Колоквиум вшэ пи алгебра линейная. Линейная алгебра, Коллоквиум i бобень Вячеслав
 Скачать 440.73 Kb.
|
|
16. Сколько может быть решений у системы линейных уравнений с действительными коэффициента- ми? Определение. Всякая СЛУ с действительными коэффициентами: • либо не имеет решений (несовместна) • либо имеет ровно одно решение • либо имеет бесконечно много решений 17. Однородная система линейных уравнений. Что можно сказать про её множество решений? Определение. СЛУ называется однородной (ОСЛУ), если все её правые части равны 0. Расширенная матрица: (𝐴 | 0) Очевидный факт. Всякая ОСЛУ имеет нулевое решение (𝑥 1 = 𝑥 2 = · · · = 𝑥 𝑛 = 0) 6 Следствие. Всякая ОСЛУ либо имеет ровно 1 решение (нулевое), либо бесконечно много решений. 18. Свойство однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше числа уравнений Следствие. Всякая ОСЛУ, у которой число неизвестных больше числа уравнений, имеет ненулевое решение (бесконечно много ненулевых решений). 19. Связь между множеством решений совместной системы линейных уравнений и множеством ре- шений соответствующей ей однородной системы Утверждение. Пусть 𝐴𝑥 = 𝑏 – совместная СЛУ, 𝑥 0 – частное решение 𝐴𝑥 = 𝑏, 𝑆 ⊂ R 𝑛 – множество решений ОСЛУ 𝐴𝑥 = 0, 𝐿 ⊂ R 𝑛 – множество решений 𝐴𝑥 = 𝑏. Тогда, 𝐿 = 𝑥 0 + 𝑆, где 𝑥 0 + 𝑆 = {𝑥 0 + 𝑣 | 𝑣 ∈ 𝑆} 20. Обратная матрица Определение. Матрица 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛 называется обратной, к 𝐴, если 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐸. Обозначение: 𝐵 = 𝐴 −1 21. Перестановки множества {1, 2, . . . , 𝑛} Определение. Перестановкой (подстановкой) на множестве {1, 2, . . . , 𝑛} называется всякое биективное (вза- имно однозначное) отображение множества {1, 2, . . . , 𝑛} в себя. 𝜎 : {1, 2, . . . , 𝑛} → {1, 2, . . . , 𝑛}. 𝑆 𝑛 – множество всех перестановок на множестве {1, 2, . . . , 𝑛}. Запись: (︂ 1 2 3 𝑛 𝜎(1) 𝜎(2) 𝜎(3) 𝜎(𝑛) )︂ либо (︂ 𝑖 1 𝑖 2 𝑖 3 𝑖 𝑛 𝜎(𝑖 1 ) 𝜎(𝑖 2 ) 𝜎(𝑖 3 ) 𝜎(𝑖 𝑛 ) )︂ Здесь, {𝑖 1 , 𝑖 2 , . . . , 𝑖 𝑛 } = {1, 2, . . . , 𝑛} 22. Инверсия в перестановке. Знак перестановки. Чётные и нечётные перестановки Пусть 𝜎 ∈ 𝑆 𝑛 , 𝑖, 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, 𝑖 ̸= 𝑗 Определение. Пара {𝑖, 𝑗} (неупорядоченная) образует инверсию в 𝜎, если числа 𝑖−𝑗 и 𝜎(𝑖)−𝜎(𝑗) имеют разный знак (то есть либо 𝑖 < 𝑗 и 𝜎(𝑖) > 𝜎(𝑗), либо 𝑖 > 𝑗 и 𝜎(𝑖) < 𝜎(𝑗)). Определение. Знак перестановки 𝜎 – это число sgn(𝜎) = (−1) <число инверсий в 𝜎> Определение. Перестановка 𝜎 называется четной, если sgn(𝜎) = 1 (четное количество инверсий), и нечетной если sgn(𝜎) = −1 (нечетное количество инверсий). 23. Произведение двух перестановок Определение. Произведением (или композицией) двух перестановок 𝜎, 𝜌 ∈ 𝑆 𝑛 называется такая перестановка 𝜎𝜌 ∈ 𝑆 𝑛 , что (𝜎𝜌)(𝑥) := 𝜎(𝜌(𝑥)) ∀𝑥 ∈ {1, . . . , 𝑛}. 24. Тождественная перестановка и её свойства. Обратная перестановка и её свойства Определение. Перестановка 𝑖𝑑 = (︂1 2 . . . 𝑛 1 2 𝑛 )︂ ∈ 𝑆 𝑛 называется тождественной перестановкой. Свойства: ∀𝜎 ∈ 𝑆 𝑛 𝑖𝑑 · 𝜎 = 𝜎 · 𝑖𝑑 = 𝜎 sgn(𝑖𝑑) = 1 Определение. 𝜎 ∈ 𝑆 𝑛 , 𝜎 = (︂ 1 2 𝑛 𝜎(1) 𝜎(2) 𝜎(𝑛) )︂ =⇒ подстановка 𝜎 −1 := (︂𝜎(1) 𝜎(2) . . . 𝜎(𝑛) 1 2 𝑛 )︂ назы- вается обратной к 𝜎 перестановкой. 7 Свойства: 𝜎 · 𝜎 −1 = 𝑖𝑑 = 𝜎 −1 · 𝜎 25. Теорема о знаке произведения двух перестановок Теорема. 𝜎, 𝜌 ∈ 𝑆 𝑛 =⇒ sgn(𝜎𝜌) = sgn 𝜎 · sgn 𝜌. 26. Транспозиция. Знак транспозиции Пусть 𝑖, 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, 𝑖 ̸= 𝑗. Рассмотрим перестановку 𝜏 𝑖𝑗 ∈ 𝑆 𝑛 , такую что 𝜏 𝑖𝑗 (𝑖) = 𝑗 𝜏 𝑖𝑗 (𝑗) = 𝑖 𝜏 𝑖𝑗 (𝑘) = 𝑘 ∀𝑘 ̸= 𝑖, 𝑗 Определение. Перестановки вида 𝜏 𝑖𝑗 называются транспозициями. Замечание. 𝜏 – траспозиция =⇒ 𝜏 2 = 𝑖𝑑, 𝜏 −1 = 𝜏 Лемма. 𝜏 ∈ 𝑆 𝑛 – транспозиция =⇒ sgn(𝜏) = −1. 27. Общая формула для определителя квадратной матрицы произвольного порядка Определение. Определителем матрицы 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛 называется число det 𝐴 = ∑︁ 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn(𝜎)𝑎 1𝜎(1) 𝑎 2𝜎(2) . . . 