фхтс гвелесиани. М. В. Ломоносова Кафедра физики и химии твердого тела Гвелесиани А. А. Физика и химия твердофазных систем Часть 1 Учебное пособие
 Скачать 1.62 Mb.
|
|
Министерство образования и науки РФ Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова Кафедра физики и химии твердого тела Гвелесиани А.А. Физика и химия твердофазных систем Часть 1 Учебное пособие 2012 http://www.mitht.ru/e-library 2 ББК 22.379 УДК 539.2:541.1:546 Рецензент к.х.н., доц. Зиновьев В.Г. (МИТХТ, кафедра материалов микро-, опто- и наноэлектроники) Гвелесиани А.А. Физика и химия твердофазных (полупроводниковых) систем, ч.1. Учебное пособие М.; МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2012, С.68, илл. 12 Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ им. М.В. Ломоносова в качестве учебного пособия. Поз. /2012. Данное учебное пособие является дополнением к существующим учебникам и отражает часть разделов лекций, по учебной дисциплине «Физика и химия твердофазных систем» для студентов, обучающихся по образовательной программе подготовки бакалавров 150600 «Материаловедение и технология материалов». В пособии изложены основные положения статистики электронов и дырок в полупроводниках, расчеты важнейших статистических параметров, анализируются удельная электропроводность и подвижность носителей заряда невырожденных и вырожденных полупроводников, основные механизмы рассеяния носителей заряда в полупроводниках. В конце разделов пособия приведены контрольные вопросы и задачи, которые призваны способствовать самостоятельности суждения и анализа процессов и их параметров. © МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2012 http://www.mitht.ru/e-library 3 Содержание Введение 4 1. Статистика электронов и дырок в полупроводниках 5 1.1. Статистика свободных электронов и дырок в разрешенных зонах 5 1.2. Статистика примесных состояний в полупроводниках 12 1.3. Собственный полупроводник 17 1.4. Электронный (донорный) полупроводник 20 1.5. Дырочный (акцепторный) полупроводник 25 Контрольные вопросы и задачи 27 2. Электропроводность полупроводников 29 2.1. Смешанная, собственная и примесная электропроводности 30 2.2. Механизмы рассеяния носителей заряда в полупроводниках 38 2.2.1. Рассеяние носителей заряда на ионах примеси 40 2.2.2. Рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях решетки (фононах) 42 2.2.3. Рассеяние на акустических фононах 45 2.2.4. Рассеяние на оптических фононах 46 2.2.5. Cмешанное рассеяние носителей заряда 49 2.2.6. Температурная зависимость электропроводности невырожденных полупроводников 52 2.2.7. Электропроводность вырожденных полупроводников 57 Контрольные вопросы и задачи 61 Физические константы 64 Некоторые параметры важнейших полупроводниковых материалов 65 Рекомендуемая литература 66 http://www.mitht.ru/e-library 4 Введение Учебная дисциплина «Физика и химия твердофазных (полупроводниковых) систем» является одной из базовых для многих специальных дисциплин материаловедческого и технологического профиля. Изучение этой дисциплины позволяет устанавливать взаимосвязи состав-структура- свойство в правильных периодических структурах, которые представляют собой кристаллические полупроводники, понимать закономерности поведения материалов в различных условиях и в конечном счете формировать у студентов навыки самостоятельной научной деятельности по созданию новых технологий и материалов, разработки приборов и устройств, основанных на различных физических эффектах. В данном учебном пособии рассматриваются два фундаментальных раздела: «статистика носителей заряда в полупроводниках» и «электропроводность полупро- водников», которые являются физическими основами материаловедения и технологии новых материалов. Изучение этих разделов позволяет студенту в практической деятельности самостоятельно проводить количественный анализ важнейших параметров физических процессов, в первую очередь электропроводности, освоить ряд важнейших расчетов физических параметров, в том числе их температурные зависимости. Контрольные вопросы, решение задач, а также выполнение лабораторных работ, предусмотренные при изучении данной учебной дисциплины, позволяют еще глубже понять процессы и явления в материалах при внешнем воздействии, освоить расчет важных физических параметров. http://www.mitht.ru/e-library 5 1. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 1.1. Статистика свободных электронов и дырок в разрешенных зонах Раздел «Статистика электронов и дырок в полупроводниках» является важнейшим разделом полупроводникового материаловедения, без усвоения которого невозможно понимание электрических и оптических явлений в этом классе твердых тел. Основной задачей статистического рассмотрения поведения свободных и связанных носителей заряда является вычисление их равновесных концентраций. В свою очередь решение указанной задачи позволяет выяснить зависимость электрических свойств полупроводника от температуры, ширины запрещенной зоны и от степени легирования. С другой стороны, анализируя температурные зависимости концентраций носителей заряда с помощью статических соотношений можно найти ширину запрещенной зоны, энергетические уровни собственных дефектов и примесных атомов и количественно оценить их содержание. Распределение электронов по энергетическим подуровням в разрешенных зонах подчиняется принципу Паули. Поэтому, в отличие от классических частиц, которые занимают минимум энергии при низкой температуре, квантовые частицы распределяются по состояниям в соответствии с функцией распределения ( ), которая показывает вероятность заполнения электроном состояния с энергией при данной температуре: ( ) (1.1) http://www.mitht.ru/e-library 6 Соотношение (1.1) носит название функции распределения Ферми-Дирака, которое справедливо для квантовых частиц, подчиняющихся принципу Паули – фермионов. Здесь – абсолютная температура, K; – константа Больцмана, а – электрохимический потенциал электронов или уровень Ферми (энергия Ферми). Вид функции распределения Ферми-Дирака при К и К представлен на рис.1.1. Рис.1.1. График функции распределения Ферми-Дирака. При К функция имеет вид ступени, так как из формулы (1.1) следует, что при энергии электронов Е меньше энергии Ферми и все уровни энергии заняты электронами при всех значениях При энергии электронов больше энергии Ферми и все уровни энергии, лежащие выше энергии Ферми ( ) свободны. При условии равенства энергии электронов и энергии Ферми функция распределения неопределенна и принимает любые значения от 0 до 1. Таким образом, физический смысл энергии (уровня) Ферми при К состоит в том, что ее величина определяет максимально возможную энергию электронов в металлах и полупроводниках. http://www.mitht.ru/e-library 7 Итак, при К выше уровня Ферми все уровни энергии свободны, ниже уровня Ферми все уровни энергии заняты электронами. При К из формулы (1.1) следует, что при условии , при всех температурах ⁄ . Следовательно, при температурах выше 0 К, уровень Ферми есть такой энергетический уровень вероятность заполнения которого равна 1/2. При функция Ферми-Дирака экспоненциально стремится от 1/2 к 1, а при от 1/2 к 0, причем вероятность заполнения уровней энергии заметно отличается от 1 или 0 лишь в пределах ( ) вблизи . Таким образом, при К с большой вероятностью, уровни энергии, лежащие ниже заняты электронами, а лежащие выше – свободны. В пределах при К число электронов, перешедших в результате теплового движения на более высокие уровни энергии, равно количеству освободившихся уровней энергии. Например, при , f = 0,73, а при , f = 0,27. Электронный газ, в полной мере подчиняющийся распределению Ферми-Дирака, принято называть вырожденным. Однако, если уровень Ферми расположен ниже уровня дна зоны проводимости на расстоянии ( ) , то выполняется условие ( ) . В этом случае единицей в знаменателе (1.1) можно пренебречь, и формула (1.1) примет вид: ( ) (1.2) Формула (1.2) является функцией распределения Максвелла-Больцмана, справедливой для классических (невырожденных) систем. Электронный газ, поведение http://www.mitht.ru/e-library 8 которого удовлетворяет условию (1.2), называется невырожденным. На рис.1.1 участок графика при , описывается экспоненциальной функцией распределения Больцмана. Таким