1) · 𝑎 𝜏 (2),𝜎(2) . . . 𝑎 𝜏 (𝑛),𝜎(𝑛) = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎) · 𝑎 𝜏 (1),(𝜎𝜏 𝜏 )(1) · 𝑎 𝜏 (2),(𝜎𝜏 𝜏 )(2) . . . 𝑎 𝜏 (𝑛),(𝜎𝜏 𝜏 )(𝑛) // уберем 𝜏(𝑖), переупорядочив элементы в произведении // = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎) · 𝑎 1,(𝜎𝜏 )(1) · 𝑎 2,(𝜎𝜏 )(2) . . . 𝑎 𝑛,(𝜎𝜏 )(𝑛) = − ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎𝜏 ) · 𝑎 1,(𝜎𝜏 )(1) · 𝑎 2,(𝜎𝜏 )(2) . . . 𝑎 𝑛,(𝜎𝜏 )(𝑛) // замена 𝜌 = 𝜎𝜏 // = − ∑︁ 𝜌∈𝑆 𝑛 sgn(𝜌) · 𝑎 1,𝜌(1) · 𝑎 2,𝜌(2) . . . 𝑎 𝑛,𝜌(𝑛) = − det 𝐴. 7. Определитель верхнетреугольной (нижнетреугольной) матрицы Если 𝐴 верхнетреугольная или нижнетреугольная, то det 𝐴 = 𝑎 11 𝑎 22 . . . 𝑎 𝑛𝑛 Доказательство. В связи со свойством T можно доказать только для строк. Выделим в ( ⋆ ) слагаемые, которые могут быть отличны от нуля. 𝑎 1,𝜎(1) . . . 𝑎 𝑛−1,𝜎(𝑛−1) 𝑎 𝑛,𝜎(𝑛) ̸= 0 =⇒ 𝑎 𝑛𝜎(𝑛) ̸= 0 =⇒ 𝜎(𝑛) = 𝑛. =⇒ 𝑎 𝑛−1,𝜎(𝑛−1) ̸= 0 =⇒ 𝜎(𝑛 − 1) ∈ {𝑛 − 1, 𝑛}, но 𝑛 уже занято, значит 𝜎(𝑛 − 1) = 𝑛 − 1, и так далее. Рассуждая аналогично, получаем 𝜎(𝑘) = 𝑘 ∀𝑘 =⇒ 𝜎 = 𝑖𝑑 – это единственное слагаемое в ( ⋆ ), которое может быть не равно 0. sgn(𝑖𝑑) = +1 =⇒ det 𝐴 = 𝑎 11 𝑎 22 . . . 𝑎 𝑛𝑛 8. Определитель с углом нулей Предложение. 𝐴 = (︂ 𝑃 𝑄 0 𝑅 )︂ или 𝐴 = (︂ 𝑃 0 𝑄 𝑅 )︂ , 𝑃 ∈ 𝑀 𝑘 , 𝑅 ∈ 𝑀 𝑛−𝑘 =⇒ det 𝐴 = det 𝑃 det 𝑅. Матрица с углом нулей: ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ * * * * 0 * * * 0 * * * 0 * * * ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ НЕ матрица с углом нулей: ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ * * * * * * * * 0 * * * 0 * * * ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Доказательство. В силу свойства T достаточно доказать для строк. 1. Элементарными преобразованиями строк в 𝐴, приведем (𝑃 | 𝑄) к виду (𝑃 ′ | 𝑄 ′ ) , в котором 𝑃 ′ имеет ступенчатый вид. При этом det 𝐴 и det 𝑃 умножаются на один и тот же скаляр 𝛼 ̸= 0. 2. Элементарными преобразованиями строк в 𝐴, приведем (0 | 𝑅) к виду (0 | 𝑅 ′ ) , в котором 𝑅 ′ имеет ступен- чатый вид. При этом det 𝐴 и det 𝑅 умножаются на один и тот же скаляр 𝛽 ̸= 0. 