𝑎 𝑛𝜎(𝑛) (∑︀ 𝜎∈𝑆 𝑛 – сумма по всем перестановкам) 28. Определители 2-го и 3-го порядка • 𝑛 = 2 𝑆 2 = {︂(︂1 2 1 2 )︂ , (︂1 2 2 1 )︂}︂ det 𝐴 = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = 𝑎 11 𝑎 22 − 𝑎 12 𝑎 21 • 𝑛 = 3 𝑆 3 = {︂(︂1 2 3 1 2 3 )︂ , (︂1 2 3 2 3 1 )︂ , (︂1 2 3 3 1 2 )︂ , (︂1 2 3 3 2 1 )︂ , (︂1 2 3 2 1 3 )︂ , (︂1 2 3 1 3 2 )︂}︂ det 𝐴 = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = 𝑎 11 𝑎 22 𝑎 33 + 𝑎 12 𝑎 23 𝑎 31 + 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 32 − 𝑎 13 𝑎 22 𝑎 31 − 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 33 − 𝑎 11 𝑎 23 𝑎 32 29. Поведение определителя при разложении строки (столбца) в сумму двух Если 𝐴 (𝑖) = 𝐴 1 (𝑖) + 𝐴 2 (𝑖) , то det 𝐴 = det ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐴 (1) 𝐴 1 (𝑖) 𝐴 (𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + det ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐴 (1) 𝐴 2 (𝑖) 𝐴 (𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Пример: ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑏 1 + 𝑐 1 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑏 3 + 𝑐 3 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ + ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ Аналогично, если 𝐴 (𝑗) = 𝐴 (𝑗) 1 + 𝐴 (𝑗) 2 , то det 𝐴 = det(𝐴 (1) · · · 𝐴 (𝑗) 1 · · · 𝐴 (𝑛) ) + det(𝐴 (1) · · · 𝐴 (𝑗) 2 · · · 𝐴 (𝑛) ) 30. Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов) Если в 𝐴 поменять местами две строки или два столбца, то det 𝐴 поменяет знак. 31. Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на скаляр Если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на скаляр, то det 𝐴 не изменится. 32. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы 8 Определение. Матрица называется верхнетреугольной, если 𝑎 𝑖𝑗 = 0 при 𝑖 > 𝑗, нижнетреугольной, если 𝑎 𝑖𝑗 = 0 при 𝑖 < 𝑗. ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 1𝑛 0 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 2𝑛 0 0 𝑎 33 𝑎 3𝑛 0 0 0 𝑎 𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ – верхнетреугольная ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 11 0 0 0 𝑎 21 𝑎 22 0 · · · 0 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 · · · 0 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 𝑎 𝑚3 · · · 𝑎 𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ – нижнетреугольная 33. Определитель верхнетреугольной (нижнетреугольной) матрицы Если 𝐴 верхнетреугольная или нижнетреугольная, то det 𝐴 = 𝑎 11 𝑎 22 . . . 𝑎 𝑛𝑛 34. Определитель диагональной матрицы. Определитель единичной матрицы Так как матрица диагональна, она верхнетреугольна. Тогда, её определитель равен произведению элементов на диагонали: det 𝐴 = 𝑎 11 · 𝑎 22 · · · · · 𝑎 𝑛𝑛 Значит, определитель единичной матрицы – 1. det 𝐸 = 1 · 1 · · · · · 1 = 1 35. Матрица с углом нулей и её определитель Предложение. 𝐴 = (︂ 𝑃 𝑄 0 𝑅 )︂ или 𝐴 = (︂ 𝑃 0 𝑄 𝑅 )︂ , 𝑃 ∈ 𝑀 𝑘 , 𝑅 ∈ 𝑀 𝑛−𝑘 =⇒ det 𝐴 = det 𝑃 det 𝑅. Матрица с углом нулей: ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ * * * * 0 * * * 0 * * * 0 * * * ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ НЕ матрица с углом нулей: ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ * * * * * * * * 0 * * * 0 * * * ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 36. Определитель произведения двух матриц Теорема. 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛 =⇒ det(𝐴𝐵) = det 𝐴 det 𝐵. 37. Дополнительный минор к элементу квадратной матрицы Определение. Дополнительным минором к элементу 𝑎 𝑖𝑗 называется определитель (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) матрицы, получающейся из 𝐴 вычеркиванием 𝑖-ой строки и 𝑗-го столбца. Обозначение: 𝑀 𝑖𝑗 38. Алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы Определение. Алгебраическим дополнением к элементу 𝑎 𝑖𝑗 называется число 𝐴 𝑖𝑗 = (−1) 𝑖+𝑗 𝑀 𝑖𝑗 39. Формула разложения определителя по строке (столбцу) 9 Теорема. При любом фиксированном 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, det 𝐴 = 𝑎 𝑖1 𝐴 𝑖1 + 𝑎 𝑖2 𝐴 𝑖2 + · · · + 𝑎 𝑖𝑛 𝐴 𝑖𝑛 = 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑖𝑗 – разложение по i-й строке. Аналогично, для любого фиксированного 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, det 𝐴 = 𝑎 1𝑗 𝐴 1𝑗 + 𝑎 2𝑗 𝐴 2𝑗 + · · · + 𝑎 𝑛𝑗 𝐴 𝑛𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑖𝑗 – разложение по j-у столбцу. 