Логические основы цифровой техники Понятие о логической функции и логическом устройстве
 Скачать 1.86 Mb.
|
|
Размещено на http://www.allbest.ru/ Логические основы цифровой техники 1. Понятие о логической функции и логическом устройстве Для обозначения различной информации — предметов, понятий, действий — мы пользуемся словами. Запись слов производится с помощью букв из некоторого их набора, называемого алфавитом. В цифровой технике для тех же целей пользуются кодовыми словами. Особенность этих слов заключается в том, что все они имеют чаще всего одинаковую длину (т.е. состоят из одного и того же количества букв) и для их построения используется простейший алфавит из двух букв. Эти буквы принято обозначать символами 0 и 1. Таким образом, кодовое слово в цифровой технике есть определенной длины последовательность символов 0 и 1, например 10111011. Такими кодовыми словами могут представляться и числа, в этом случае 0 и 1 совпадают по смыслу с обычными арабскими цифрами. При представлении кодовым словом -— некоторой нечисловой информации, чтобы отличать символы 0 и 1 от арабских цифр, будем эти символы называть логическим нулем и логической единицей и обозначать далее лог 0 и лог I. Если длина кодовых слов составляет п разрядов, то можно построить 2n различных комбинаций — кодовых слов. Например, при п = 3 можно построить 23=8 слов: 000, 001,010, 011, 100,101,110,111 Информация, которая передается между отдельными узлами (блоками) сложного цифрового устройства, представляется в виде кодовых слов. Таким образом, на входы каждого узла поступают кодовые слова, на выходе узла образуется новое кодовое слово, представляющее собой результат обработки входных слов. Выходное слово зависит от того, какие слова поступают на входы узла Поэтому можно говорить, что выходное слово есть функция, для которой аргументами являются входные слова. Для того чтобы подчеркнуть особенность таких функций, состоящую в том, что функция и ее аргументы могут принимать значения лог 0 и лог /, будем эти функции называть функциями алгебры логики (ФАЛ). Устройства, предназначенные для формирования функций алгебры логики, называются логическими устройствами или цифровыми устройствами.Цифровые устройства (либо их узлы) можно делить на типы по различным признакам. По способу ввода и вывода кодовых слов различают логические устройства последовательного, параллельного и смешанного действия. На входы устройства последовательного действия символы кодовых слов поступают не одновременно, а последовательно во времени, символ за символом (в так называемой последовательной форме). В такой же последовательной форме выдается выходное слово. Пример такого устройства показан на рис. 3.1 ,а. Как нетрудно сообразить, устройство на рисунке выявляет несовпадение символов на входах, выдавая лог 1 при несовпадении илог 0 при совпадении символов (действительно, при несовпадении входных символов, когда Вх1 = 1 и Вх2 = 0 или Вх1 = 0 и Вх2 == 1, на выходе устройства Вых = 1, при совпадении входных символов, когда Вх1=1 и Вх2=1 или Вх1=0 и Вх2=0, на выходе Вых = 0). На входы устройства параллельного действия все п символов каждого входного кодового слова подаются одновременно (в так называемой параллельной форме) В такой же форме образуется на выходе выходное слово. Очевидно, при параллельной форме приема и выдачи кодовых слов в устройстве необходимо иметь для каждого разряда входного (выходного) слова отдельный вход (выход). Пример такого устройства показан на рис. 3.1,б. Устройство выполняет над разрядами входных слов ту же логическую операцию (выявляя несовпадение символов соответствующих разрядов входных слов), что и устройство, показанное на рис. 3.1 ,а, но в параллельной форме. Входы устройства разделены на две группы (I и II), каждая из которых предназначена для приема трехразрядного входного кодового слова в параллельной форме. На выходах устройства также в параллельной форме получается трехразрядное выходное слово. В устройствах смешанного действия входные и выходные кодовые слова представляются в разных формах- Например, входные слова — в последовательной форме, выходные — в параллельной. Устройства смешанного действия могут использоваться для преобразования кодовых слов из одной формы представления в другую (из последовательной формы в параллельную или наоборот). По способу функционирования логические устройства (и их схемы) делят на два класса: комбинационные устройства (и соответственно комбинационные схемы) и последовательностные устройства (последовательностные схемы). В комбинационном устройстве (называемом также автоматом без памяти) каждый символ на выходе (лог. О или лог. 1) определяется лишь символами (лог.О или лог.1), действующими в данный момент времени на входах устройства, и не зависит от того, какие символы ранее действовали на этих входах. В этом смысле комбинационные устройства лишены памяти (они не хранят сведений о прошлом работы устройства). В последовательностных устройствах (или автоматах с памятью) выходной сигнал определяется не только набором символов, действующих на входах в данный момент времени, но и внутренним состоянием устройства, а последнее зависит от того, какие наборы символов действовали на входах во все предшествующие моменты времени в процессе работы устройства. Поэтому можно говорить, что последовательностные устройства обладают памятью (они хранят сведения о прошлом работы устройства). Рассмотрим примеры комбинационного и последовательностного устройства. Пусть устройство (рис. 3.2,а) предназначено для формирования на выходе сигнала, определяющего совпадение сигналов на входах: на выходе формируется лог. 1 в случаях, когда на обоих входах действует либо лог. 1, либо лог.О; если на одном из входов действует лог. 1, а на другом —лог.