Лекция по линейной алгебре. Матрицы. Иванюк. Линейная алгебра Матрицы, определители и системы уравнений
 Скачать 0.81 Mb.
|
Линейная алгебра: Матрицы, определители и системы уравненийПреподаватель Иванюк М.Е. САМАРА 2022 Содержание1. Матрицы и определители 2. Системы линейных уравнений 3. Элементы матричного анализа Матрицы и определители лекция №2ТЕМА 2. ПланОсновные сведения о матрицах Операции над матрицами Определители квадратных матриц Свойства определителей Обратная матрица Ранг матриц Основные сведения о матрицахЗначительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Основные сведения о матрицахматрица Элементы матрицы Индекс элемента Размерность матрицы Основные сведения о матрицахЭлемент матрицы номер столбца номер строки Основные сведения о матрицахЭлементы диагональные Основные сведения о матрицахСокращенная запись матрицы Основные сведения о матрицахПримеры матриц: Основные сведения о матрицахДве матрицы A и B одной размерности называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Например: A=B Основные сведения о матрицахС помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости
Основные сведения о матрицахТаблица распределение ресурсов по отдельным отраслям экономики. Может быть записана в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям Основные сведения о матрицахМатрица состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой Матрица состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором) - столбцом Основные сведения о матрицахЕсли amn = anm , то матрица называется симметрической. Основные сведения о матрицахМатрица называется квадратной n-го порядка, если число её строк равно числу столбцов и равно n Основные сведения о матрицахМатрица называется треугольной, если все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю Основные сведения о матрицахЕсли все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной Основные сведения о матрицахЕсли у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, обозначается Е Основные сведения о матрицахМатрица любого размера называется нулевой, или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю Операции над матрицамиНад матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций. Умножение матрицы на число; Сложение и вычитание матриц; Умножение матриц; Возведение в степень; Транспонирование матриц. Операции над матрицамиОперация умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Умножение матриц на число Операции над матрицамиСвойства умножения матриц на число: 1. (А+В) =А В 2. А() = А А 3. Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы Умножение матриц на число Операции над матрицамиСложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Сложение и вычитание определены только для матриц одинакового размера. Сложение и вычитание матриц Операции над матрицамиСуммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. Сложение и вычитание матриц Операции над матрицамиСложение и вычитание матриц Операции над матрицамиСложение и вычитание матриц Свойства операции A+B=B+A закон коммутативности (A+B)+C=A+(B+C) закон ассоциативности Операции над матрицамиСложение и вычитание матриц Разность двух матриц определяется через предыдущие операции А-В=А+(-1)В Операции над матрицамиПример: Умножение матриц на число 2А+В=? Операции над матрицамиПример: Умножение матриц на число Операции над матрицамиСложение и вычитание матриц Операции над матрицамиСложение и вычитание матриц Операции над матрицамиУмножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Тогда произведение матриц называется такая матрица , каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В Умножение матриц Операции над матрицамиУмножение матриц i=1,2,…,m; j=1,2,…,n Операции над матрицамиПример: Умножение матриц Операции над матрицамиУмножение матриц Операции над матрицамиУмножение матриц Операции над матрицамиУмножение матриц Итак, Операции над матрицамиСвойства операции коммутативность не выполняется ассоциативность левый закон дистрибутивности сложения относительно умножения правый закон дистрибутивности сложения относительно умножения Умножение матриц Операции над матрицамиДаже если произведение АВ существует, то произведение ВА может и не существовать ( пример) Даже если произведения АВ и ВА существуют, то результаты могут быть матрицы разных размерностей Умножение матриц Операции над матрицамиЕсли для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка Умножение матриц Умножение матриц Операции над матрицамиЦелой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е. Возведение в степень Операции над матрицамиСвойства операции: 1. 2. 3. 4. Возведение в степень Операции над матрицамиПример: Возведение в степень Операции над матрицамиМатрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. Транспонирование матриц Операции над матрицамиПример: Транспонирование матриц Операции над матрицамиСвойства операции 1. 2. 3. 4. Транспонирование матриц Операции над матрицамиПример: Даны матрицы и число Найти Транспонирование матриц = 2 АТВ+С Операции над матрицамиПример: = = Транспонирование матриц АТВ+С Операции над матрицамиПример: + = Транспонирование матриц = 2 АТВ+С |