40. Лемма о фальшивом разложении определителя Лемма. 1. При любых 𝑖, 𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} : 𝑖 ̸= 𝑘 =⇒ ∑︀ 𝑛 𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑘𝑗 = 0 , 2. При любых 𝑗, 𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} : 𝑗 ̸= 𝑘 =⇒ ∑︀ 𝑛 𝑖=1 𝑎 𝑖𝑗 𝐴 𝑖𝑘 = 0 41. Невырожденная матрица Определение. Матрица 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛 называется невырожденной, если det 𝐴 ̸= 0, и вырожденной иначе (то есть det 𝐴 = 0 ). 42. Присоединённая матрица Определение. Присоединенной к А матрицей называется матрица ̂︀ 𝐴 = (𝐴 𝑖𝑗 ) 𝑇 43. Критерий обратимости квадратной матрицы Теорема. 𝐴 обратима (то есть ∃𝐴 −1 ) ⇐⇒ 𝐴 невырождена (det 𝐴 ̸= 0). 44. Явная формула для обратной матрицы 𝐴 −1 = 1 det 𝐴 ̂︀ 𝐴 45. Критерий обратимости произведения двух матриц. Матрица, обратная к произведению двух мат- риц Следствие. 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛 =⇒ 𝐴𝐵 обратима ⇐⇒ обе 𝐴, 𝐵 обратимы. При этом (𝐴𝐵) −1 = 𝐵 −1 𝐴 −1 46. Формулы Крамера Пусть есть СЛУ 𝐴𝑥 = 𝑏(⋆), 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛 , 𝑥 = ⎛ ⎝ 𝑥 1 𝑥 𝑛 ⎞ ⎠ ∈ R 𝑛 , 𝑏 = ⎛ ⎝ 𝑏 1 𝑏 𝑛 ⎞ ⎠ ∈ R 𝑛 Также, ∀𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, 𝐴 𝑖 = (𝐴 (1) , . . . , 𝐴 (𝑖−1) , 𝑏, 𝐴 (𝑖+1) , . . . , 𝐴 (𝑛) ) Теорема. Если det 𝐴 ̸= 0, то СЛУ (⋆) имеет единственное решение и его можно найти по формулам: 𝑥 𝑖 = det 𝐴 𝑖 det 𝐴 47. Что такое поле? Определение. Полем называется множество 𝐹 , на котором заданы две операции “сложение” ((𝑎, 𝑏) → 𝑎 + 𝑏) и “умножение” ((𝑎, 𝑏) → 𝑎 · 𝑏), причем ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐹 выполнены следующие условия: 1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (коммутативность сложения) 2. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (ассоциативность сложения) 3. ∃0 ∈ 𝐹 : 0 + 𝑎 = 𝑎 + 0 = 𝑎 (нулевой элемент) 4. ∃(−𝑎) ∈ 𝐹 : 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0 (противоположный элемент) ↑ абелева группа ↑ 5. 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 (дистрибутивность) 6. 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (коммутативность умножения) 7. (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) (ассоциативность умножения) 8. ∃1 ∈ 𝐹 ∖ {0} : 1𝑎 = 𝑎1 = 𝑎 (единица) 9. Если 𝑎 ̸= 0, ∃𝑎 −1 ∈ 𝐹 : 𝑎𝑎 −1 = 𝑎 −1 𝑎 = 1 (обратный элемент) 10 48. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме Определение. Представление числа 𝑧 ∈ C в виде 𝑎 + 𝑏𝑖, где 𝑎, 𝑏 ∈ R называется его алгебраической формой. Число 𝑖 называется мнимой единицей. 𝑎 =: 𝑅𝑒(𝑧) – действительная часть числа 𝑧. 𝑏 =: 𝐼𝑚(𝑧) – мнимая часть числа 𝑧. Сложение (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖) + (𝑎 2 + 𝑏 2 𝑖) = (𝑎 1 + 𝑎 2 ) + (𝑏 1 + 𝑏 2 )𝑖 Умножение (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖)(𝑎 2 + 𝑏 2 𝑖) = (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 𝑏 2 ) + (𝑎 1 𝑏 2 + 𝑎 2 𝑏 1 )𝑖 Деление 𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑖 = 𝑎 1 𝑎 2 + 𝑏 1 𝑏 2 𝑎 2 2 + 𝑏 2 2 + 𝑎 2 𝑏 1 − 𝑎 1 𝑏 2 𝑎 2 2 + 𝑏 2 2 𝑖 49. Комплексное сопряжение и его свойства: сопряжение суммы и произведения двух комплексных чисел Определение. Число 𝑧 := 𝑎 − 𝑏𝑖 называется комплексно сопряженным к числу 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Операция 𝑧 → 𝑧 называется комплексным сопряжением. Свойства комплексного сопряжения • 𝑧 = 𝑧. • 𝑧 + 𝑤 = 𝑧 + 𝑤. • 𝑧𝑤 = 𝑧 · 𝑤. 50. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация в ней сложения и сопряжения Числу 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 соответствует точка (или вектор) на плоскости R 2 с координатами (𝑎, 𝑏). Сумме 𝑧 + 𝑤 соот- ветствует сумма соответствующих векторов. Сопряжение 𝑧 → 𝑧 – это отражение 𝑧 относительно действительной оси. 51. Модуль комплексного числа и его свойства: неотрицательность, неравенство треугольника, модуль произведения двух комплексных чисел Определение. Число |𝑧| = √ 𝑎 2 + 𝑏 2 называется модулем числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C (то есть длина соответствующего вектора). Свойства 1. |𝑧| > 0, причем |𝑧| = 0 ⇐⇒ 𝑧 = 0. 2. |𝑧 + 𝑤| 6 |𝑧| + |𝑤| (неравенство треугольника). 3. 𝑧𝑧 = |𝑧| 2 4. |𝑧𝑤| = |𝑧||𝑤|. 52. Аргумент комплексного числа Определение. Аргументом числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C ∖ {0} называется число 𝜙 ∈ R, такое что cos 𝜙 = 𝑎 |𝑧| = 𝑎 √ 𝑎 2 + 𝑏 2 sin 𝜙 = 𝑏 |𝑧| = 𝑏 √ 𝑎 2 + 𝑏 2 В геометрических терминах, 𝜙 есть угол между осью 𝑂𝑥 и соответствующим вектором. 53. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в три- гонометрической форме Определение. Представление числа 𝑧 ∈ C в виде 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙) называется его тригонометрической формой Предложение. Пусть 𝑧 1 = |𝑧 1 |(cos 𝜙 1 + 𝑖 sin 𝜙 1 ) и 𝑧 2 = |𝑧 2 |(cos 𝜙 2 + 𝑖 sin 𝜙 2 ) , тогда 𝑧 1 𝑧 2 = |𝑧 1 ||𝑧 2 |(cos(𝜙 1 + 𝜙 2 ) + 𝑖 sin(𝜙 1 + 𝜙 2 )). 11 Следствие. В условиях предложения, предположим, что 𝑧 2 ̸= 0 Тогда 𝑧 1 𝑧 2 = |𝑧 1 | |𝑧 2 | (cos(𝜙 1 − 𝜙 2 ) + 𝑖 sin(𝜙 1 − 𝜙 2 )) 54. Формула Муавра Пусть 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙). Тогда ∀𝑛 ∈ Z, 𝑧 𝑛 = |𝑧| 𝑛 (cos(𝑛𝜙) + 𝑖 sin(𝑛𝜙)) – формула Муавра. 55. Извлечение корней из комплексных чисел Пусть 𝑧 ∈ C, 𝑛 ∈ N, 𝑛 > 2. Определение. Корнем степени n (или корнем n-й степени) из числа 𝑧 называется всякое число 𝑤 ∈ C, что 𝑤 𝑛 = 𝑧 𝑛 √ 𝑧 = {𝑤 0 , 𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛−1 } , где 𝑤 𝑘 = 𝑛 √︀|𝑧| (︁ cos 𝜙+2𝜋𝑘 𝑛 + 𝑖 sin 𝜙+2𝜋𝑘 𝑛 )︁ Замечание. Числа 𝑤 0 , 𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛−1 лежат в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат. 56. Основная теорема алгебры комплексных чисел Теорема. Всякий многочлен степени > 1 с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень. 57. Теорема Безу и её следствие Частный случай деления многочлена 𝑓(𝑥) на многочлен 𝑔(𝑥) с остатком: 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑐, deg 𝑔(𝑥) = 1: 𝑓 (𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑟(𝑥) , где либо 𝑟(𝑥) = 0, либо deg 𝑟(𝑥) < 𝑔(𝑥) = 1 Значит, 𝑟(𝑥) ≡ 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∈ 𝐹 . Теорема. 𝑟 = 𝑓 (𝑐). Следствие. Элемент 𝑐 ∈ 𝐹 является корнем многочлена 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥] тогда и только тогда, когда 𝑓(𝑥) делится на (𝑥 − 𝑐). 58. Кратность корня многочлена Определение. Кратностью корня 𝑐 ∈ 𝐹 многочлена 𝑓(𝑥) называется наибольшее целое 𝑘 такое что, 𝑓(𝑥) делится на (𝑥 − 𝑐) 𝑘 59. Векторное пространство Фиксируем поле 𝐹 (можно считать, что 𝐹 = R или C) Определение. Множество 𝑉 называется векторным (линейным) пространством над полем 𝐹 , если на 𝑉 заданы две операции • “сложение”: 𝑉 × 𝑉 → 𝑉 , (𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑥 + 𝑦. • “умножение на скаляр”: 𝐹 × 𝑉 , (𝛼 ∈ 𝐹, 𝑥 ∈ 𝑉 ) ↦→ 𝛼𝑥. а также, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 и 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐹 выполнены следующие условия (называются аксиомами векторного простран- ства ): 1. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥. 2. (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧). 3. ∃ − → 0 ∈ 𝑉 : 𝑥 + − → 0 = − → 0 + 𝑥 = 𝑥 (нулевой элемент). 4. ∃ − 𝑥 : −𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + (−𝑥) = − → 0 (противоположный элемент). 5. 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦. 6. (𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥. 7. (𝛼𝛽)𝑥 = 𝛼(𝛽𝑥). 8. 1 · 𝑥 = 𝑥. 60. Подпространство векторного пространства Пусть 𝑉 – векторное пространство над 𝐹 . Определение. Подмножество 𝑈 ⊆ 𝑉 называется подпространством (в 𝑉 ), если 1. − → 0 ∈ 𝑈 2. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 =⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑈. 3. 𝑥 ∈ 𝑈, 𝛼 ∈ 𝐹 =⇒ 𝛼𝑥 ∈ 𝑈. 12 61. Линейная комбинация конечного набора векторов векторного пространства Пусть 𝑉 – векторное пространство над 𝐹 и 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑘 ∈ 𝑉 – набор векторов. Определение. Линейной комбинацией векторов 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑘 называется всякое выражение вида 𝛼 1 𝑣 1 + · · · + 𝛼 𝑘 𝑣 𝑘 , где 𝛼 𝑖 ∈ 𝐹 62. Линейная оболочка подмножества векторного пространства Пусть 𝑆 ⊆ 𝑉 – подмножество векторного пространства. Определение. Линейной оболочкой множества 𝑆 называются множество всех векторов из 𝑉 , представимых в виде линейной комбинации какого-то конечного набора векторов из 𝑆. Обозначение: ⟨𝑆⟩. 63. Две общих конструкции подпространств в пространстве 𝐹 𝑛 • Пусть 𝑈 ⊆ 𝐹 𝑛 – множество векторов, тогда ⟨𝑈⟩ – подпространство в 𝐹 𝑛 • Множество решений любой ОСЛУ 𝐴𝑥 = 0 (𝐴 ∈ Mat 𝑚×𝑛 (𝐹 ) , 𝑥 ∈ 𝐹 𝑛 ) является подпространством в 𝐹 𝑛 Любое подпространство в 𝐹 𝑛 можно задать любым из этих способов. 64. Линейная зависимость конечного набора векторов 65. Линейная независимость конечного набора векторов Определение. 1. Векторы 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 называются линейно зависимыми если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная − → 0 (то есть ∃(𝛼 1 , . . . , 𝛼 𝑛 ) ̸= (0, . . . , 0) , такие что 𝛼 1 𝑣 1 + · · · + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 = − → 0 ) и линейно независимыми иначе (то есть из условия 𝛼 1 𝑣 1 + . . . 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 = − → 0 следует 𝛼 1 = · · · = 𝛼 𝑛 = 0 ). 2. Множество 𝑆 ⊆ 𝑉 (возможно бесконечное, возможно с повторяющимися элементами) называется линейно зависимым если существует конечное линейно зависимое подмножество, и линейно независимым если любое конечное подмножество линейно независимо. 66. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов Предложение. Пусть 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 , 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛}, тогда следующие условия эквивалентны: 1. ∃(𝛼 1 , . . . , 𝛼 𝑛 ) ∈ 𝐹 𝑛 , такой что 𝛼 1 𝑣 1 + · · · + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 = − → 0 (⋆) и 𝛼 𝑖 ̸= 0 2. 𝑣 𝑖 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 , . . . , 𝑣 𝑛 ⟩ Следствие. Векторы 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑛 линейно зависимы тогда и только тогда, когда ∃𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛}, такое что 𝑣 𝑖 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 , . . . , 𝑣 𝑛 ⟩ 67. Основная лемма о линейной зависимости Лемма. Пусть есть две системы векторов 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 и 𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛 , причем 𝑚 < 𝑛 и 𝑤 𝑖 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ⟩ ∀𝑖 = 1, . . . , 𝑛 Тогда векторы 𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛 линейно зависимы. Пример. Любые 𝑛 + 1 векторов в 𝐹 𝑛 линейно зависимы, так как 𝐹 𝑛 = ⟨𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 ⟩ 68. Базис векторного пространства Определение. Подмножество 𝑆 ⊆ 𝑉 называется базисом пространства 𝑉 , если 1. 𝑆 линейно независимо, 2. ⟨𝑆⟩ = 𝑉 . Пример. 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 – это базис в 𝐹 𝑛 . Он называется стандартным базисом в 𝐹 𝑛 69. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства Определение. Векторное пространство 𝑉 называется конечномерным, если в нем есть конечный базис, и бес- конечномерным иначе. 70. Размерность конечномерного векторного пространства Определение. Размерностью конечномерного векторного пространства называется число элементов в (любом) его базисе. Обозначение: dim 𝑉 . 13 Пример. 1. dim 𝐹 𝑛 = 𝑛 , 2. 𝑉 = { − → 0 } =⇒ dim 𝑉 = 0 так как базисом 𝑉 будет ∅. 