Колоквиум вшэ пи алгебра линейная. Линейная алгебра, Коллоквиум i бобень Вячеслав
 Скачать 440.73 Kb.
|
|
2 )(𝑎 3 , 𝑏 3 ). 8. 1 = (1, 0). 9. (𝑎, 𝑏) ̸= 0 =⇒ 𝑎 2 + 𝑏 2 ̸= 0 . Тогда, (𝑎, 𝑏) −1 = (︁ 𝑎 𝑎 2 +𝑏 2 , − 𝑏 𝑎 2 +𝑏 2 )︁. (𝑎, 𝑏) (︁ 𝑎 𝑎 2 +𝑏 2 , −𝑏 𝑎 2 +𝑏 2 )︁ = (︁ 𝑎 2 𝑎 2 +𝑏 2 + 𝑏 2 𝑎 2 +𝑏 2 , −𝑎𝑏 𝑎 2 +𝑏 2 + 𝑏𝑎 𝑎 2 +𝑏 2 )︁ = (1, 0) Итак, C – поле. 26 Проверка свойств 1. 𝑎 ∈ R ↔ (𝑎, 0) ∈ C. 𝑎 + 𝑏 ↔ (𝑎, 0) + (𝑏, 0) = (𝑎 + 𝑏, 0) 𝑎𝑏 ↔ (𝑎, 0)(𝑏, 0) = (𝑎𝑏, 0) Значит, R отождествляется в C. 2. 𝑖 = (0, 1) =⇒ 𝑖 2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 2. Свойства комплексного сопряжения (для суммы и произведения) • 𝑧 = 𝑧. • 𝑧 + 𝑤 = 𝑧 + 𝑤. • 𝑧𝑤 = 𝑧 · 𝑤. Доказательство. • 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑧. • 𝑧 + 𝑤 = (𝑎 1 + 𝑏 1 𝑖) + (𝑎 2 + 𝑏 2 𝑖) = (𝑎 1 + 𝑎 2 ) + (𝑏 1 + 𝑏 2 )𝑖 = (𝑎 1 + 𝑎 2 ) − (𝑏 1 + 𝑏 2 )𝑖 = (𝑎 1 − 𝑏 1 𝑖) + (𝑎 2 − 𝑏 2 𝑖) = 𝑧 + 𝑤 • 𝑧 · 𝑤 = (𝑎 1 − 𝑏 1 𝑖)(𝑎 2 − 𝑏 2 𝑖) = (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 𝑏 2 ) − (𝑎 1 𝑏 2 + 𝑎 2 𝑏 1 )𝑖 = 𝑧𝑤 3. Свойства модуля комплексного числа: неотрицательность, неравенство треугольника (алгебраиче- ское доказательство), модуль произведения двух комплексных чисел Определение. Число |𝑧| = √ 𝑎 2 + 𝑏 2 называется модулем числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C (то есть длина соответствующего вектора). Свойства 1. |𝑧| > 0, причем |𝑧| = 0 ⇐⇒ 𝑧 = 0. 2. |𝑧 + 𝑤| 6 |𝑧| + |𝑤| (неравенство треугольника). Пусть 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖. |𝑧 + 𝑤| 6 |𝑧| + |𝑤| √︀ (𝑎 + 𝑐) 2 + (𝑏 + 𝑑) 2 6 √︀ 𝑎 2 + 𝑏 2 + √︀ 𝑐 2 + 𝑑 2 (𝑎 + 𝑐) 2 + (𝑏 + 𝑑) 2 6 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 + 2 √︀ (𝑎 2 + 𝑏 2 )(𝑐 2 + 𝑑 2 ) 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 6 √︀ (𝑎 2 + 𝑏 2 )(𝑐 2 + 𝑑 2 ) 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 6 √︀ (𝑎𝑐) 2 + (𝑎𝑑) 2 + (𝑏𝑐) 2 + (𝑏𝑑) 2 (𝑎𝑐) 2 + (𝑏𝑑) 2 + 2𝑎𝑐𝑏𝑑 6 (𝑎𝑐) 2 + (𝑎𝑑) 2 + (𝑏𝑐) 2 + (𝑏𝑑) 2 2𝑎𝑐𝑏𝑑 6 (𝑎𝑑) 2 + (𝑏𝑐) 2 0 6 (𝑎𝑑) 2 + (𝑏𝑐) 2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑑 0 6 (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) 2 3. 𝑧𝑧 = |𝑧| 2 𝑧𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎 2 − (𝑏𝑖) 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 = |𝑧| 2 4. |𝑧𝑤| = |𝑧||𝑤| |𝑧𝑤| 2 = (𝑧𝑤) · (𝑧𝑤) = 𝑧 · 𝑤 · 𝑧 · 𝑤 = |𝑧| 2 |𝑤| 2 4. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра Предложение. Пусть 𝑧 1 = |𝑧 1 |(cos 𝜙 1 + 𝑖 sin 𝜙 1 ) и 𝑧 2 = |𝑧 2 |(cos 𝜙 2 + 𝑖 sin 𝜙 2 ) , тогда 𝑧 1 𝑧 2 = |𝑧 1 ||𝑧 2 |(cos(𝜙 1 + 𝜙 2 ) + 𝑖 sin(𝜙 1 + 𝜙 2 )). Доказательство. 