образом, если электронный газ невырожденный, то функцию распределения для квантовых частиц Ферми- Дирака можно приблизительно заменить на функцию распределения для классических частиц Максвелла- Больцмана. Так как на практике большей частью используются полупроводники с невырожденным электронным газом (невырожденные полупроводники), то возможность замены функции Ферми-Дирака на функцию Максвелла-Больцмана значительно упрощает различные теоретические расчеты по статистике электронов в полупроводниках. Вероятность того, что состояние с энергией не занято электроном (занято дыркой), есть: (1.3) Для вычисления концентрации свободных электронов в зоне проводимости необходимо просуммировать произведение функции плотности состояний ( ) в зоне и функции ( ) (1.1) по всем состояниям зоны проводимости, т.е. вычислить интеграл в пределах от дна зоны проводимости до ее потолка: ∫ ( ) ( ) (1.4) где – дно зоны проводимости, а ( ) – плотность состояний в зоне проводимости, которая зависит от величины http://www.mitht.ru/e-library 9 эффективной массы плотности состояний для электронов в степени 3/2 и их энергии в зоне проводимости в степени 1/2: ( ) ( ) ( ) (1.5) Плотность состояний ( ) определяют как число состояний в единичном интервале энергии в разрешенной зоне для единичного объема кристалла. Эффективную массу плотности состояний для электронов определяют как среднегеометрическое 3-х эффективных масс, помноженное на число эквивалентных минимумов зоны проводимости М в степени 2/3 в ⃗ - пространстве: ( ) (1.6) Здесь – продольная эффективная масса электронов; – поперечная масса электронов. В случае прямозонных полупроводников область дна зоны проводимости имеет сферическую симметрию в ⃗ - пространстве и М = 1, а В случае непрямозонных полупроводников зона проводимости в области дна в ⃗ -пространстве имеет симметрию эллипсоида вращения и , М > 1. Для кремния М = 6, для германия М = 4, для арсенида галлия М = 1. Результат интегрирования (1.4) имеет вид: √ ⁄ ( ) (1.7) http://www.mitht.ru/e-library 10 где ( ) (1.8) ⁄ ( ) ∫ ( ) (1.9) где ⁄ ( ) – интеграл Ферми половинного индекса; и – безразмерные величины: – приведенная энергия электрона, – приведенная энергия Ферми. Значения ⁄ ( ) для различных приведены в литературе, например в [1], [2]. Вычисление концентраций свободных дырок в валентной зоне проводят по аналогии с вычислением свободных электронов путем интегрирования от потолка валентной зоны до ее дна: ∫ ( ) ( ) (1.10) Здесь ( ) – плотность состояний в валентной зоне, которая зависит от величины эффективной массы плотности состояний для дырки и их энергии в валентной зоне: http://www.mitht.ru/e-library 11 ( ) ( ) ( ) (1.11) Эффективную массу плотности состояний для дырок определяют как: ( ⁄ ⁄ ) (1.12) Здесь – эффективная масса тяжелых дырок (в подзоне тяжелых дырок); – эффективная масса легких дырок (в подзоне легких дырок). Аналогичные соотношения для дырок в валентной зоне записываются следующим образом: √ ⁄ ( ) (1.13) где ( ) (1.14) ⁄ ( ) ∫ ( ) (1.15) где и – безразмерные величины: , , – энергия «потолка» валентной зоны, – приведенная запрещенная зона. Для невырожденного газа электронов или дырок допускается использование в расчетах классической функции http://www.mitht.ru/e-library 12 Максвелла-Больцмана, вместо квантовой функции Ферми- Дирака, что значительно упрощает формулы (1.7) и (1.13): (1.16) (1.17) Вид формулы (1.16) свидетельствует, что формально все свободные электроны как бы сконцентрированы на уровнях с одинаковой энергией , при этом число таких уровней равно . При условии , Величина (1.8), зависящая от температуры и эффективной массы электронов, получила название эффективной плотности состояний в зоне проводимости. Аналогичное рассуждение можно применить и к дыркам в валентной зоне: в этом случае , определяемая формулой (1.14), имеет название эффективной плотности состояний в валентной зоне. Формулы (1.16, 1.17) позволяют упростить расчеты параметров ряда важных полупроводниковых устройств (диодов, транзисторов), однако они неприменимы по отношению к туннельным диодам и инжекционным лазерам, в которых используются сильнолегированные (вырожденные) полупроводники. 