71. Характеризация базисов конечномерного векторного пространства в терминах единственности ли- нейного выражения векторов Утверждение. Пусть dim 𝑉 < ∞, 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 ∈ ⟨𝑉 ⟩. 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 — базис 𝑉 тогда и только тогда, когда, ∀𝑣 ∈ 𝑉 единственным образом представим в виде 𝑣 = 𝑥 1 𝑒 1 + · · · + 𝑥 𝑛 𝑒 𝑛 𝑥 𝑖 ∈ 𝐹. 72. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 𝐴𝑥 = 0 – ОСЛУ. (⋆) 𝐴 ∈ Mat 𝑚×𝑛 (𝐹 ), 𝑥 = ⎛ ⎝ 𝑥 1 𝑥 𝑛 ⎞ ⎠ ∈ 𝐹 𝑛 𝑆 ⊆ 𝐹 𝑛 – множество решений. Знаем, что 𝑆 – подпространство в 𝐹 𝑛 Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) для ОСЛУ ( ⋆ ) называется всякий базис простран- ства её решений. Замечание. У одной ОСЛУ может быть много разных ФСР. 73. Лемма о добавлении вектора к конечной линейно независимой системе Лемма. Пусть 𝑣, 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ∈ 𝑉 и 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 линейно независимы, тогда либо 𝑣, 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 линейно независимы, либо 𝑣 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ⟩ 2 Вопросы на доказательство 2.1 Операции над матрицами 1. Дистрибутивность произведения матриц по отношению к сложению 𝐴(𝐵 + 𝐶) 𝑥 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 𝑦 — левая дистрибутивность. Доказательство. 𝑥 𝑖𝑗 = 𝐴 (𝑖) (𝐵 + 𝐶) (𝑗) = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑎 𝑖𝑘 (𝑏 𝑘𝑗 + 𝑐 𝑘𝑗 ) = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 (𝑎 𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗 + 𝑎 𝑖𝑘 𝑐 𝑘𝑗 ) = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑎 𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗 + 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑎 𝑖𝑘 𝑐 𝑘𝑗 = 𝐴 (𝑖) 𝐵 (𝑗) + 𝐴 (𝑖) 𝐶 (𝑗) = 𝑦 𝑖𝑗 Правая дистрибутивность доказывается аналогично. 2. Ассоциативность произведения матриц (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) Доказательство. (𝐴𝐵) 𝑢 𝐶 = 𝑥 , 𝐴 (𝐵𝐶) 𝑣 = 𝑦 𝑥 𝑖𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑢 𝑖𝑘 · 𝑐 𝑘𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 (︃ 𝑝 ∑︁ 𝑙=1 𝑎 𝑖𝑙 𝑏 𝑙𝑘 )︃ 𝑐 𝑘𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑝 ∑︁ 𝑙=1 (𝑎 𝑖𝑙 𝑏 𝑙𝑘 𝑐 𝑘𝑗 ) = 𝑝 ∑︁ 𝑙=1 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 (𝑎 𝑖𝑙 𝑏 𝑙𝑘 𝑐 𝑘𝑗 ) = 𝑝 ∑︁ 𝑙=1 𝑎 𝑖𝑙 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 (𝑏 𝑙𝑘 𝑐 𝑘𝑗 ) = 𝑝 ∑︁ 𝑙=1 𝑎 𝑖𝑙 𝑣 𝑙𝑗 = 𝑦 𝑖𝑗 14 3. Некоммутативность произведения матриц Умножение матриц не коммутативно. 𝐴 = (︂0 1 0 0 )︂ , 𝐵 = (︂0 0 1 0 )︂ 𝐴𝐵 = (︂1 0 0 0 )︂ , 𝐵𝐴 = (︂0 0 0 1 )︂ 4. Транспонирование произведения двух матриц (𝐴𝐵) 𝑇 𝑥 = 𝐵 𝑇 𝐴 𝑇 𝑦 Доказательство. 𝑥 𝑖𝑗 = [𝐴𝐵] 𝑗𝑖 = 𝐴 (𝑗) 𝐵 (𝑖) = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑎 𝑗𝑘 · 𝑏 𝑘𝑖 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑏 𝑘𝑖 · 𝑎 𝑗𝑘 = 𝐵 𝑇 (𝑖) (𝐴 𝑇 ) (𝑗) = 𝑦 𝑖𝑗 5. Умножение на диагональную матрицу слева и справа Лемма. 𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑎 1 , . . . , 𝑎 𝑛 ) ∈ 𝑀 𝑛 =⇒ 1. ∀𝐵 ∈ Mat 𝑛×𝑝 =⇒ 𝐴𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 1 𝐵 (1) 𝑎 2 𝐵 (2) 𝑎 𝑛 𝐵 (𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2. ∀𝐵 ∈ Mat 𝑚×𝑛 =⇒ 𝐵𝐴 = (𝑎 1 𝐵 (1) 𝑎 2 𝐵 (2) . . . 𝑎 𝑛 𝐵 (𝑛) ) Доказательство. 1. [𝐴𝐵] 𝑖𝑗 = (0 . . . 0 𝑎 𝑖 0 . . . 0) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑏 1𝑗 𝑏 2𝑗 𝑏 𝑛𝑗 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑖𝑗 2. [𝐵𝐴] 𝑖𝑗 = (︀𝑏 𝑖1 𝑏 𝑖2 𝑏 𝑖𝑚 )︀ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 𝑎 𝑗 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝑏 𝑖𝑗 𝑎 𝑗 6. След произведения двух матриц tr(𝐴𝐵) = tr(𝐵𝐴) ∀𝐴 ∈ Mat 𝑚×𝑛 , 𝐵 ∈ Mat 𝑛×𝑚 Доказательство. 