22 (︂𝑃 ′ 𝑄 ′ 0 𝑅 ′ )︂ – верхнетреугольная =⇒ det (︂𝑃 ′ 𝑄 ′ 0 𝑅 ′ )︂ = det 𝑃 ′ det 𝑅 ′ 𝛼𝛽 det 𝐴 = det (︂𝑃 ′ 𝑄 ′ 0 𝑅 ′ )︂ = det 𝑃 ′ det 𝑅 ′ = (𝛼 det 𝑃 )(𝛽 det 𝑅) = 𝛼𝛽 det 𝑃 det 𝑅. 9. Определитель произведения двух матриц Теорема. 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛 =⇒ det(𝐴𝐵) = det 𝐴 det 𝐵. Доказательство. Выполним с матрицей 𝐴 одно элементарное преобразование строк, получим матрицу 𝐴 ′ 𝐴 𝐴 ′ = 𝑈 𝐴. Такое же преобразование строк с 𝐴𝐵. 𝐴𝐵 𝑈 (𝐴𝐵) = (𝑈 𝐴)𝐵 = 𝐴 ′ 𝐵. Таким образом, сначала выполнив элементарное преобразование и домножив на матрицу 𝐵, либо домножив на 𝐵 и затем применив элементарное преобразование, получим тот же результат. Тогда, цепочка элементарных преобразований строк: 𝐴 𝐶 – улучшенный ступенчатый вид. Так же цепочка для 𝐴𝐵: 𝐴𝐵 𝐶𝐵. При этом, det 𝐴 и det 𝐴𝐵 умножились на один и тот же скаляр 𝛼 ̸= 0 det 𝐶 = 𝛼 det 𝐴. det 𝐶𝐵 = 𝛼 det 𝐴𝐵. Случай 1 Последняя строка состоит из нулей: 𝐶 (𝑛) = (0 . . . 0) =⇒ [𝐶𝐵] (𝑛) = 𝐶 (𝑛) 𝐵 = (0 . . . 0) =⇒ det 𝐶𝐵 = 0 = 0 · det 𝐵 = det 𝐶 det 𝐵. Случай 2 Последняя строка ненулевая: 𝐶 (𝑛) =⇒ 𝐶 = 𝐸, так как матрица 𝐶 имеет улучшенный ступенчатый вид. Значит, det 𝐶𝐵 = det 𝐵 = 1 · det 𝐵 = det 𝐶 · det 𝐵. Из этих двух случаем следует, что det 𝐶𝐵 = det 𝐶 det 𝐵. Сокращая 𝛼 получаем, det 𝐶𝐵 = det 𝐶 det 𝐵 =⇒ det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵. 10. Разложение определителя по строке (столбцу) Лемма. Пусть 𝑎 𝑖𝑘 = 0 при всех 𝑘 ̸= 𝑗. Тогда det 𝐴 = 𝑎 𝑖𝑗 · 𝐴 𝑖𝑗 Доказательство. 𝐴 = ⎛ ⎝ 𝑃 𝑈 𝑄 0 . . . 0 𝑎 𝑖𝑗 0 . . . 0 𝑅 𝑉 𝑆 ⎞ ⎠ Переставляя соседние строки 𝑖 − 1 раз, вытолкнем 𝑖-ю строку наверх. 𝐴 ′ = ⎛ ⎝ 0 . . . 0 𝑎 𝑖𝑗 0 . . . 0 𝑃 𝑈 𝑄 𝑅 𝑉 𝑆 ⎞ ⎠ 23 Переставляя соседние столбцы 𝑗 − 1 раз, переместим 𝑗-й столбец на первое место. 𝐴 ′′ = ⎛ ⎝ 𝑎 𝑖𝑗 0 . . . 0 0 . . . 0 𝑈 𝑃 𝑄 𝑉 𝑅 𝑆 ⎞ ⎠ det 𝐴 ′′ = 𝑎 𝑖𝑗 det (︂ 𝑃 𝑄 𝑅 𝑆 )︂ = 𝑎 𝑖𝑗 𝑀 𝑖𝑗 =⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = (−1) 𝑖−1+𝑗−1 det 𝐴 ′′ = (−1) 𝑖+𝑗 𝑎 𝑖𝑗 𝑀 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑖𝑗 Теорема. При любом фиксированном 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, det 𝐴 = 𝑎 𝑖1 𝐴 𝑖1 + 𝑎 𝑖2 𝐴 𝑖2 + · · · + 𝑎 𝑖𝑛 𝐴 𝑖𝑛 = 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑖𝑗 – разложение по i-й строке. Аналогично, для любого фиксированного 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, det 𝐴 = 𝑎 1𝑗 𝐴 1𝑗 + 𝑎 2𝑗 𝐴 2𝑗 + · · · + 𝑎 𝑛𝑗 𝐴 𝑛𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑖𝑗 – разложение по j-у столбцу. Доказательство. В силу свойства T достаточно доказать для строк. 