Билеты к экзамену. Линейная алгебра

• Название: Линейная алгебра
• Анкор: Билеты к экзамену.docx
• Дата: 19.12.2017
• Размер: 184.67 Kb.
• Имя файла: Билеты к экзамену.docx
• Тип: Документы; #12175
• Категория: Математика

Линейная алгебра

Теория СЛАУ

1. Матрицы, действия с матрицами, обратная матрица. Матричные уравнения и их решения.

Матрица – прямоугольная таблица произвольных чисел, расположенных в определенном порядке, размером m*n (строк на столбцы). Элементы матрицы обозначаются , где i – номер строки, а j – номер столбца.

Сложение (вычитание) матриц определены только для одноразмерных матриц. Сумма(разность) матриц – матрица, элементы которой являются соответственно сумма(разность) элементов исходных матриц.



Умножение (деление) на число – умножение (деление) каждого элемента матрицы на это число.

Умножение матриц определено только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Умножение матриц – матрица, элементы которых задаются формулами:







Транспонирование матрицы – такая матрица B, строки (столбцы) которой являются столбцами (строками) в исходной матрице A. Обозначается

Обратная матрица – такая квадратная матрица X, которая вместе с квадратной матрицей A того же порядка, удовлевторяет условию: , где E – единичная матрица, того же порядка что и A. Любая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет 1 обратную матрицу. Находится с помощью метода элементарных преобразований и с помощью формулы:



Матричные уравнения – уравнения вида A*X=B есть произведение матриц, ответом на данное уравнение является матрица X, которая находится с помощью правил:

2. Линейная зависимость и независимость столбцов (строк) матрицы. Критерий линейной зависимости, достаточные условия линейной зависимости столбцов (строк) матрицы.

Система строк (столбцов) называется линейно независимой, если линейная комбинация тривиальна (равенство выполняется только при a1…n=0), где A1…n – столбцы(строки), а a1…n – коэффициенты разложения.

Критерий: для того, что бы система векторов была линейно зависма, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы линейно выражался через остальные векторы системы.

Достаточное условие:

3. Определители матрицы и их свойства

Определитель матрицы (детерминанта) – такое число, которое для квадратной матрицы A может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

, где - дополнительный минор элемента

Свойства:

• 
  =
  
• 
  При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный
  
• 
  Определитель имеющий два одинаковых ряда равен нулю
  
• 
  Если строки или столбцы линейно зависимы,
  
• 
  Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя
  
• 
  
  
• 
  Определитель не изменится если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число
  

4. Обратная матрица, алгоритм вычисления обратной матрицы.

Обратная матрица – такая квадратная матрица X, которая вместе с квадратной матрицей A того же порядка, удовлевторяет условию: , где E – единичная матрица, того же порядка что и A. Любая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет 1 обратную матрицу. Находится с помощью метода элементарных преобразований и с помощью формулы:

5. Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Критерий равенства нулю определителя матрицы. Элементарные преобразования матриц. Вычисления ранга методом элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований.

Ранг матрицы – порядок базисного минора (rg A)

Базисный минор – минор порядка r не равный нулю, такой что все миноры порядка r+1 и выше равны нулю или не существуют.

Теорема о базисном миноре - В произвольной матрице А каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Доказательство: Пусть в матрице A размеров m*n базисный минор расположен в первых r строках и первых r столбцах. Рассмотрим определитель, который получен приписыванием к базисному минору матрицы А соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца.





Отметим, что при любых   и  этот определитель равен нулю. Если  или , то определитель D содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если же  и  , то определитель D равен нулю, так как является минором (r+λ)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем: , где  — алгебраические дополнения элементов последней строки. Заметим, что , так как это базисный минор. Поэтому , где
Записывая последнее равенство для , получаем
, т.е. k-й столбец (при любом  ) есть линейная комбинация столбцов базисного минора, что и требовалось доказать.

Критерий detA=0 – Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки(столбцы) линейно зависимы.

Элементарные преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Вычисление ранга – Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк(столбцов в матрице), следовательно задача элементарных преобразований найти все линейно независимые строки (столбцы).