𝑧 1 𝑧 2 = |𝑧 1 ||𝑧 2 |(cos 𝜙 1 + 𝑖 sin 𝜙 1 )(cos 𝜙 2 + 𝑖 sin 𝜙 2 ) = |𝑧 1 ||𝑧 2 |((cos 𝜙 1 cos 𝜙 2 − sin 𝜙 1 sin 𝜙 2 ) + 𝑖(cos 𝜙 1 sin 𝜙 2 + sin 𝜙 1 cos 𝜙 2 )) = |𝑧 1 ||𝑧 2 |(cos(𝜙 1 + 𝜙 2 ) + 𝑖 sin(𝜙 1 + 𝜙 2 )). Следствие. В условиях предложения, предположим, что 𝑧 2 ̸= 0 Тогда 𝑧 1 𝑧 2 = |𝑧 1 | |𝑧 2 | (cos(𝜙 1 − 𝜙 2 ) + 𝑖 sin(𝜙 1 − 𝜙 2 )) 27 Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра Следствие. Пусть 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙). Тогда ∀𝑛 ∈ Z, 𝑧 𝑛 = |𝑧| 𝑛 (cos(𝑛𝜙) + 𝑖 sin(𝑛𝜙)) – формула Муавра. 5. Извлечение корней из комплексных чисел Пусть 𝑧 ∈ C, 𝑛 ∈ N, 𝑛 > 2. Определение. Корнем степени n (или корнем n-й степени) из числа 𝑧 называется всякое число 𝑤 ∈ C, что 𝑤 𝑛 = 𝑧 Положим 𝑛 √ 𝑧 := {𝑤 ∈ C | 𝑤 𝑛 = 𝑧} Опишем множество 𝑛 √ 𝑧 𝑤 = 𝑛 √ 𝑧 =⇒ 𝑤 𝑛 = 𝑧 =⇒ |𝑤| 𝑛 = |𝑧| Если 𝑧 = 0, то |𝑧| = 0 =⇒ |𝑤| = 0 =⇒ 𝑤 = 0 =⇒ 𝑛 √ 0 = {0} Далее считаем, что 𝑧 ̸= 0. 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙) 𝑤 = |𝑤|(cos 𝜓 + 𝑖 sin 𝜓) 𝑧 = 𝑤 𝑛 = |𝑤| 𝑛 (cos(𝑛𝜓) + 𝑖 sin(𝑛𝜓)) Отсюда, 𝑧 = 𝑤 𝑛 ⇐⇒ {︃ |𝑧| = |𝑤| 𝑛 𝑛𝜓 = 𝜙 + 2𝜋𝑘 , для некоторого 𝑘 ∈ Z ⇐⇒ {︃ |𝑤| = 𝑛 √︀|𝑧| 𝜓 = 𝜙+2𝜋𝑘 𝑛 , для некоторого 𝑘 ∈ Z С точностью до 2𝜋𝑙, 𝑙 ∈ Z, получается ровно 𝑛 различных значений для 𝜓, при 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛 − 1. В результате 𝑛 √ 𝑧 = {𝑤 0 , 𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛−1 } , где 𝑤 𝑘 = 𝑛 √︀|𝑧| (︁ cos 𝜙+2𝜋𝑘 𝑛 + 𝑖 sin 𝜙+2𝜋𝑘 𝑛 )︁ Замечание. Числа 𝑤 0 , 𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛−1 лежат в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат. 2.6 Векторные пространства 1. Понятие векторного пространства, шесть простейших следствий из аксиом Фиксируем поле 𝐹 (можно считать, что 𝐹 = R или C) Определение. Множество 𝑉 называется векторным (линейным) пространством над полем 𝐹 , если на 𝑉 заданы две операции • “сложение”: 𝑉 × 𝑉 → 𝑉 , (𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑥 + 𝑦. • “умножение на скаляр”: 𝐹 × 𝑉 → 𝑉 , (𝛼 ∈ 𝐹, 𝑥 ∈ 𝑉 ) ↦→ 𝛼𝑥. а также, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 и 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐹 выполнены следующие условия (называются аксиомами векторного простран- ства ): 1. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥. 2. (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧). 3. ∃ − → 0 ∈ 𝑉 : 𝑥 + − → 0 = − → 0 + 𝑥 = 𝑥 (нулевой элемент). 4. ∃ − 𝑥 : −𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + (−𝑥) = − → 0 (противоположный элемент). 5. 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦. 6. (𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥. 7. (𝛼𝛽)𝑥 = 𝛼(𝛽𝑥). 8. 