𝐴 (𝑖) = (𝑎 𝑖1 , 0, . . . , 0) + (0, 𝑎 𝑖2 , 0, . . . , 0) + · · · + (0, . . . , 0, 𝑎 𝑖𝑛 ). Требуемое следует из свойства определителей (разложение строки в сумму двух) и леммы. 11. Лемма о фальшивом разложении определителя Лемма. 1. При любых 𝑖, 𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} : 𝑖 ̸= 𝑘 =⇒ ∑︀ 𝑛 𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑘𝑗 = 0 2. При любых 𝑗, 𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} : 𝑗 ̸= 𝑘 =⇒ ∑︀ 𝑛 𝑖=1 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑖𝑘 = 0 Доказательство. В силу свойства T достаточно доказать для строк. Пусть 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛 – матрица, полученная из 𝐴 заменой 𝑘-й строки на 𝑖-ю. 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐴 (1) 𝐴 (𝑖) 𝐴 (𝑖) 𝐴 (𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ В 𝐵 есть две одинаковые строки =⇒ det 𝐵 = 0. Разлагая det 𝐵 по 𝑘-й строке, получаем det 𝐵 = 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑏 𝑘𝑗 𝐵 𝑘𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑘𝑗 12. Единственность обратной матрицы Пусть дана 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛 Определение. Матрица 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛 называется обратной к 𝐴, если 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐸. Обозначение: 𝐴 −1 Лемма. Если ∃𝐴 −1 , то она единственна. Доказательство. Пусть 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑀 𝑛 такие, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐸 и 𝐴𝐶 = 𝐶𝐴 = 𝐸. Тогда, 𝐵 = 𝐵𝐸 = 𝐵(𝐴𝐶) = (𝐵𝐴)𝐶 = 𝐸𝐶 = 𝐶 =⇒ 𝐵 = 𝐶. 24 13. Определитель обратной матрицы Лемма. Если ∃𝐴 −1 , то det 𝐴 ̸= 0. Доказательство. 𝐴𝐴 −1 = 𝐸 =⇒ det(𝐴𝐴 −1 ) = det 𝐸 =⇒ det 𝐴 det(𝐴 −1 ) = 1 14. Критерий обратимости квадратной матрицы и явная формула для обратной матрицы Теорема. 