фхтс гвелесиани. М. В. Ломоносова Кафедра физики и химии твердого тела Гвелесиани А. А. Физика и химия твердофазных систем Часть 1 Учебное пособие
 Скачать 1.62 Mb.
|
|
2.2. Механизмы рассеяния носителей заряда в полупроводниках Носители заряда, электроны и дырки, испытывают при перемещении столкновения с любыми несовершенствами кристаллической структуры, после чего их скорость и траектория движения изменяются. Под этим и понимают процесс рассеяния носителей заряда. Сколько различной природы несовершенств кристаллической структуры (центров рассеяния), столько и механизмов рассеяния. Различают упругое и неупругое рассеяние. При упругом рассеянии существенно изменяется импульс электронов (дырок) и незначительно их энергия. При неупругом рассеянии существенно изменяются и энергия и импульс. Выделяют два основных механизма рассеяния носителей заряда, как наиболее эффективно влияющих на процесс рассеивания и следовательно на величину подвижности: - рассеяние носителей заряда на ионах примесей (доноров и акцепторов); - рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях атомов кристаллической решетки. Этот механизм также можно рассматривать как рассеяние носителей заряда на квазичастицах – фононах. Кроме того, при очень низких температурах необходим учет рассеяния на нейтральных атомах примесей, при большом количестве вакансий – рассеяния на заряженных вакансиях (т.к. вакансия, как и ион примеси, точечный заряд, то механизм рассеяния на ней подобен механизму рассеяния на ионах примеси). Также в некоторых случаях необходим учет рассеяния на дислокациях и др. Как уже было сказано выше, количественными параметрами процесса рассеяния являются подвижность и http://www.mitht.ru/e-library 39 время релаксации рассеяния носителей заряда (см. формулы 2.7.). Под временем релаксации процесса рассеяния понимают время, необходимое для перехода системы свободных электронов и дырок, под действием фактора рассеяния, от упорядоченного (направленного) движения в электрическом поле, к неупорядоченному (хаотическому) движению, после отключения внешнего поля. После отключения электрического поля не все носители заряда одновременно переходят к хаотическому движению. Во времени этот переход происходит по экспоненциальному закону: ( ) ( ) где ( ) – число электронов до отключения поля; – число направленно движущихся (по инерции) электронов (дырок) после отключения поля, в момент времени Согласно этой формуле за время число направленно движущихся электронов, после отключения поля, вследствие столкновений уменьшается в раз. Понятно, что величины времени релаксации и, следовательно, подвижности должны зависеть от природы центров рассеяния и механизмов рассеяния на этих центрах. Величина τ c невелика, находится в пределах (10 -11 ÷10 - 13 ) с. В невырожденных полупроводниках является функцией энергии носителей заряда, в вырожденных – ( ) . http://www.mitht.ru/e-library 40 2.2.1. Рассеяние носителей заряда на ионах примеси Этот механизм рассеяния преобладает при низких температурах, когда тепловыми колебаниями атомов кристаллической решетки можно пренебречь, а атомы примесей уже при температуре порядка 30÷40 К являются полностью ионизированными. Ионы доноров или акцепторов, как точечные заряды, создают вокруг себя электростатическое поле сферической формы, действующее на значительном расстоянии. Движущиеся на длине свободного пробега с тепловой скоростью по прямолинейной траектории электрон или дырка, попав в область поля иона, испытывают кулоновское взаимодействие с зарядом иона: где – заряд иона примеси; – диэлектрическая постоянная; – расстояние между ионом и электроном (дыркой). Это взаимодействие приводит к отклонению траектории от прямолинейной на некоторый угол , названный углом рассеяния, что приводит к уменьшению подвижности (рис.2.2). Рис.2.2. Траектории электрона и дырки при рассеянии полем положительного иона примеси. – угол рассеяния. http://www.mitht.ru/e-library 41 На рис. 2.2 изображены траектории движения электрона и дырки, имеющие форму гиперболы. Чем больше тепловая скорость электронов (дырок), тем меньшее время они взаимодействуют с ионами примесей, меньше отклонение от прямолинейной траектории и следовательно возрастают временами релаксации рассеяния и подвижности электронов и дырок. Максимальное расстояние между электроном (дыркой) и ионом, при котором электрон или дырка оказываются в поле иона и их траектория движения изменяется, по аналогии с рассеянием α-частиц на ядрах атомов тяжелых металлов, называют прицельным расстоянием (b). Связь между прицельным расстоянием и углом рассеяния можно установить из следующего соотношения: ̅ где – эффективная масса электрона или дырки; ̅ – тепловая скорость движения электрона или дырки на длине свободного пробега: ̅ ( ) С некоторым приближением время релаксации можно считать равным времени свободного пробега электронов (дырок): ̅ ̅ где – длина свободного пробега электрона (дырки). http://www.mitht.ru/e-library 42 Длина свободного пробега растет пропорционально ̅ , а т.к. ̅ пропорциональна ⁄ , то с ростом температуры при рассеянии на ионах примеси время релаксации, а следовательно и подвижность, растут как ⁄ : ( ) ⁄ ( ) ⁄ (2.13) где и – константы, зависящие от параметров полупроводника и примесей: √ ⁄ √ ⁄ (2.14) где – количество ионов примеси в единице объема кристалла. Формулы (2.13, 2.14) позволяют прогнозировать величину подвижности электронов (дырок) в области температур, где преобладает рассеяние на ионах примеси. 