Вычисление обратной матрицы - Преобразования могут быть реализованы умножением на матрицу A некоторой матрицы T, которая представляет собой произведение соответствующих элементарных матриц: TA = E.

      Это уравнение означает, что матрица преобразования T представляет собой обратную матрицу для матрицы . Тогда и, следовательно,

6. Система линейных алгебраических уравнений, основные свойства СЛАУ, однородность и неоднородность, совместность и несовместность, определенность СЛАУ, матричная форма записи СЛАУ и ее решения

Система линейных алгебраических уравнений – называется система уравнений вида: , где a – коэффициенты, b – свободные члены и x – неизвестные. Упорядоченый набор - называется решением системы, если при подстановке в уравнения, все уравнения превращаются в тождество.
СЛАУ называется совместной, если она имет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной.

СЛАУ называется определенной, если она совместа и имеет единственное решение. В противном случае система называется неопределенной.

СЛАУ называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Слау можно записать в матричному виде: A*X=B, где матрица А – матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных, Х – вектор-столбец неизвестных и В – вектор-столбец свободных коэффициентов.

7. Квадратные системы, метод Крамера

СЛАУ называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Метод Крамера - Если определитель матрицы системы не равен нулю, то он имеет единственное решение и это решение находится по формуле: , где - определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов :

8. Элементарные преобразования СЛАУ. Метод Гаусса исследования СЛАУ.

Элементарные преобразования:

1. 
   Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
   
2. 
   Перестановка уравнений местами.
   
3. 
   Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
   

Метод Гаусса:

1. 
   Составить расширенную матрицу системы (A|b)
   
2. 
   Используя элементарные преобразования привести к ступенчатому виду
   
3. 
   Выяснить совместность систем (rgA=rg(A|b)
   
4. 
   Упрощение матрицы
   
5. 
   Записываем матрицу как СЛАУ
   
6. 
   Выражаем базисные переменные через выбранные свободные. Они являются ответом
   

9. Критерий совместности СЛАУ, теорема Кронекера-Капелли, геометрическая интерпретация на примере 2-х уравнений с 2-мя неизвестными.

Теорема Кронекера-Капелли: СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство: Пусть система совместна. Тогда существует такие неизвестные, что b=x1a1+…xnan. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов a1…an матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинаций других строк (столбцов) следует, что rangA=rang(A|b)

10. Однородные СЛАУ. Свойство решений, ФСР, теорема об общем решении однородной системы. Критерий существования нетривиального решения.

СЛАУ называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Однородная система всегда совместна: у нее всегда существует решение x=0, называемое тривиальным. Решение x –нетривиальное.

Свойства:

1. 
   Если х1 и х2 – два произвольных решения однородной системы, то для любых чисел L и U их линейная комбинация Lx1+Ux2 также является решением системы.
   
2. 
   Если однородная система имеет хотя бы одно нетривиальное решение, то она имеет их бесконечно много.
   
3. 
   Если rangA=n (n – количество переменных) то однородная система имеет только тривиальное решение, если же rangA=r, где С – произвольные числа.
   

Фундаментальная система решений (ФСР) – Набор линейно независимых решений однородной СЛАУКоличество элементов в ФCР=n-rangА

Критерий существования нетривиального решения – СЛАУ имеет нетривиальное решение, если rangA < количества переменных.

11. Неоднородные СЛАУ. Теорема о структуре решения неоднородной СЛАУ. Алгоритм решения неоднородной СЛАУ.

СЛАУ называется неоднородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, не равны нулю одновременно.

Теорема о решении неоднородной СЛАУ – Общее решение неоднородной совместной системы Ax=b есть сумма какого-нибудь частного решения системы и общего решения однородной системы x(OH)=x(ЧН) + x(ОО)

Доказательство: Пусть х – произвольное решение неоднородное системы Ax=b, a х(ЧН) - ее частное решение. Тогда А(x-x(ЧН))=Ax-Ах(ЧН)=b-b=0 => х-х(ЧН) – есть решение однородной системы, т.е. x=x(ЧН)+х(ОО) чтд.