О, то на выходе устройства образуется лог. 0. Такое устройство является комбинационным, в котором значение формируемой на выходе логической функции определяется лишь значениями ее аргументов в данный момент времени. Рассмотрим другой пример. Счетчик на рис. 3.2,6 подсчитывает импульсы. В каждый момент времени его состояние соответствует числу поступивших на вход импульсов. Выходная информация определяется тем, каково было состояние счетчика до данного интервала времени и поступает или нет на вход импульс в данном интервале времени. Таким образом, данное устройство является последовательностным устройством. 2. Способы задания логических функций логический цифровой шифратор В классической математике для задания функции обычно используются два способа: аналитический (запись формулой) и табличный (таблицами значений функции, какие приводятся, например, в справочниках). Подобными же способами могут задаваться логические функции. При табличном способе строится так называемая таблица истинности, в которой приводятся все возможные сочетания значений аргументов и соответствующие им значения логической функции. Так как число таких сочетаний конечно, таблица истинности позволяет определять значение функции для любых значений аргументов (в отличие от таблиц математических функций, которые позволяют задавать значения функции не для всех, а лишь для некоторых значений аргументов). Таблица истинности для логических функций одного аргумента приведена в табл.1. Существуют всего четыре функции одного аргумента. Таблица 1
Если число аргументов функции равно п, то число различных сочетаний (наборов) значений аргументов составляет 2n , а число различных функций паргументов 22n . Так, при п = 2 число наборов значений аргументов равно 22 = 4, число функций 24 = 16. Таблица истинности функций двух аргументов представлена табл. 2. Возможен и аналитический способ записи логической функции. В обычной математике аналитический способ представления функции предполагает запись функции в виде математического выражения, в котором аргументы функции связываются определенными математическими операциями. Подобно этому аналитический способ задания логической функции предусматривает запись функции в форме логического выражения, показывающего, какие и в какой последовательности должны выполняться логические операции над аргументами функции. Таблица 2
В табл. 3 приведен перечень логических операций, используемых при записи логических выражений. Функции одного аргумента (табл. 1) представляются следующими выражениями: Устройства, реализующие функции f0(х),f1(х) и f3(x), оказываются тривиальными. Как видно из рис. 4.3, формирование функции f0(х) требует разрыва между входом и выходом с подключением выхода к общей точке схемы, формирование функции f1(х) — соединения входа с выходом, формирование функции f3(х) — подключения выхода к источнику напряжения, соответствующего лог.1 Таким образом, из всех функций одного аргумента практический интерес может представлять лишь функция f2(x)=x (логическое НЕ). Из сравнения таблиц истинности функций f0...f15 (табл. 4.2) с таблицами истинности логических операций (табл. 4.3) следует: Таблица 4.3.
В дальнейшем функции одного и двух аргументов будем называть элементарными логическими функциями, имея в виду, что логические выражения этих функций, содержащие не более одной логической операции, элементарны. Рассмотрим способ построения таблиц истинности для сложных функций многих переменных. В таблице истинности отображается значение функции для каждого набора (комбинации) значений аргументов. Для представления всей совокупности этих наборов удобно пользоваться последовательностью чисел в так называемой двоичной системе счисления. В этой системе счисления в разрядах числа .используются лишь две цифры: 0 и 1. Веса единиц в отдельных разрядах: 1,2,4,8 и т.д., т.е. вес возрастает в два раза в каждом следующем разряде.(Обратите внимание на отличие от обычной десятичной системы счисления, где веса разрядов равны 1,10,100,1000 и т.д.). Таким образом, запись 1101 в двоичной системе счисления означает следующее количество: 1*1+0*2+1*4+1*8=13. В табл. 4 приведена последовательность десятичных чисел и соответствующие им представления в двоичной системе счисления в форме четырехразрядных чисел. Таблица 4
В табл. 5 представлена одна из форм таблицы истинности некоторой сложной функции четырех аргументов. При п аргументах число наборов их значений составляет 2n и с ростом п быстро увеличивается число столбцов в таблице. При больших п таблица становится весьма громоздкой и неудобной для использования. Таблица 5
Для обеспечения большей компактности часто отдают предпочтение другой форме таблицы истинности (показана в табл. 6 для функции четырех аргументов). Таблица 6
Таблица строится следующим образом. Все аргументы функции делятся на две группы. Столбцам и строкам таблицы приписывают комбинации значений аргументов одной и другой группы. В клетках, расположенных на пересечении столбцов и строк, записываются соответствующие значения функции. В дальнейшем при рассмотрении методов минимизации логических функций мы столкнемся с представлением функции в форме таких таблиц истинности, в которых последовательности комбинаций значений аргументов, приписываемых столбцам и строкам таблицы, соответствуют последовательности чисел в так называемом коде Грея. Числа в коде Грея можно получить из двоичных чисел путем их сложения по модулю 2 (mod 2) с теми же числами, сдвинутыми на один разряд вправо. Например, представление двоичного числа 1101 в коде Грея получается следующим образом: В табл. 7 приведена форма таблицы истинности для функций пяти аргументов. В ней комбинации значений аргументов, приписанные столбцам и строкам таблицы, соответствуют последовательности чисел в коде Грея. Таблица 7
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||