1.2. Статистика примесных состояний в полупроводниках Кроме рассмотренных выше вычислений равновесных концентраций свободных электронов и дырок в разрешенных зонах, представляет интерес и расчет концентраций связанных (локализованных) на примесных уровнях энергии электронов и дырок. http://www.mitht.ru/e-library 13 Статистика примесных состояний отличается от статистики состояний в разрешенных зонах энергии, так как для примесных состояний не применим принцип Паули. Дело в том, что энергетический уровень однозарядных атомов простых (мелких) доноров и акцепторов может быть занят только одним электроном или дыркой, но способов захвата электрона или дырки два – со спином +1/2 или – 1/2, т.е. необходим учет вырождения состояния по спину. Для примесных состояний функция распределения для электронов может быть записана с учетом вырождения состояния по спину в виде: ( ) (1.18) где – энергия примесного уровня; – фактор вырождения по спину. Для нейтральных атомов доноров (электрон на уровне) и акцепторов (дырка на уровне) Вероятность заполнения электронами уровней энергии доноров описывается функцией: ( ) (1.19) Вероятность заполнения дырками уровней энергии акцепторов: ( ) (1.20) где , – уровни энергии простых доноров и акцепторов соответственно. http://www.mitht.ru/e-library 14 Вероятность заполнения уровней доноров дырками (ионизованное состояние атома донора) находится как ( ) ( ), откуда, после подстановки выражения (1.19), получаем: ( ) (1.21) Вероятность заполнения уровней акцепторов электронами (ионизованное состояние атомов акцепторов) также находим как ( ) ( ), откуда: ( ) (1.22) Из формул (1.18, 1.21, 1.22) следует, что g-фактор для ионизованных состояний доноров и акцепторов равен 1/2. Таким образом, нейтральное состояние простого примесного атома имеет вдвое больше статистический вес, чем ионизованное. Для расчета концентраций нейтральных и заряженных примесных центров, кроме функций распределения нужно знать и плотность примесных состояний. В случае простых однозарядных доноров и акцепторов число состояний с энергией в единице объема кристалла равно концентрации атомов доноров , а для состояний с энергией равно концентрации атомов акцепторов Концентрации нейтральных и заряженных доноров , нейтральных и заряженных акцепторов легко найти из соотношений: http://www.mitht.ru/e-library 15 ( ) ( ) ( ) ( ) При : При Число нейтральных атомов простых доноров равно числу связанных на них электронов: Число заряженных (ионизованных) атомов простых доноров равно числу связанных на них дырок и числу свободных электронов : Для простых атомов акцепторов: где и – число связанных дырок и связанных электронов на атомах акцепторов. Отметим также, что в случае многозарядных, глубоких примесных центров, каждое зарядовое состояние дает свой уровень энергии в запрещенной зоне и имеет свое значение факторов вырождения. Нахождение значений этих факторов достаточно непростая задача и в основном их определяют путем специальных экспериментальных измерений образцов. Во всех случаях, для расчета свободных электронов и дырок в зонах или связанных на примесных атомах http://www.mitht.ru/e-library 16 электронов и дырок, требуется определение положения уровня (энергии) Ферми. Эту величину находят из условия электронейтральности кристалла в равновесном состоянии, согласно которому число положительных зарядов равно числу отрицательных, т.е. суммарный электрический заряд должен быть равен нулю. Математическая запись баланса положительных и отрицательных зарядов представляет собой уравнение электронейтральности, решение которого позволяет найти уровень Ферми. В самом общем виде это уравнение имеет вид: - в случае собственного (нелегированного) полупроводника: (1.23) где – концентрация собственных носителей заряда; - в случае примесного полупроводника n-типа: (1.24) где – число неосновных носителей заряда (дырок); – число ионов доноров; - в случае примесного полупроводника р-типа: (1.25) где – число неосновных носителей зарядов (электронов); – число ионов акцепторов. http://www.mitht.ru/e-library 17 |