|
|
11 класс алгебра — копия. Линейные однородные дифферециальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
9ПОУРОЧНЫЙ ПЛАН
Раздел:
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
|
ФИО педагога
|
Амантаев В.А
|
Дата:
|
12.04.2023
|
Класс:
|
Количество присутствующих:
|
Количество отсутствующих:
|
Тема урока:
|
Линейные однородные дифферециальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
|
Цели обучения в соответствии
с учебной программой:
|
11.4.1.25. Решать линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка вида ay′′ + by′ + cy = 0, где a, b, c – постоянные
|
Цели урока:
|
Отработать знания и умения а также решение задач на линейные однородные дифферециальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
|
Ходурока
Этапурока/ Время
|
Действия педагога
|
Действияученика
|
Оценивание
|
Ресурсы
|
Приветствие, создание коллаборативной среды/ 2 мин
|
Приветствие со школьниками, определение отсутствующих. Сообщение темы и цели урока, ожидаемых результатов.
|
Принимают участие в постановке темы (цели) урока. Осмысливают поставленную цель.
|
|
|
Актуализация знаний/ 5 мин.
Проверка домашнего задания
|
Повторения пройденного материала по стратегии «Я знаю, что…..»
Корни уравнений
|
Говорят, что знают по теме урока
Взаимопроверка
|
ФО
Похвала учителя
|
|
Середина урока
35 минут
|
Данные уравнения имеют вид:
 , (1)
где p и q –постоянные числа
Определение
Два решения уравнения (1)  и  называются линейно независимыми на отрезке  ,если их отношение на данном отрезке не является постоянным, т.е. на 
Теорема ( Об общем решении ЛОДУ)
Если  и  –два линейно независимых решения уравнения (1), то линейная комбинация
 , (2)
где  и  –произвольные постоянные, является его общим решением.
Характеристическое уравнение
Для нахождения общего решения (2) следует найти два линейно независимых частных решения. Будем искать их виде  (  ); тогда  ,  , подставим эти выражения в (1), получим  , откуда следует:
 (3)
-характеристическое уравнение, его корни:
 ;  (4)
Случаи решения характеристического уравнения:
I. корни  и –действительные и различные (D
II. корни = –равные действительные (D=0)
III корни и –комплексные (D<0);
Рассмотрим каждый случай отдельно.
I. Корни характеристического уравнения действительные и различные ( ).
Частными решениями будут функции  , 
Они линейно независимы, т.к. 
Следовательно, общее решение имеет вид: 
II. Корни характеристического уравнения действительные и равные ( )
Это будет при D=0 , т.е.  .
В качестве первого частного решения возьмём  . Покажем, что в этом случае в качестве второго линейно независимого решения можно взять  . Подставим его в уравнение (1). Сначала найдём производные:
 ; 
Подставим в (1):
 , т.к.
 и 
Итак, в случае общее решение уравнения (1) имеет вид
 (8)
IІI. Корни характеристического уравнения комплексные
 ;  , ( ).
Частные решения:  ;  , или
 ;  (5)
Покажем, что если некоторая комплексная функция  является решением уравнения (1), то каждая из действительных функций u(x) и v(x) тоже будет решением уравнения (1). для этого подставим его в уравнение (1):
  .
Значит, в качестве частных решений уравнения (1) можно взять отдельно действительные и мнимые части решений (5):
 ;  ,
В этом случае общее решение уравнения (1) можно представить в виде
 , (6)
где и -произвольные постоянные.
Важным частным случаем решения (6) является случай, когда в уравнении (1) p=0 и q
 , (q
При этом характеристическое уравнение  (q  и общее решение (6) приобретает вид
 (7)
Примеры:
Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
1)
Характеристическое уравнение:  ;  . Имеем первый случай. Общее решение: 
2)  D<0. Второй случай.  
Общее решение: 
3) . Случай мнимых корней:  
Общее решение: 
4) . D=0, третий случай ; 
Общее решение: 
5) первый случай  
Общее решение: 
6) второй случай   .  ;  .
Общее решение: 
7)   
Общее решение: 
8)   
Общее решение: 
Самостоятельное работа
Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений.
Задание 1. 
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
 
 
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(1), имеет вид:
Ответ:
Задание 2. 
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:
Ответ:
Задание 3.  .
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:
Ответ:
Задание 4 . 
Составим характеристическое уравнение:
Это третий случай, где 
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:
Ответ:
Задание 5.Найти частное решение дифференциального уравнения  , если у(0)=1 и  .
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:
Так как заданы начальные условия, то:
Чтобы найти значение  , дифференцируем общее решение.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
Ответ:
Решите дифференциальное уравнение: y′′+4y′+5y=0.
№2.Решите уравнение: y′′+25y=0.
№3. Найдите общее решение уравнения и выполните проверку:
№4. Решите дифференциальное уравнение: 
№5. Решите дифференциальное уравнение:
№6.Найдите общее решение уравнений .
№7. Решите однородное дифференциальное уравнения второго порядка:
№8. Найти часное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальное условиям: , .
Задания: 28.1, 28.2, 28.3, 28.4, 28.5, 28.6, 28.7
|
Внимательно слушает и высказывает свое мнение
Внимательно слушает и анализирует объясняемый материал
|
Устный комментарий учителя
Похвала учителя
Взаимооценивание
|
Презентация
|
Конец урока Рефлексия/3 мин.
Запись домашнего задания
|
Сегодня на уроке мне понравилось…
Сегодня на уроке я повторил…
Сегодня на уроке я закрепил…
Сегодня на уроке я поставил себе оценку …
Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…
В каких знаниях уверен…
Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…
Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…
Насколько результативным был урок сегодня…
|
производят рефлексию по пройденной теме по стратегии «незаконченные фразы»
записывают домашнее задание
|
Комментирует домашнее задание
|
| |
|
|
Скачать 1.61 Mb.