2. Определение линейного (векторного) пространства. Примеры ЛП.

Линейное пространство – непустое множество V элементов произвольной природы, если для эти элементов определены операции сложения и умножения на вещественные (комплексные) числа и обладающие для любых x, y, z из множества V и любых чисел λ, u свойствами:





Cуществует нулевой элемент, такой что x+0=x

Для любого элемента x из множества V существует противоположный элемент x', такой что х+x’=0

Для любого x множества V 1*x=x







Пример: Обозначим {o}  — множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями o+o=o и λo=o. Для указанных операций cвойства выполняются. Следовательно, множество  является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости.

Элементы x1,x2,x3….xn линейного пространства V называются линейно независимыми, если из равенства λ1x1+λ2x2+…λkxk=0, cледует, что λ1=λ2=…=λk=0, где λ – любые числа.

Если λ1x1+λ2x2+…λkxk=0 справедливо, однако не все λ равны 0, то элементы из линейного пространства V – линейно зависимы.

Критерий линейной зависимости – Элементы x линейного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из элементов является линейной комбинацией остальных.

Пусть один из элементов – линейная комбинация остальных, т.е. имеет место равенство x1=b2x2+b3x3…+bkxk

Так как среди чисел b по крайней мере одно отлично от нуля, то согласно определению элементы x1, x2… xk – линейно зависимы.

5. Достаточные условия линейной зависимости и линейной независимости систем векторов ЛП. Примеры линейно независимых систем в пространствах строк, многочленов, матриц.

1. 
   Если среди элементов x1,x2,…xk имеется нулевой, то элементы x1, x2,…xk линейно зависимы. Без ограничения общности можно считать, что x1=0. Тогда λ1x1+λ2x2+…λkxk=0 справедливо при λ1=1, λ2…λk=0
   
2. 
   Если в системе элементов x некоторая подсистема элементов линейно зависима, то и вся система x линейно зависима. Пусть для определенности элементы х линейно зависимы, т.е. справедливы равенства λ1x1+λ2x2+…λkxk=0 при λ не равном 0. Тогда с теми же числами λ1,λ2,…λλ и λλ+λ1 = … λk=0.
   
3. 
   Если вся система элементов линейно независима, то и любоая подсистема элементов линейно независима. Предполагая линейную зависимость подсистемы элементов, согласно предыдущему свойству получаем, что и вся система элементов линейно зависима, что противоречит условию.
   

Примеры:

1. 
   В пространстве A элементы e1…k – cтрочки единичной матрицы 4х4 линейно независимы. Действительно, линейная комбинация элементов e1..k с числами λ1…k представляет собой элемент λ1e1+λ2e2+…λkek=(λ1,λ2,…λk), который является нулевым только при условии λ1=λ2=…=λk=0. А это значит линейную независимость элементов e1…k
   
2. 
   В пространстве Pn(t) многочленов степени, не превышающей натурального числа n, элементы 1,t,t^2,…t^n линейно независимы. Действительно, то, что линейная комбинация этих элементов с коэффициентами λ0,λ1,λ2…λn равна нулевому элементу, означает что многочлен λ0+λ1t+λ2t^2+…λnt^n тождественно равен 0. Для любого k=1…n, дифференцируя последнее равенство по t k раз и подставляя t=0, получим k! λk=0. Это и и означает что 1, t, t^2, … t^n линейно независимы.
   
3. 
   В пространстве Mmn всех матриц порядка m*n матрицы Еij, (E0 матрица, у которой элемент, состоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца равен 1, а все остальные элементы равны 0) линейно независимы. Действительно, линейная комбинация элементов E0 с числами λij представляет собой матрицу элементов λ, которая является нулевой только при условии λij=0, где i=1…m; j=1…n;
   

6. Базис и размерность ЛП. Свойство базисных элементов, координаты суммы двух векторов и произведение вектора на число. Теорема о связи базиса и размерности ЛП. Примеры базисов в ЛП строк, многочленов, матриц.