𝐴𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑀 𝑚 , 𝐵𝐴 = 𝑦 ∈ 𝑀 𝑛 tr 𝑥 = 𝑚 ∑︁ 𝑖=1 𝑥 𝑖𝑖 = 𝑚 ∑︁ 𝑖=1 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 (𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑗𝑖 ) = 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑚 ∑︁ 𝑖=1 (𝑏 𝑗𝑖 𝑎 𝑖𝑗 ) = 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑦 𝑗𝑗 = tr 𝑦. 15 2.2 Системы линейных уравнений 1. Эквивалентность систем линейных уравнений, получаемых друг из друга путём элементарных преобразований строк расширенной матрицы Лемма. Элементарные преобразования СЛУ не меняют множество решений Доказательство. Пусть мы получили СЛУ(⋆⋆) из СЛУ(⋆) путем применения элементарных преобразований. 1. Всякое решение системы (⋆) является решением (⋆⋆). 2. (⋆) получается из (⋆⋆) путем элементарных преобразований. (⋆) → (⋆⋆) (⋆⋆) → (⋆) Э 1 (𝑖, 𝑗, 𝜆) Э 1 (𝑖, 𝑗, −𝜆) Э 2 (𝑖, 𝑗) Э 2 (𝑖, 𝑗) Э 3 (𝑖, 𝜆) Э 3 (𝑖, 1 𝜆 ) Следовательно, всякое решение (⋆⋆) является решением (⋆) =⇒ множества решений совпадают. 2. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований строк Теорема. 1) Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к ступенчатому виду. 2) Всякую ступенчатую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к улучшенному ступенчатому виду. Следствие. Всякую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к улучшенному сту- пенчатому виду. Доказательство. 1. Алгоритм. Если M - нулевая, то конец. Иначе: Шаг 1: Ищем первый ненулевой столбец, пусть 𝑗 — его номер. Шаг 2: Переставляем строки, если нужно, добиваемся того, что 𝑎 1𝑗 ̸= 0 Шаг 3: Зануляем элементы в этом столбце используя первую строку – Э 1 (2, 1, − 𝑎 2𝑗 𝑎 1𝑗 ), . . . , Э 1 (𝑚, 1, − 𝑎 𝑚𝑗 𝑎 1𝑗 ) В результате 𝑎 𝑖𝑗 = 0 при 𝑖 = 2, 3, . . . 𝑚. Дальше повторяем все шаги для подматрицы 𝑀 ′ (без первой строки и столбцов 1, . . . , 𝑗). 2. Алгоритм. Пусть 𝑎 1𝑗 1 , 𝑎 2𝑗 2 , . . . , 𝑎 𝑟𝑗 𝑟 – ведущие элементы ступенчатой матрицы. Шаг 1: Выполняем Э 3 (1, 1 𝑎 1𝑗1 ), . . . , Э 3 (𝑟, 1 𝑎 𝑟𝑗𝑟 ) , в результате все ведущие элементы равны 1. Шаг 2: Выполняем Э 1 (𝑟 − 1, 𝑟, −𝑎 𝑟−1, 𝑗 𝑟 ), Э 1 (𝑟 − 2, 𝑟, −𝑎 𝑟−2, 𝑗 𝑟 ), . . . , Э 1 (1, 𝑟, −𝑎 1, 𝑗 𝑟 ) . В результате все элементы над 𝑎 𝑟𝑗 𝑟 равны 0. Аналогично обнуляем элементы над всеми остальными ведущими. Итог: матрица имеет улучшенный ступенчатый вид. 3. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения на подходящую матрицу Всякое элементарное преобразование строк матрицы реализуется умножением как умножение слева на подходя- щую “элементарную матрицу”. • Э 1 (𝑖, 𝑗, 𝜆) : 𝐴 ↦→ 𝑈 1 (𝑖, 𝑗, 𝜆)𝐴 , где 𝑈 1 (𝑖, 𝑗, 𝜆) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑗 1 0 0 0 0 0 𝑖 0 1 0 0 𝜆 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (на диагонали стоят единицы, на 𝑖-м 𝑗-м месте стоит 𝜆, остальные элементы нули) 16 • Э 2 (𝑖, 𝑗) : 𝐴 ↦→ 𝑈 2 (𝑖, 𝑗)𝐴 , где 𝑈 2 (𝑖, 𝑗) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑖 𝑗 1 0 0 0 0 0 𝑖 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 𝑗 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (на диагонали стоят единицы, кроме 𝑖-го и 𝑗-го столбца (на 𝑖-м 𝑗-м и 𝑗-м 𝑖-м местах стоит 1, остальные нули) • Э 3 (𝑖, 𝜆) : 𝐴 ↦→ 𝑈 3 (𝑖, 𝜆)𝐴 , где 𝑈 3 (𝑖, 𝜆) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑖 1 0 0 0 0 0 𝑖 0 𝜆 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (на диагонали стоят единицы, кроме i-го столбца, там 𝜆, остальные элементы нули) Элементарные преобразования столбцов — умножение на соответствующую матрицу справа. 4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Дана СЛУ с расширенной матрицей (𝐴 | 𝑏). Прямой ход метода Гаусса. Выполняя элементарные преобразования строк в (𝐴|𝑏), приведем 𝐴 к ступенчатому виду: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 𝑎 𝑖𝑗 1 * 𝑏 1 0 0 0 𝑎 2𝑗 2 * 𝑏 2 0 0 0 0 0 𝑎 𝑟𝑗 𝑟 𝑏 𝑟 0 0 0 0 0 0 𝑏 𝑟+1 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Случай 1 ∃𝑖 > 𝑟 + 1 : 𝑏 𝑖 ̸= 0 (в 𝐴 есть нулевая строка с 𝑏 𝑖 ̸= 0 ) Тогда в новой СЛУ 𝑖-е уравнение 0 · 𝑥 1 + · · · + 0 · 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑖 , т.е. 0 = 𝑏 𝑖 =⇒ СЛУ несовместна. Случай 2 либо 𝑟 = 𝑚, либо 𝑏 𝑖 = 0 ∀𝑖 > 𝑟 + 1 Выполняя элементарные преобразования строк приводим матрицу к улучшенному ступенчатому виду – обратный ход метода Гаусса ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 1 * 0 * 0 0 𝑏 1 0 0 0 1 * 0 0 𝑏 2 0 0 0 0 0 1 0 𝑏 3 0 0 0 0 0 0 1 𝑏 𝑟 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Неизвестные 𝑥 𝑗 1 , 𝑥 𝑗 2 , . . . , 𝑥 𝑗 𝑟 называются главными, а остальные свободными, где 𝑗 𝑖 – индексы столбцов с ведущими элементами. Подслучай 2.1 𝑟 = 𝑛 , т.е. все неизвестные – главные ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 𝑏 1 0 1 0 𝑏 2 0 0 1 𝑏 𝑟 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ↔ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥 1 = 𝑏 1 𝑥 2 = 𝑏 2 𝑥 𝑟 = 𝑏 𝑟 — единственное решение. 17 Подслучай 2.2 𝑟 < 𝑛 , т.е. есть хотя бы одна свободная неизвестная. Перенесем в каждом уравнении все члены со свободными неизвестными в правую часть, получаем выражения всех главных неизвестных через свободные, эти выражения называется общим решением исходной СЛУ 5. Связь между множеством решений совместной системы линейных уравнений и множеством ре- шений соответствующей ей однородной системы Утверждение. Пусть 𝐴𝑥 = 𝑏 – совместная СЛУ. 𝑥 0 – частное решение 𝐴𝑥 = 𝑏, 𝑆 ⊂ R 𝑛 – множество решений ОСЛУ 𝐴𝑥 = 0, 𝐿 ⊂ R 𝑛 – множество решений 𝐴𝑥 = 𝑏. Тогда, 𝐿 = 𝑥 0 + 𝑆, где 𝑥 0 + 𝑆 = {𝑥 0 + 𝑣 | 𝑣 ∈ 𝑆} Доказательство. 1. Пусть 𝑢 ∈ 𝐿 (𝑢 – решение 𝐴𝑥 = 𝑏), положим 𝑣 = 𝑢 − 𝑥 0 Тогда, 𝐴𝑣 = 𝐴(𝑢 − 𝑥 0 ) = 𝐴𝑢 − 𝐴𝑥 0 = 𝑏 − 𝑏 = 0 =⇒ 𝑣 ∈ 𝑆 =⇒ 𝐿 ⊆ 𝑥 0 + 𝑆 2. Пусть 𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 – решение 𝐴𝑥 = 0), положим 𝑢 = 𝑥 0 + 𝑣 Тогда, 𝐴𝑢 = 𝐴(𝑥 0 + 𝑣) = 𝐴𝑥 0 + 𝐴𝑣 = 𝑏 + 0 = 𝑏 =⇒ 𝑢 ∈ 𝐿 =⇒ 𝑥 0 + 𝑆 ⊆ 𝐿 Значит, 𝑥 0 + 𝑆 = 𝐿 6. Общий метод решения матричных уравнений вида 𝐴𝑋 = 𝐵 и 𝑋𝐴 = 𝐵 Два типа матричных уравнений: 1. 𝐴𝑋 = 𝐵 𝐴 и 𝐵 известны, 𝑋 – неизвестная матрица. 2. 𝑋𝐴 = 𝐶 𝐴 и 𝐶 известны, 𝑋 – неизвестная матрица. Из второго типа получается первый транспонированием матриц: 𝑋𝐴 = 𝐶 ⇐⇒ 𝐴 𝑇 𝑋 𝑇 = 𝐵 𝑇 , то есть достаточно уметь решать только уравнения первого типа. 𝐴 𝑛×𝑚 𝑋 𝑚×𝑝 = 𝐵 𝑛×𝑝 – это уравнение равносильно системе ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝐴𝑋 (1) = 𝐵 (1) 𝐴𝑋 (2) = 𝐵 (2) 𝐴𝑋 (𝑝) = 𝐵 (𝑝) Этот набор СЛУ надо решать одновременно методом Гаусса. Записываем матрицу (𝐴 | 𝐵) и элементарными преобразованиями строк с ней приводим 𝐴 к улучшенному ступенчатому виду. Получаем (𝐴 ′ | 𝐵 ′ ) , где 𝐴 ′ имеет улучшенный ступенчатый вид. Остается выписать общее решение для каждой СЛУ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝐴 ′ 𝑥 (1) = 𝐵 ′(1) 𝐴 ′ 𝑥 (2) = 𝐵 ′(2) 𝐴 ′ 𝑥 (𝑝) = 𝐵 ′(𝑝) 7. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований Факты: 1. Если ∃𝐴 −1 , то она определена однозначно. Доказательство. Пусть 𝐵, 𝐵 ′ – две матрицы, обратные к 𝐴. Тогда 𝐵 = 𝐵(𝐴𝐵 ′ ) = (𝐵𝐴)𝐵 ′ = 𝐵 ′ 2. Если 𝐴𝐵 = 𝐸 для некоторой 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛 , то 𝐵𝐴 = 𝐸 автоматически и тогда 𝐵 = 𝐴 −1 Доказательство. 𝐴𝐵 = 𝐸 =⇒ det 𝐴 det 𝐵 = 1 =⇒ det 𝐴 ̸= 0 =⇒ ∃𝐴 −1 𝐵𝐴 = 𝐸𝐵𝐴 = (𝐴 −1 𝐴)𝐵𝐴 = 𝐴 −1 (𝐴𝐵)𝐴 = 𝐴 −1 𝐴 = 𝐸. Следствие. 𝐴 −1 является решение матричного уравнения 𝐴𝑋 = 𝐸 (если решение существует). 18 2.3 Перестановки 1. Ассоциативность произведения перестановок Утверждение. Умножение подстановок ассоциативно, то есть 𝜎(𝜏 𝜋) = (𝜎𝜏 )𝜋 ∀𝜎, 𝜏, 𝜋 ∈ 𝑆 𝑛 Доказательство. ∀𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} имеем [𝜎(𝜏 𝜋)](𝑖) = 𝜎((𝜏 𝜋)(𝑖)) = 𝜎(𝜏 (𝜋(𝑖))) [(𝜎𝜏 )𝜋](𝑖) = (𝜎𝜏 )(𝜋(𝑖)) = 𝜎(𝜏 (𝜋(𝑖))) 2. Некоммутативность произведения перестановок 𝜎 = (︂1 2 3 4 4 3 2 1 )︂ , 𝜌 = (︂1 2 3 4 3 4 1 2 )︂ 𝜎𝜌 = (︂1 2 3 4 2 1 4 3 )︂ 𝜌𝜎 = (︂1 2 3 4 2 1 3 4 )︂ 3. Теорема о знаке произведения двух перестановок Теорема. 𝜎, 𝜌 ∈ 𝑆 𝑛 =⇒ sgn(𝜎𝜌) = sgn 𝜎 · sgn 𝜌. Доказательство. Для каждой пары 𝑖 < 𝑗 введем следующие числа: 𝛼(𝑖,𝑗) = {︃ 1, если {𝑖, 𝑗} образует инверсию в 𝜌 0, иначе 𝛽(𝑖,𝑗) = {︃ 1, если {𝜌(𝑖), 𝜌(𝑗)} образует инверсию в 𝜎 0, иначе 𝛾(𝑖,𝑗) = {︃ 1, если {𝑖, 𝑗} образует инверсию в 𝜎𝜌 0, иначе “число инверсий в 𝜌” = ∑︁ 16𝑖<𝑗6𝑛 𝛼(𝑖, 𝑗) “число инверсий в 𝜎𝜌” = ∑︁ 16𝑖<𝑗6𝑛 𝛾(𝑖, 𝑗) “число инверсий в 𝜎” = ∑︁ 16𝑖<𝑗6𝑛 𝛽(𝑖, 𝑗) |