1 · 𝑥 = 𝑥. Простейшие следствия из аксиом ∀𝛼 ∈ 𝐹, 𝑥 ∈ 𝑉 1. Элемент − → 0 единственный. Если − → 0 ′ – другой такой ноль, то − → 0 ′ = − → 0 ′ + − → 0 = − → 0 28 2. Элемент −𝑥 единственный. Если (−𝑥) ′ – другой такой противоположный элемент, то (−𝑥) ′ = (−𝑥) ′ + − → 0 = (−𝑥) ′ + (𝑥 + (−𝑥)) = ((−𝑥) ′ + 𝑥) + (−𝑥) = − → 0 + (−𝑥) = −𝑥. 3. 𝛼 − → 0 = − → 0 Рассмотрим равенство − → 0 + − → 0 = − → 0 . Домножив на 𝛼 получаем 𝛼( − → 0 + − → 0 ) = 𝛼 − → 0 Раскроем скобки, 𝛼 − → 0 + 𝛼 − → 0 = 𝛼 − → 0 Прибавим к обоим частям обратный элемент к 𝛼 − → 0 , получим 𝛼 − → 0 + − → 0 = − → 0 =⇒ 𝛼 − → 0 = − → 0 4. 𝛼(−𝑥) = −(𝛼𝑥). Рассмотрим равенство 𝑥 + (−𝑥) = − → 0 𝑥 + (−𝑥) = − → 0 =⇒ 𝑎𝑥 + 𝑎(−𝑥) = 0 =⇒ 𝑎(−𝑥) = −(𝑎𝑥). 5. 0 · 𝑥 = − → 0 Доказывается так же, как пункт 3, но с 0 вместо − → 0 6. (−1) · 𝑥 = −𝑥. Рассмотрим равенство 1 + (−1) = 0. Домножив на 𝑥 получаем (1 + (−1))𝑥 = 0𝑥. Раскроем скобки и воспользуемся пунктом 5 — 1𝑥 + (−1)𝑥 = 0 или 𝑥 + (−1)𝑥 = 0. Прибавим к обоим частям −𝑥, получим 0 + (−1)𝑥 = −𝑥 или (−1)𝑥 = −𝑥. 2. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством в соответствующем векторном пространстве Предложение. Множество решений любой ОСЛУ 𝐴𝑥 = 0 (𝐴 ∈ Mat 𝑚×𝑛 (𝐹 ) , 𝑥 ∈ 𝐹 𝑛 ) является подпространством в 𝐹 𝑛 Доказательство. Пусть 𝑆 – множество решений ОСЛУ Ax = 0. 1. − → 0 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ ∈ 𝑆 2. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 =⇒ 𝐴𝑥 = − → 0 и 𝐴𝑦 = − → 0 =⇒ 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 = − → 0 + − → 0 = − → 0 =⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑆 3. 𝑥 ∈ 𝑆, 𝛼 ∈ 𝐹 =⇒ 𝐴𝑥 = − → 0 =⇒ 𝐴(𝛼𝑥) = 𝛼(𝐴𝑥) = 𝛼 − → 0 = − → 0 =⇒ 𝛼𝑥 ∈ 𝑆 3. Утверждение о том, что линейная оболочка произвольного подмножества векторного пространства является подпространством Пусть 𝑉 – векторное пространство, 𝑆 ⊆ 𝑉 . Предложение. ⟨𝑆⟩ является подпространством в 𝑉 . Доказательство. 1. Два случая: 𝑆 = ∅ =⇒ ⟨∅⟩ = { − → 0 } =⇒ − → 0 ∈ ⟨𝑆⟩ 𝑆 ̸= ∅ =⇒ ∃𝑉 ∈ 𝑆 =⇒ 0𝑉 ∈⟨𝑆⟩ = − → 0 =⇒ − → 0 ∈ ⟨𝑆⟩ 2. Пусть 𝑣, 𝑤 ∈ ⟨𝑆⟩: 𝑣 = 𝛼 1 𝑣 1 + · · · + 𝛼 𝑚 𝑣 𝑚 , 𝑤 = 𝛽 1 𝑤 1 + · · · + 𝛽 𝑛 𝑤 𝑛 , где 𝑣 𝑖 , 𝑤 𝑖 ∈ 𝑆 , 𝛼 𝑖 , 𝛽 𝑖 ∈ 𝐹 Тогда, 𝑣 + 𝑤 = 𝛼 1 𝑣 1 + · · · + 𝛼 𝑚 𝑣 𝑚 + 𝛽 1 𝑤 1 + · · · + 𝛽 𝑛 𝑤 𝑛 ∈ ⟨𝑆⟩ (если 𝑣 𝑖 = 𝑤 𝑗 , то 𝛼 𝑖 𝑣 𝑖 + 𝛽 𝑗 𝑤 𝑗 = (𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑗 )𝑤 𝑗 ) 3. 𝑣 ∈ ⟨𝑆⟩, 𝛼 ∈ 𝐹 =⇒ 𝑣 = 𝛼 1 𝑣 1 + · · · + 𝛼 𝑚 𝑣 𝑚 =⇒ 𝛼𝑣 = (𝛼𝛼 1 )𝑣 1 + · · · + (𝛼𝛼 𝑚 )𝑣 𝑚 ∈ ⟨𝑆⟩ 4. Критерий линейной зависимости конечной системы векторов Предложение. Пусть 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 , 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛}, тогда следующие условия эквивалентны: 29 1. ∃(𝛼 1 , . . . , 𝛼 𝑛 ) ∈ 𝐹 𝑛 , такой что 𝛼 1 𝑣 1 + · · · + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 = − → 0 (⋆) и 𝛼 𝑖 ̸= 0 2. 