Главная страница
Навигация по странице:

  • Определение логарифмического уравнения

  • Решение простейших уравнений

  • Уравнения вида

  • Уравнения вида Alog

  • Упражнения для закрепления материала

  • Контрольные вопросы 1. Сформулировать определение логарифмического уравнения.2. Назвать основные методы решения логарифмических уравненийЛитература

  • лекция. Лекция по математике тема_ _Логарифмические уравнения_. Логарифмические уравнения


    Скачать 55.37 Kb.
    НазваниеЛогарифмические уравнения
    Анкорлекция
    Дата07.11.2022
    Размер55.37 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаЛекция по математике тема_ _Логарифмические уравнения_.docx
    ТипЛекция
    #774321

    Лекция

    Тема: Логарифмические уравнения

    План

    1. Определение логарифмического уравнения

    2. Решение простейших уравнений

    3. Потенцирование.

    4. Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

    5.Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.

    6. Введение новой переменной
    Определение логарифмического уравнения

    Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида loga x = b (где а>0, и а ≠1).

    Функция у=log a x является возрастающей (или убывающей) на промежутке

    (0; +∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне) для любого b это уравнение имеет корень, и только один.

    Решение простейших уравнений

    Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

    log a x = b, a > 0, a  1.

    log a f(x) = b, a > 0, a  1.

    logf(x)b = c,b> 0.

    Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:

    если logb a = c, то a = bc.

    Пример 2.1.

    Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

    Ответ: x = 8.

    Уравнения вида logaf(x) = b, a> 0, a ≠ 1.

    Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе



    Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

    Пример 2.2. log3(5х – 1) = 2.

    Решение: ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5. log3(5х– 1) = 2, log3(5х – 1) = log332, 5х - 1 =9,
    х = 2. Ответ: 2.

    Пример 2.3.



    Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 – 2х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:



    Применим правила действий со степенями, получим 2х2 – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 – 2х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

    Ответ. х1 = –1, х2 = 2.

    Уравнения вида logf(x) b = с, b> 0.

    Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе



    Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения



    проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

    Пример 2.4. logx–19 = 2.

    Решение. Данное уравнение равносильно системе

    Ответ. x = 4.

    Потенцирование.

    Суть метода заключается в переходе от уравнения

    log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно

    не равносильно исходному.

    Уравнения вида logaf(x) = logag(x) , а > 0, а 1.

    На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

    Переход от уравнения logaf(x) = logag(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.

    Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

    Пример 3.1 log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).

    Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств



    Потенцируя данное уравнение, получаем х2 – 3х – 5 = 7 – 2х,

    х2х – 12 = 0, откуда х1 = –3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = –3.


    Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

    Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

    • logb a + logb c = logb (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,

    • logb a – logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,

    • m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b  1; mR.

      Пример 4. 1. log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).

    Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств



    Применяя преобразования, приходим к уравнению

    log6 (x – 1) + log6 (5x + 3) = 2,

    log6 ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

    (х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.

     Пример 4.2.

    Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство

    (3x – 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

    Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма

    (х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.

    Ответ. х = –4.

     Пример 4. 3. log2 (6 – x) = 2log6 x.

    Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 – x = x2, откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.

    Ответ. х = 2.


    Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.

    Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:









     

    Пример 5.1.

    Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим

    Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9. Ответ. x = 10/9.

      Пример 5.2.

    Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4). Ответ. х = 6.

      Пример 5. 3.

    Решение. Область определения уравнения x > –1, x  0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

    Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1)  0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)–1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и

    x= 2. Ответ. x= 2..

    Введение новой переменной

    Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.





    Уравнения вида где a > 0, a  1, A, В, Сдействительные числа.

    Пусть t= logaf(x), tR. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.

    Решив его, найдём х из подстановки t= logaf(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенствуf(x) > 0.

    Пример 6. 1. lg 2 x – lg x – 6 = 0.

    Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, tR.

    Уравнение примет вид t 2t – 6 = 0. Его корни t1 = –2,t2 = 3.

    Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

    х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.

    Пример 6. 2.

    Решение. Найдём область определения уравнения



    Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

    Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно

    Введём новую переменную t = log3 (–x), tR. Квадратное уравнение

    t 2 – 4t + 4 = 0имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (–x) = 2, отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения. Ответ. х = –9.

     Уравнения вида где a > 0, a  1, A, В, Сдействительные числа ,A0, В0.

    Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на logaf(x) 0. Учитывая, что logaf(x) logf(x)a=1

    (свойство logba= 1/ logab), получим уравнение



    Замена logaf(x)=t, tRприводит его к квадратному At2 + Ct + B = 0.

    Из уравнений logaf(x)=t1 , logbf(x)=t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения: f(x) > 0, f(x) 1.

     Пример.6.3

    Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2  1, т.е. x >–2, x –1.Умножим обе части уравнения на log5(x+2) 0, получим

    или, заменив log5(x+2) = t, придем к квадратному уравнению t 2t2 = 0, t1 = –1, t2 =2.

    Возвращаемся к первоначальной переменной:

    log5(x+2) = –1, x+2 = 1/5, x = –9/5,

    log5(x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.

    Оба корня принадлежат области определения уравнения.

    Ответ: x= –9/5, x= 23.

    Упражнения для закрепления материала

    Решить уравнения

    1) ; 2) ; 3) ;

    4) ; 5) ;

    Контрольные вопросы

    1. Сформулировать определение логарифмического уравнения.

    2. Назвать основные методы решения логарифмических уравнений

    Литература

    1.Ш.А.Алимов, стр.105-111 2 О.Н.Афанасьева, стор.2753-279 3.А.Г.Мерзляк, стор.202-2


    написать администратору сайта