Размерность пространства - dimV=n количество линейно независимых элементов в линейном пространстве, таких что, любые n+1 элементы линейно зависимы.

Базис пространства – упорядоченная совокупность элементов линейного пространства, если она линейно независимая и для любого элемента данного пространства найдутся числа, такие, что справедливо равенство: . Такое представление называется разложением элемента по базису, а числа компонентами (координатами) элемента в данном базисе.

Для любого элемента линейного пространства координаты в данном базисе определяются единственным способом.

Док-во: Допустим, что в пространстве для элемента существует два разложения по базису. Вычитывая из первого второе, получаем ( Так как e1,e2,…en линейно независимы, то из последнего равенство следует чтд

Теорема … - Пусть в конечномерном пространстве задан некоторый базис. Тогда при сложении любых элементов пространства, координаты их (относительного этого базиса) складываются: при умножении любого элемента из пространства на число λ все координаты умножаются на λ.

Док-во : Утверждение теоремы следует из аксиом линейного пространства и определения базиса.

Теорема о связи базиса и размерность –

А) Если V – конечномерное простраснтво размерности n, то всякие n линейно независмых элементов пространства образуют базис этого пространства.

Б) Если в линейном пространстве имеется базис, состоящий из n элементов, то размерность пространства равна n.

Док-во:

А) Пусть e1…n – произвольная линейно независимая система элементов пространства. Если х – произвольный элемент пространства, то согласно определению размерности элементы e1…n, x линейно зависимы, т.е. существуют числа λ1…n не все равные нулю, такие, что λ1e1+λ2e2+…λnen=0. Из теоремы выше следует, что λn+1 и следовательно, x=, где . Так как х – произвольный элемент пространства, то последнее равенство доказывает первую часть теоремы.

Б) пусть e1…n – базис пространства. Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что любые n+1 элементы x1…n+1 линейного пространства линейно зависимы. Разложим каждый элемент из системы х по базису e. Рассматривая матрицу A координат вектора x в базисе е очевидно, что rangAn. Следовательно по теореме о базисном миноре строки данной матрицы линейно зависимы, т.е. существуют такие числа λ , что , где a – координаты вектора х в базисе e. Умножая каждое xi из первомого разложения на λi, i=1…n+1 и суммируя по i получаем

Учитывая равенство что , получаем , причем

Следовательно x1…n – kинейно зависимы. Чтд

Примеры: В пространстве A^n элементы е1…n являющиеся строками единичной матрицы линейно независимы. Кроме того, для любого х=(Следовательно, элементы e1…n являются базисом пространства A^n по определению.

В пространстве Pn(t) – многочленов степени, не превышающей натурального числа n элементы e1=1, e2=t, en+1=t^n линейно независимы. Кроме того, для любого многочлена Pn(t)=a1e1+a2e2+…anen+1. Следоватльно, многочлены e1=1, e2=t, en+1=t^n образуеют в пространстве Pn(t) базис и dimPn(t)=n+1

В пространстве Mmn всех матриц порядка m*n матрицы Eij образуют базис, так как они линейно независимы и для любой матрицы A=[aij] имеет место разложение . Следовательно dimMmn=mn

7. Изоморфизм ЛП. Критерий изоморфности ЛП.

Два комплексных (вещественных) линейных пространства V и V’ называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором сумме векторов пространства V будет отвечать сумма соответствующих векторов пространства V', а произведению какого-либо числа λ на вектор пространства V будет отвечать произведение того же числа на соответствующий вектор пространства V’

Критерий: Если V и V’ – конечномерные линейные пространства, то V и V’ изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность.

8. Подпространство ЛП и линейные оболочки систем векторов. Размерность линейной оболочки.

Множество L элементов линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V если выполняется следующее условие: для любых чисел λ, u и любых элементов x и y из L элемент λx+uy также принадлежит L.