𝑣 𝑖 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 , . . . , 𝑣 𝑛 ⟩ Доказательство. (1) =⇒ (2) 𝛼 𝑖 ̸= 0 в (⋆) =⇒ 𝑣 𝑖 = − 𝛼 1 𝛼 𝑖 𝑣 1 − · · · − 𝛼 𝑖−1 𝛼 𝑖 𝑣 𝑖−1 − 𝛼 𝑖+1 𝛼 𝑖 𝑣 𝑖+1 − · · · − 𝛼 𝑛 𝛼 𝑖 𝑣 𝑛 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 , . . . , 𝑣 𝑛 ⟩ (2) =⇒ (1) 𝑣 𝑖 = 𝛽 1 𝑣 1 + · · · + 𝛽 𝑖−1 𝑣 𝑖−1 + 𝛽 𝑖+1 𝑣 𝑖+1 + · · · + 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛 =⇒ 𝛽 1 𝑣 1 + · · · + 𝛽 𝑖−1 𝑣 𝑖−1 + (−1) ⏟ ⏞ ̸=0 𝑣 𝑖 + 𝛽 𝑖+1 𝑣 𝑖+1 + · · · + 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛 = − → 0 . (нетривиальная линейная комбинация с 𝑖-м скаляром ̸= 0). Следствие. Векторы 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑛 линейно зависимы тогда и только тогда, когда ∃𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛}, такое что 𝑣 𝑖 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 , . . . , 𝑣 𝑛 ⟩ 5. Основная лемма о линейной зависимости Лемма. Пусть есть две системы векторов 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 и 𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛 , причем 𝑚 < 𝑛 и 𝑤 𝑖 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ⟩ ∀𝑖 = 1, . . . , 𝑛 Тогда векторы 𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛 линейно зависимы. Доказательство. 𝑤 1 = 𝑎 11 𝑣 1 + 𝑎 21 𝑣 2 + · · · + 𝑎 𝑚1 𝑣 𝑚 = (𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 𝑚1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 𝑤 𝑛 = 𝑎 1𝑛 𝑣 1 + 𝑎 2𝑛 𝑣 2 + · · · + 𝑎 𝑚𝑛 𝑣 𝑚 = (𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ =⇒ (𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛 ) = (𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 )𝐴, (⋆) где 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) ∈ Mat 𝑚×𝑛 (𝐹 ) Так как 𝑚 < 𝑛, то ОСЛУ 𝐴𝑥 = − → 0 имеет ненулевое решение 𝑧 = ⎛ ⎝ 𝑧 1 𝑧 𝑛 ⎞ ⎠ ∈ 𝐹 𝑛 Тогда умножим ( ⋆ ) справа на 𝑧: (𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛 ) · 𝑧 = (𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ) · 𝐴 · 𝑧 ⏟ ⏞ = − → 0 = (𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ) ⎛ ⎝ 0 0 ⎞ ⎠ = − → 0 . =⇒ (𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛 ) ⎛ ⎝ 𝑧 1 𝑧 𝑛 ⎞ ⎠ = − → 0 =⇒ 𝑧 1 𝑤 1 + . . . 𝑧 𝑛 𝑤 𝑛 = − → 0 . Это нетривиальная линейная комбинация, так как 𝑧 ̸= 0. Следовательно, 𝑤 1 , . . . , 𝑤 𝑛 линейно зависимы. Пример. Любые 𝑛 + 1 векторов в 𝐹 𝑛 линейно зависимы, так как 𝐹 𝑛 = ⟨𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 ⟩ 6. Независимость числа векторов в базисе конечномерного векторного пространства от выбора базиса Предложение. 