𝐴 обратима (то есть ∃𝐴 −1 ) ⇐⇒ 𝐴 невырождена (det 𝐴 ̸= 0), при этом 𝐴 −1 = 1 det 𝐴 ̂︀ 𝐴. Доказательство. Утверждение в одну сторону следует из предыдущего пункта. Пусть det 𝐴 ̸= 0. Покажем, что 1 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̂︀ 𝐴 = 𝐴 −1 . Для этого достаточно доказать, что 𝐴 ̂︀ 𝐴 = ̂︀ 𝐴𝐴 = det 𝐴 · 𝐸 Для 𝑋 = 𝐴 ̂︀ 𝐴 имеем 𝑥 𝑖𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑎 𝑖𝑘 [ ̂︀ 𝐴] 𝑘𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑎 𝑖𝑘 𝐴 𝑗𝑘 = {︃ 𝑑𝑒𝑡𝐴, при 𝑖 = 𝑗 0, при 𝑖 ̸= 𝑗 Для 𝑌 = ̂︀ 𝐴𝐴 имеем 𝑦 𝑖𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 [ ̂︀ 𝐴] 𝑖𝑘 𝑎 𝑘𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝐴 𝑘𝑖 𝑎 𝑘𝑗 = {︃ 𝑑𝑒𝑡𝐴, при 𝑖 = 𝑗 0, при 𝑖 ̸= 𝑗 15. Матрица, обратная к произведению двух матриц Следствие. 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛 =⇒ 𝐴𝐵 обратима ⇐⇒ обе 𝐴, 𝐵 обратимы. При этом (𝐴𝐵) −1 = 𝐵 −1 𝐴 −1 Доказательство. Эквивалентность ( ⇐⇒ ) следует из условия det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵. (𝐴𝐵)(𝐵 −1 𝐴 −1 ) = 𝐴(𝐵𝐵 −1 )𝐴 −1 = 𝐴𝐴 −1 = 𝐸. 16. Формулы Крамера Пусть есть СЛУ 𝐴𝑥 = 𝑏(⋆), 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛 , 𝑥 = ⎛ ⎝ 𝑥 1 𝑥 𝑛 ⎞ ⎠ ∈ R 𝑛 , 𝑏 = ⎛ ⎝ 𝑏 1 𝑏 𝑛 ⎞ ⎠ ∈ R 𝑛 Также, ∀𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, 𝐴 𝑖 = (𝐴 (1) , . . . , 𝐴 (𝑖−1) , 𝑏, 𝐴 (𝑖+1) , . . . , 𝐴 (𝑛) ) Теорема. Если det 𝐴 ̸= 0, то СЛУ (⋆) имеет единственное решение и его можно найти по формулам: 𝑥 𝑖 = det 𝐴 𝑖 det 𝐴 Доказательство. det 𝐴 ̸= 0 =⇒ ∃𝐴 −1 =⇒ (⋆) ⇐⇒ 𝑥 = 𝐴 −1 𝑏 – единственное решение. 𝑏 = 𝐴 ⎛ ⎜ ⎝ 𝑥 1 𝑥 𝑛 ⎞ ⎟ ⎠ = 𝑥 1 𝐴 (1) + 𝑥 2 𝐴 (2) + · · · + 𝑥 𝑛 𝐴 (𝑛) det 𝐴 𝑖 = det (︁ 𝐴 (1) , . . . , 𝐴 (𝑖−1) , 𝑥 1 𝐴 (1) + · · · + 𝑥 𝑛 𝐴 (𝑛) , 𝐴 (𝑖+1) , . . . , 𝐴 (𝑛) )︁ = 𝑥 1 det (︁ 𝐴 (1) , . . . , 𝐴 (𝑖−1) , 𝐴 (1) , 𝐴 (𝑖+1 ), . . . 𝐴 (𝑛) )︁ + 𝑥 2 det (︁ 𝐴 (1) , . . . , 𝐴 (𝑖−1) , 𝐴 (2) , 𝐴 (𝑖+1) , . . . , 𝐴 (𝑛) )︁ + · · · + + 𝑥 𝑛 det (︁ 𝐴 (1) , . . . , 𝐴 (𝑖−1) , 𝐴 (𝑛) , 𝐴 (𝑖+1) , . . . , 𝐴 (𝑛) )︁ = 𝑥 𝑖 det 𝐴 // Все слагаемые кроме i-го равны 0. 