Пусть x1,x2,..xm – совокупность элементов линейного пространства V. Множество всевозможных линейных комбинаций вида a1x1+a2x2+….+amxm (a1,a2,..am – произвольные числа) называется линейной оболочкой данной системы элементов и обозначается символом L(x1,x2,…,xm)

Теорема: Размерность линейной оболочки L(x1,x2,…,xm) равна максимальному числу линейно независимых элементов в системе x1,x2…xm.

Док-во: Пусть максимальное число линейно независимых элементов в системе x1, x2,…, xm равно k(k. Без ограничения общности можно считать, что элементы x1,x2,…xk линейно независимы. Тогда любой из элементов x(k+1),x(k+2)…xm представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов x1,x2,…xk. Так как любой элемент h линейной оболочки L(x1,x2,..,xm) по определению представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов x1, x2,…xk…xm, то в силу только что отмеченного свойства элементов xk+1, xk+2… xm указанный элемент h является линейной комбинаций одних только элементов x1,x2,….xk. Но это означает, что система линейно независимых элементов x1,x2…xk образует базис подпространства L(x1,x2…xm) и справедливость теоремы следует из теоремы о связи между понятиями базиса и размерности линейного пространства. Чтд

9. Теорема о пополнении базиса

Пусть система e1,e2,…ek (k) n-мерного линейного пространства V линейно независима. Тогда существуют элементы ek+1,…en пространства V, такие, что система элементов e1,e2,…ek, ek+1,…en образуют базис пространства V.

Док-во: При k=n утверждение теоремы очевидно. Пусть k. Тогда существует элемент ek+1 пространства V, не принадлежащий линейной оболочке L(x1,x2,…xk). Из определения подпространства следует, что элементы e1,e2,…ek,ek+1 линейно независимы. Если k+1=n, то теорема доказана. Если же k+1, то повторяя рассуждение получаем ek+2 для которого e1,e2,…ek+2 линейно независимы. Продолжая процесс через n-k шагов, построим все элементы ek+1,….en такие, что e1,e2,…ek,ek+1,….,en образуют базис всего пространства V. Чтд.

10. Пересечение и сумма подпространств, прямая сумма подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.

Пусть в линейном пространстве V заданы два подпространства U1 и U2. Пересечением подпространств называется совокупность U0=U1 элементов, входящих одновременно в U1 и U2.

Суммой подпространств U1 и U2 операция суммы называется совокупность U’=U1+U2 элементов, представимых в виде: x=x1+x2, где x1 элемент Ui.

Прямой суммой подпространств своих подпространств L1,…Ln является пространство L, если каждый вектор λ принадлежит L однозначно представляется в виде

Теорема Если U1 и U2 – подпространства V, то dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1.

11. Подпространство решений однородной СЛАУ, его размерность и базис. Выражение общего решения однородной СЛАУ через ФСР.

Множество решений системы линейных однородных уравнений с n переменными есть линейное подпространство арифметического пространства Аn .

Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений равна n – r, где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы

Базис пространства решений системы линейных однородных уравнений называется её фундаментальной системой решений.

Если а – частное решение линейной неоднородной системы уравнений и а1, а2, …, аn–r – фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений, то общее решение данной неоднородной системы имеет вид

d = а + С1а1 + С2а2 + … + Сn–r аn–r , где С1, С2, … , Сn–r – любые элементы поля Р.

(Иными словами, общее решение системы линейных неоднородных уравнений равно сумме частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы.)

12. Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому и ее свойства. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.

Пусть в линейном пространстве заданы два базиса: e = (e₁, e₂, …, e_n) (назовём его старым базисом) и = (e₁', e₂', …, e_n') (назовём его новым базисом).

Разложим векторы базиса e^'по базису e:

Матрицу Т= называют матрицей перехода от базиса e кбазису . Равенства в матричном виде удобно записывать так: =е·Т.

Свойства: , Матрица перехода невырожденная(квадратная, определитель не 0).