𝑉 – конечномерное векторное пространство. Тогда, все базисы в 𝑉 содержат одно и то же количество элементов. 30 Доказательство. 𝑉 конечномерно, тогда существует конечный базис 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 Пусть 𝑆 ⊆ 𝑉 – другой базис. Так как ⟨𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 ⟩ = 𝑉 , то ∀𝑣 ∈ 𝑆 =⇒ 𝑣 ∈ ⟨𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 ⟩ . Тогда любые 𝑛+1 векторов в 𝑆 линейно зависимы по основной лемме о линейной зависимости. Но 𝑆 линейно независимо, значит |𝑆| 6 𝑛. Пусть 𝑆 = {𝑒 ′ 1 , . . . , 𝑒 ′ 𝑚 } , где 𝑚 6 𝑛. Тогда ∀𝑖 = 1, . . . , 𝑛 𝑒 𝑖 ∈ ⟨𝑒 ′ 1 , . . . , 𝑒 ′ 𝑚 ⟩ , по основной лемме о линейной зависи- мости получаем 𝑛 6 𝑚. То есть 𝑚 = 𝑛. 7. Характеризация базисов конечномерного векторного пространства в терминах единственности ли- нейного выражения векторов Утверждение. Пусть dim 𝑉 < ∞, 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 ∈ ⟨𝑉 ⟩. 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 — базис 𝑉 тогда и только тогда, когда, ∀𝑣 ∈ 𝑉 единственным образом представим в виде 𝑣 = 𝑥 1 𝑒 1 + · · · + 𝑥 𝑛 𝑒 𝑛 𝑥 𝑖 ∈ 𝐹. Доказательство. =⇒ Пусть есть два представления 𝑣 = 𝑥 1 𝑒 1 + . . . 𝑥 𝑛 𝑒 𝑛 = 𝑥 ′ 1 𝑒 1 + · · · + 𝑥 ′ 𝑛 𝑒 𝑛 Тогда, (𝑥 1 − 𝑥 ′ 1 )𝑒 1 + · · · + (𝑥 𝑛 − 𝑥 ′ 𝑛 )𝑒 𝑛 = − → 0 Так как 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 линейно независимы, то (𝑥 1 − 𝑥 ′ 1 ) = · · · = (𝑥 𝑛 − 𝑥 ′ 𝑛 ) = 0 Значит, 𝑥 𝑖 = 𝑥 ′ 𝑖 ∀𝑖 ⇐= ∀𝑣 ∈ 𝑉 имеем 𝑣 ∈ ⟨𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 ⟩ Значит, ⟨𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 ⟩ = 𝑉 Для 𝑣 = − → 0 существует единственное представление − → 0 = 𝜆 1 𝑒 1 + · · · + 𝜆 𝑛 𝑒 𝑛 Но мы знаем, что − → 0 = 0𝑒 1 + · · · + 0𝑒 𝑛 Следовательно 𝛼 1 = . . . 𝛼 𝑛 = 0 , то есть 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 линейно независимо. Итог: 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 – базис 𝑉 . 8. Метод построения фундаментальной системы решений для однородной системы линейных урав- нений Приведем матрицу к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразовиями строк. (𝐴| − → 0 ) (𝐵| − → 0 ) ← улучшенный ступенчатый вид. Пусть 𝑟 – число ненулевых строк в 𝐵. Тогда будет 𝑟 главных неизвестных и 𝑛 − 𝑟 свободных. Выполнив перенумерацию будем считать что, 𝑥 1 , . . . , 𝑥 𝑟 – главные неизвестные, 𝑥 𝑟+1 , . . . , 𝑥 𝑛 – свободные. Тогда, общее решение для ( ⋆ ) имеет вид 𝑥 1 = 𝑐 11 𝑥 𝑟+1 + 𝑐 12 𝑥 𝑟+2 + · · · + 𝑐 1,𝑛−𝑟 𝑥 𝑛 𝑥 2 = 𝑐 21 𝑥 𝑟+1 + 𝑐 22 𝑥 𝑟+2 + · · · + 𝑐 2,𝑛−𝑟 𝑥 𝑛 𝑥 𝑟 = 𝑐 𝑟1 𝑥 𝑟+1 + 𝑐 𝑟2 𝑥 𝑟+2 + · · · + 𝑐 𝑟,𝑛−𝑟 𝑥 𝑛 Предъявим