25 2.5 Комплексные числа 1. Построение поля комплексных чисел Цель — построить поле C комплексных чисел. Неформально, C – это наименьшее поле со следующими свойставми: 1. C ⊃ R. 2. Многочлен 𝑥 2 + 1 имеет корень, то есть ∃𝑖 : 𝑖 2 = −1 Формальная конструкция поля C C = R 2 = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎, 𝑏 ∈ R}. • (𝑎 1 , 𝑏 1 ) + (𝑎 2 , 𝑏 2 ) = (𝑎 1 + 𝑎 2 , 𝑏 1 + 𝑏 2 ) • (𝑎 1 , 𝑏 1 )(𝑎 2 , 𝑏 2 ) = (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 𝑏 2 , 𝑎 1 𝑏 2 + 𝑎 2 𝑏 1 ) Неформально, каждой такой паре (𝑎, 𝑏) соответствует комплексное число 𝑎 + 𝑏𝑖: • (𝑎, 𝑏) ⇐⇒ 𝑎 + 𝑏𝑖 • (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖) + (𝑎 2 + 𝑏 2 𝑖) = (𝑎 1 + 𝑎 2 ) + (𝑏 1 + 𝑏 2 )𝑖 • (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖)(𝑎 2 + 𝑏 2 𝑖) = 𝑎 1 𝑎 2 + 𝑎 1 𝑏 2 𝑖 + 𝑎 2 𝑏 1 𝑖 + 𝑏 1 𝑏 2 𝑖 2 ⏟ ⏞ =−1 = (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 𝑏 2 ) + (𝑎 1 𝑏 2 + 𝑎 2 𝑏 1 )𝑖 Проверка аксиом 1, 2. Очевидны. 3. 0 = (0, 0). 4. −(𝑎, 𝑏) = (−𝑎, −𝑏). 5. Дистрибутивность (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖)((𝑎 2 + 𝑏 2 𝑖) + (𝑎 3 + 𝑏 3 𝑖)) = (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖)((𝑎 2 + 𝑎 3 ) + (𝑏 2 + 𝑏 3 )𝑖) = (𝑎 1 (𝑎 2 + 𝑎 3 ) − 𝑏 1 (𝑏 2 + 𝑏 3 )) + (𝑎 1 (𝑏 2 + 𝑏 3 ) + 𝑏 1 (𝑎 2 + 𝑎 3 ))𝑖 = 𝑎 1 𝑎 2 + 𝑎 1 𝑎 3 − 𝑏 1 𝑏 2 − 𝑏 1 𝑏 3 + (𝑎 1 𝑏 2 + 𝑎 1 𝑏 3 + 𝑏 1 𝑎 2 + 𝑏 1 𝑎 3 )𝑖 = ((𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 𝑏 2 ) + (𝑎 1 𝑏 2 + 𝑏 1 𝑎 2 )𝑖) + ((𝑎 1 𝑎 3 + 𝑏 1 𝑏 3 ) + (𝑏 1 𝑎 3 + 𝑎 1 𝑏 3 )𝑖) = (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖)(𝑎 2 + 𝑏 2 𝑖) + (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖)(𝑎 3 + 𝑏 3 𝑖) 6. Коммутативность умножения – из явного вида формулы. (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖)(𝑎 2 + 𝑏 2 𝑖) = (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 𝑏 2 ) + (𝑎 1 𝑏 2 + 𝑎 2 𝑏 1 )𝑖 7. Ассоциативность умножения (𝑎 1 , 𝑏 1 )(𝑎 2 , 𝑏 2 )(𝑎 3 , 𝑏 3 ) = (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 𝑏 2 , 𝑎 1 𝑏 2 + 𝑎 2 𝑏 1 )(𝑎 3 , 𝑏 3 ) = (𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 − 𝑏 1 𝑏 2 𝑎 3 − 𝑎 1 𝑏 2 𝑏 3 − 𝑏 1 𝑎 2 𝑏 3 , 𝑎 1 𝑎 2 𝑏 3 − 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 + 𝑎 1 𝑏 2 𝑎 3 + 𝑏 1 𝑎 2 𝑎 3 ) = (𝑎 1 , 𝑏 1 )(𝑎 2 𝑎 3 − 𝑏 2 𝑏 3 , 𝑎 2 𝑏 3 + 𝑏 2 𝑎 3 ) = (𝑎 1 , 𝑏 1 )(𝑎 2 , 𝑏 |