Преобразование координат: Пусть в линейном пространстве заданы базисы e=(e1,e2,…,en) и =(e1',e2', …,en') с матрицей перехода Т от базиса е к базису e', т.е. верно =еТ (2). Вектор а имеет в базисах е и координаты [a]e=, [a]e’=,

a=e*[a]e=(e1,e2,…en) и a=e’[a]e’=(e1’,e2’,….en’).

Тогда с одной стороны, а=е*[a]e, а с другой стороны а= e’[a]e’=(еТ)[a]e’

Из этих равенств получаем: а=e[a]e=е(Т[a]e'). Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису е вытекает равенство [a]e = Т[a]e' (3), или

=Т (4). Соотношения (3) и (4) называют формулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства.

1. Определение и примеры линейных операторов, линейные отображения и линейные преобразования

Пусть X и Y – линейные пространства. Оператором А, действующим из X в Y, называется правило (закон), ставящее каждому элементу x единственный элемент y. Результат применения оператора A к элементу х обозначается символом y=A(x). Элемент x называется прообразом элемента y=A(x)

Оператор А, действующий из X в Y, называется линейным, если для любых элементов x1 и х2 пространства Х и любых комплексных (вещественных) чисел a1 и a2 выполняется соотношение:

Примеры:

- В пространстве V свободных векторов оператор А зададим равенством: , для любого , где – фиксированный вектор пространства V. Линейность этого оператора следует из свойств векторного произведения.

- В пространстве Mn многочленов степени оператор А зададим равенством: для любого P(t)Mn. Линейность этого оператора (оператора дифференцирования) следует из линейности операции дифференцирования.

Пусть V и W – два линейных пространства, тогда отображением A:V W называется линейным, если для любых x, yV и a,b

Линейное преобразование А пространства V, есть закон, по которому каждому вектору x из A соответствует вектор x' из того же пространства. Вектор x' называется образом вектора x и обозначается A(x) , а вектор x называется прообразом вектора x' .

2. Матрица линейного оператора, нахождение координат образа вектора

Пусть A:V W- линейное отображение n-мерного пространства V в m-мерное пространство W. Зафиксируем в пространстве V произвольный базис e1…n, а в пространстве W базис f1…n. Линейное отображение одозначно задается образами базисных векторов. Разложим образы A(ei) базис векторов e по базис f: Из координатных столбцов веткоров A(e1),…,A(en) относительно базиса (f) составим матрицу размером m*n A= - она называется матрицей линейного отображения А в базисах (e) и (f). Обозначают

Нахождение координат образа вектора: если в базисе ( имеет координатный столбец X= f – линейный оператора с матрицей А в данном базисе, Y=- координаты столбец вектора , то Y=AX (

3. Действия с линейными операторами. Линейное пространство ЛО

Действия:

1. 
   Линейный оператор А: X->Y, нулевой элмент Ox пространства X переводит в нулевой элемент Oy, пространства Y. AOx=Oy
   
2. 
   Два линейных оператора А и В: X->Y называются равными, если для любого x из X справедливо Ax=Bx
   
3. 
   Суммой двух линейных операторов А и В: X->Y называется оператор A+B, такой, что для любого х из Х справедливо (A+b)x=Ax+Bx
   
4. 
   Произведением линейного оператора A на число λ, называется оператор λA, такой, что для любого x из Х: (λA)x=λ(Ax)
   

Свойства: если A, B, а Ае и Be – соответственно их матрицы в базисе {e}, то: λ(AB)=(λA)B; (A+B)C=AC+BC; A(B+C)=AB+AC; (AB)C=A(BC)

Линейное пространство: Обозначим L(L,L’) множество всех линейных операторов, действующих из L -> L’. В этом множестве введем операции сложения, умножения линейных операторов и умножения на действительное число. Таким образом, относительно введеных нами действий множество L(L,L’) замкнуто. И по аксиомам линейного пространство, относительно этих действий множество является линейным пространством.

4. Теорема об изоморфности множества линейных преобразований множеству квадратных матриц

Из утверждения о том, что любому оператору A можно поставить в соотвествие матрицу Ае в базисе [e], причем она будет определена единственным образом, а также из свойств действий с этими матрицами следует, что пространство L(Vn) изоморфно пространству квадратных матриц порядка n, размерность которого равна n^2. dimL(Vn)=n^2

5. Матрица произведения линейных преобразований. Примеры нахождение матриц операторов.