некоторую систему решений 𝑢 1 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑐 11 𝑐 21 𝑐 𝑟1 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , 𝑢 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑐 12 𝑐 22 𝑐 𝑟2 0 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , . . . , 𝑢 𝑛−𝑟 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑐 1,𝑛−𝑟 𝑐 2,𝑛−𝑟 𝑐 𝑟,𝑛−𝑟 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝑢 1 , . . . , 𝑢 𝑛−𝑟 ∈ 𝑆 31 Предложение. 𝑢 1 , . . . , 𝑢 𝑛−𝑟 – это ФСР для ОСЛУ ( ⋆ ). Доказательство. 1. Линейная независимость. Пусть 𝛼 1 𝑢 1 + · · · + 𝛼 𝑛−𝑟 𝑢 𝑛−𝑟 = − → 0 При любом 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛 − 𝑟}, (𝑟 + 𝑘)-я координата левой части равна 𝛼 𝑘 , значит 𝛼 𝑘 = 0 Следовательно 𝛼 1 = · · · = 𝛼 𝑛−𝑟 = 0 2. ⟨𝑢 1 , . . . , 𝑢 𝑛−𝑟 ⟩ = 𝑆 “ ⊆” Верно, так как 𝑢 1 , . . . , 𝑢 𝑛−𝑟 ∈ 𝑆 “ ⊇” Пусть 𝑢 ∈ 𝑆, тогда 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ * * 𝛼 1 𝛼 2 𝛼 𝑛−𝑟 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ для некоторых 𝛼 1 , . . . , 𝛼 𝑛−𝑟 ∈ 𝐹. Положим 𝑣 := 𝑢 − 𝛼 1 𝑢 1 − · · · − 𝛼 𝑛−𝑟 𝑢 𝑛−𝑟 Тогда, 𝑣 ∈ 𝑆, но 𝑣 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ * * 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Тогда формулы для общего решения дают 𝑣 = − → 0 Поэтому 𝑢 = 𝛼 𝑖 𝑢 1 + · · · + 𝛼 𝑛−𝑟 𝑢 𝑛−𝑟 Значит ⟨𝑢 1 , . . . , 𝑢 𝑛−𝑟 ⟩ = 𝑆 Пример. 𝐴 = (︂1 −3 0 1 0 0 1 −2 )︂ Общее решение: {︃ 𝑥 1 = 3𝑥 2 − 𝑥 4 𝑥 3 = 2𝑥 4 Тогда ФСР: 𝑢 1 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 3 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , 𝑢 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ −1 0 2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 9. Существование подмножества конечной системы векторов, являющегося базисом её линейной обо- лочки Пусть 𝑉 – векторное пространство над F. Наблюдение: если 𝑣, 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ∈ 𝑉 и 𝑣 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ⟩ , тогда ⟨𝑣, 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ⟩ = ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ⟩ Предложение. Из всякой конечной системы векторов 𝑆 ⊆ 𝑉 можно выбрать подсистему, которая является базисом в линейной оболочке ⟨𝑆⟩. Доказательство. Пусть 𝑆 = {𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 } Индукция по 𝑚. База 𝑚 = 1 : 𝑆 = {𝑣 1 } Если 𝑣 1 = − → 0 , то ⟨𝑆⟩ = { − → 0 } , значит в качестве базиса берем ∅. Если 𝑣 1 ̸= 0 , то 𝑆 линейно независимо. Cледовательно 𝑆 – базис в ⟨𝑆⟩. 