Пусть произведением линейных преобразований  и  является преобразование , определяемое равенством () = (а ), то есть получающееся в результате последовательного применения преобразований  и .

Тогда Матрица произведения линейных преобразований в любом базисе равна произведению матриц этих преобразований в том же базисе:

=> е(j y) = (АВ)е

Примеры: 1) Пусть А – оператор поворота плоскости на угол f, а вектора e1 e2 – ОНБ на плоскости. Очеивдно, что Ae1=cosfe1+sinfe2, Ae2=-sinfe1+cosfe2. Следовательно,

2) Пусть Mn – пространство многочленов степени . Рассмотрим в нем оператор дифференцирования А: . Выберем в пространстве Mn базис e1=1, e2=t, e3=t^2… en=t^n-1. Тогда Ae1=0, Ae2=1=e, Ae3=2t=e2e2…. Aen=(n-1)t^n-2=(n-1)en-1. Следовательно матрица оператора А в этом базисе имеет вид:

6. Определение и свойства обратного оператора, его матрица.

Если для оператора A существует , что AB=BA=1, то B называется обратным по отношению к A, а оператор А называется обратимым. Обозначается

Свойства: если для оператора А существует обратный, то:

1. 
   L(X), т.е. - тоже линейный.
   
2. 
   определен однозначно.
   

Матрица обратного оператора в любом базисе е есть обратная матрица к матрице Ае

7. Критерий обратимости линейного оператора. Примеры обратимых и необратимых операторов.

Критерий: Оператор обратим тогда и только тогда, когда А действует взаимно однозначно в Vn

Примеры (док-во достаточности):

1) Пусть оператор А действует взаимно однозначно в Vn. Тогда согласно критерию обратимости для каждого yVn существует элемент x, такой, что y=AX. Таким образом, каждому элементу y ставится в соответствие элемент x т.е. определен оператор В: х=By, причем y=Ax=A(By)=(AB)y для любого . Отсюда согласно определению равенства операторов получим AB=I. Аналогично подставляя получаем x=By=B(Ax)=(BA)x для любого . Следоватльно BA=I7 Из этого следует, что оператор А обратим.

8. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

Пусть в линейном пространстве Vn задан линейный оператор А и два базиса e и e’. Обозначим: Т – матрица перехода от базиса е к базису е’, а Ae и Ae’– матрицы оператора А в базисах e и e’.

Тогда, записывая равенство y=Ax для произвольного х в матричном виде в базиса [e] и [e’] получаем: [y]=Ae[x], [y’]=Ae’[x’], где x и x’ координатные столбцы одного и того же вектора х соответственно в соответствующих базисах. Из последнего равенства получим T[y’]=[y]=Ae[x]=AeT[x’], откуда [y’]=.

Так как [y’]=Ae’[x’], то Ae[x']=. Из этого равенства, так как х – произвольный, имеем Ae’= - формулу изменения матрицы при переходе из одного базиса в другой.

9. Определитель и характеристический многочлен линейного оператора, их инвариантность по отношению к преобразованиям базиса.

Многочлен – называется характеристическим многочленом оператора А. Уравнение – харктерестическим уравнением.

Теорема об инвариантности: Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса (одинаков для всех базисов).
Док-во: Пусть в пространстве Kn дан линейный оператор  и даны два базиса (u) и (v). Пусть также C − матрица перехода от первого базиса ко второму. Соответственно матрицы нашего линейного оператора в этих двух базисах обозначим A =  и B = . Тогда det (B − λE) = det (C−1AC − C−1(λE)C) = det (C−1(A − λE)C) = det C−1det (A − λE)det C = det (A − λE), чтд.

10. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о сумме размерностей ядра и образа. Нахождение ядра и образа линейного оператора в фиксированном базисе. Ранг и дефект линейного оператора.

Ядром ЛО A называется мн-во всех элементов Х пространства V для которых A=0 (kerA).