32 Шаг Пусть доказано для < 𝑚, докажем для 𝑚. Если 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 линейно независимо, то 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 – это уже базис в ⟨𝑆⟩. Иначе, ∃𝑖 : 𝑣 𝑖 ∈ ⟨𝑆 ∖ {𝑣 𝑖 }⟩ Положим 𝑆 ′ := 𝑆 ∖ {𝑣 𝑖 } Тогда, ⟨𝑆 ′ ⟩ = ⟨𝑆⟩ Так как |𝑆 ′ | = 𝑚 − 1 < 𝑚 , то по предположению индукции в 𝑆 ′ можно выбрать базис для ⟨𝑆 ′ ⟩ = ⟨𝑆⟩ 10. Дополнение линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного про- странства Предложение. Пусть dim 𝑉 < ∞, тогда всякую линейно независимую систему векторов в 𝑉 можно дополнить до базиса всего пространства 𝑉 . Доказательство. Пусть 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 – данная линейно независимая система. Так как dim 𝑉 < ∞, в 𝑉 есть конечный базис 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 Рассмотрим систему векторов 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 , 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 Пройдемся по этим векторам слева направо и выбросим те, которые линейно выражаются через предыдущие (не выброшенные). При этом: 1) линейная оболочка системы сохраняется и равна ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 , 𝑒 1 , . . . , 𝑒 𝑛 ⟩ = 𝑉 ; 2) 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 останутся в системе, так как они линейно независимы; 3) в новой системе никакой вектор линейно не выражается через предыдущие. Пусть новая система - это 𝑆 ′ = {𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 , 𝑒 𝑖 1 , . . . , 𝑒 𝑖 𝑡 } Докажем, что 𝑆 ′ – базис в 𝑉 . По свойству 1) имеем, что ⟨𝑆 ′ ⟩ = 𝑉 Осталось доказать, что 𝑆 ′ линейно независимо. Пусть 𝛼 1 𝑣 1 + . . . 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 + 𝛽 1 𝑒 𝑖 1 + · · · + 𝛽 𝑡 𝑒 𝑖 𝑡 = − → 0 Предположим, что эта линейная комбинация нетривиальна. Так как 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 линейно независимы, то ∃𝑘 : 𝛽 𝑖 𝑘 ̸= 0 Выберем 𝑘 максимальным с этим свойством. Тогда, 𝑒 𝑖 𝑘 линейно выражается через предыдущие — противоречие. 11. Лемма о добавлении вектора к конечной линейно независимой системе Лемма. Пусть 𝑣, 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ∈ 𝑉 и 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 линейно независимы, тогда либо 𝑣, 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 линейно независимы, либо 𝑣 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ⟩ Доказательство. Пусть 𝑣, 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 линейно зависимы, тогда ∃(𝛼, 𝛼 1 , . . . , 𝛼 𝑚 ) ̸= (0, . . . , 0) , такой что 𝛼𝑣 + 𝛼 1 𝑣 1 + · · · + 𝛼 𝑚 𝑣 𝑚 = − → 0 . Но, так как 𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 линейно независимы, то 𝛼 ̸= 0. Значит, 𝑣 ∈ ⟨𝑣 1 , . . . , 𝑣 𝑚 ⟩ по предложению 33 |