Образом оператора называется множество всех векторов y таких, что у=Ax, xX. (ImA)

Теорема: Пусть А – произвольный линейный оператор, действующий в n-мерном пространстве Vn, т.e. A. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора А равна размерности всего пространства, т.е. dim(ImA)+dim(KerA)=n

Нахождение ядра и образа: Ядро - это подпространство, которое составят те вектора, которые оператором отсылаются в 0. Суть решения сводится к решению СЛАУ: Ax = 0, находятся ее фундаментальные наборы решений. Они и будут коэффициентами разложения x = k1*e1 + .+ kn*en, где e1 ...en - базисные вектора. 

Образ – Необходимо привести к ступенчетому виду матрицу . Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом пространства ImA, а число его строк – размерность.

Размерность подпространства ImA называется рангом оператора A (RangA=dim(ImA))

Размерность подпространства KerA называется дефектом оператора А.

11. Теорема инвариантности ядра и образа ЛО А относительно перестановочного с ним ЛО В

Образ ImA и ядро KerA оператора A являются инвариантными подпространствами.

Док-во: В самом деле, если x, то в силу определения образа и Ax. Далее, если x, то и Ax=Z чтд

12. Собственные значения (числа) и собственные векторы линейного оператора. Спектр ЛО. Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов. Свойства собственных векторов линейного оператора.

Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного оператора f: Vn -> Vn , если существует λ  (λ для комплексного Vn), такое, что   

Число λ называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

Собственные числа λ линейного оператора f: Vn -> Vn  - корни характеристического уравнения , где aij – матрица оператора f, а -символ Кронекера. 

Спектром ЛО называется множество всех его собственных значений.

13. Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений и их взаимосвязь.

Алгебраическая кратность собственного числа - его кратность, как корня характеристического многочлена.

Геометрическая кратность собственного числа - размерность его собственного подпространства ker(A- λI).

Из критерия собственного значения следует, что геометрическая кратность собственного числа строго положителя., а так же то, что геометрическая кратность не превосходит алгебраическую. Отсюда следует, что если алгебраическая кратность равно 1, то геометрическая тоже равна 1.

14. Критерий диагонализируемости матрицы линейного оператора, достаточные условия диагонализируемости линейного оператора.

Критерий: Матрица Ае оператора А L(Vn) в базисе [e} имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда базисные вектора e1,e2,…en являются собственными векторами оператора А. При это матрица Ае в базисе из собственных векторов имеет вид: , где λ – собственные значения оператора А:

Док-во: Достаточность. Если базис [e] состо из из собственных векторов оператора А, т.е. Aek = λkek, то согласно определению матрицы линейного оператора имеет Ae – диагональную матрицу из λ1…n..

Необходимость. Пусть матрица Ау линейного оператора А в данном базисе [e] имеет вид диагональной матрицы из λ1…n. Тогда очевидно, для любого i=1….n Аei = λiei, те e1,e2,…en – собственные вектора а λ1,λ2,λ3….λn – собственные значения оператора А. Чтд.

15. Теорема Гамильтона-Кэли

Многочлен p(λ) переменной λ называется аннулирующим для квадратной матрицы A, если при подстановке в многочлен матрицы A вместо переменной λ получаем нулевую матрицу, т.е. p(A)=O.

Для любой квадратной матрицы А многочлен называется характеристическим.

Теорема: Характеристический многочлен матрицы является аннулирующим для нее, т.е. 

Док-во: Обозначим через  матрицу, присоединенную к характеристической матрице . Тогда из теоремы следует

Правые части этих равенств можно рассматривать как многочлены с матричными коэффициентами (каждый коэффициент характеристического многочлена умножается на единичную матрицу). Из равенства выше следует, что λ-матрица  делится на (A-λE) слева и справа без остатка, т.е. остаток равен нулевой матрице. По обобщенной теореме Безу остаток равен левому и правому значениям многочлена при подстановке матрицы A вместо A. Отсюда получаем=0, т.е. , что и требовалось доказать.