2.2.2. Рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях решетки (фононах) Столкновения носителей заряда с колеблющимися атомами, колебания которых можно рассматривать как распространение упругих тепловых волн, приводят к уменьшению их длины свободного пробега и, как следствие к уменьшению времени релаксации рассеяния и подвижности. При взаимодействии электрона (дырки) с колебаниями решетки электрон может как передать часть своей энергии кристаллической решетке, так и получить от нее часть энергии. http://www.mitht.ru/e-library 43 Увеличение или уменьшение энергии колебаний атомов решетки на один квант рассматривается как появление (генерация) или исчезновение (поглощение) квазичастицы – фонона. Т.о. можно считать, что в кристалле есть фононный газ. За вычетом нулевых колебаний при К, энергия колебаний решетки складывается из порций Таким образом, рассеяние электронов (дырок) на тепловых колебаниях решетки можно рассматривать и как результат их столкновения с фононами. Фононы обладают небольшой энергией (при комнатной температуре порядка сотых долей электрон- вольта), но значительным импульсом , который может изменяться также, как и импульс электрона ⃗ в пределах зоны Бриллюэна от 0 до ( и ⃗ – волновые векторы фонона и соответственно электрона). В кристаллах с одним атомом в элементарной ячейке возбуждаются только акустические колебания (10 2 ÷10 3 ) Гц. Рис.2.3. Акустические и оптические ветви колебания В кристаллах с более чем одним атомом в элементарной ячейке (например Si, Ge, соединения A III B V и http://www.mitht.ru/e-library 44 др.) кроме акустических возбуждаются и колебания с максимально возможной частотой ≈ 10 13 Гц, которые называются оптическими колебаниями. В акустической ветви колеблющиеся атомы движутся синхронно (колебания в фазе). В оптической ветви атомы внутри элементарной ячейки колеблются в противофазе, но центр тяжести пары неподвижен. Если в элементарной ячейке колеблются ионы разного знака (как это в полупроводниковых соединениях), то колебания в противофазе приводят к появлению переменного электрического дипольного момента. Такие колебания называются полярными оптическими. С ростом температуры возрастает концентрация фононов и их энергия, соответственно увеличивается вероятность столкновений электронов с фононами и при некоторой температуре рассеяние на фононах оказывается преобладающим, а рассеянием на ионах примеси можно пренебречь. Чаще всего рассеяние носителей заряда происходит на длинноволновых фононах. При столкновении носителей заряда с фононами происходит обмен энергией и импульсом между ними. Электроны (дырки) почти не изменяют свою энергию, но значительно изменяется их импульс, что приводит к изменению траектории движения. Согласно законам сохранения энергии и импульса: Согласно такому механизму рассеяния при столкновении фонон или поглощается ( ̅ ), при этом электрон (дырка) получают часть энергии и импульса от http://www.mitht.ru/e-library 45 фонона, или испускается ( ̅ ), при этом электрон передает часть своей энергии и импульса кристаллической решетке. ̅ – средняя концентрация фононов в кристалле. Такой механизм рассеяния называется однофононным (число фононов при столкновении уменьшается или увеличивается на единицу). Менее вероятен, но возможен многофононный механизм рассеяния. 2.2.3. Рассеяние на акустических фононах Этот механизм рассеяния преобладает в простых полупроводниках (Si, Ge) и в полупроводниковых соединениях с небольшой долей ионной связи. Согласно теории, время релаксации рассеяния на акустических продольных фононах находят в виде: ⁄ (2.15) Т.к. энергия электрона , то из (2.15) следует, что: ( ) ⁄ ( ) ⁄ , (2.16) где Согласно этим зависимостям и уменьшаются с ростом температуры как ⁄ и рассеяние становится более эффективным. – константа для данного кристалла, зависящая только от параметров полупроводника: http://www.mitht.ru/e-library 46 √ ⁄ (2.17) где – масса атома, – период решетки, – скорость звука в кристалле, – константа, характеризующая интенсивность взаимодействия носителей заряда с кристаллической решеткой (имеет размерность энергии). Отношение ⁄ можно представить как плотность вещества , тогда ⁄ В ряду алмаз-кремний-германий и соединений А 3 В 5 подвижность носителей заряда увеличивается с ростом атомной массы и плотности вещества. Увеличение плотности вещества ведет к уменьшению амплитуды тепловых колебаний атомов, а в соединениях А 3 В 5 в том же направлении происходит ослабление ионной связи, поэтому у соединения InSb самая высокая подвижность. 2.2.4. Рассеяние на оптических фононах Преобладает в полупроводниковых соединениях с высокой долей ионной связи. Это, в основном, соединения типа А 2 В 6 , а из соединений А 3 В 5 это AlAs, AlSb, AlP, GaN. С увеличением ионности растет роль полярных оптических колебаний, которые рассеивают носители заряда значительно сильнее, чем акустические колебания. Поскольку смещение ионов разного знака в ячейке с достаточно большим эффективным зарядом происходит в противофазе, то они создают электрические поля высокой частоты, которые перемещаются по кристаллу в виде плоских волн. Взаимодействие электронов (дырок) с этими полями и является причиной их рассеяния. http://www.mitht.ru/e-library 47 Чем больше эффективные заряды ионов соединений, тем сильнее электрические поля, создаваемые ионами, рассеивают носители заряда, поэтому подвижность в соединениях А 2 В 6 ниже большинства соединений А 3 В 5 Т.к. частота длинноволновых оптических фононов слабо зависит от волнового вектора (рис.2.3), то при столкновении с оптическим фононом энергия электрона изменяется почти на одинаковую величину, равную Особенностью этого механизма рассеяния является разная зависимость времени релаксации от температуры в областях температур ниже и выше температуры Дебая Поэтому зависимость времени релаксации от энергии и температуры рассматривается раздельно в области низких ( ) и высоких ( ) температур. В области низких температур и энергия электронов значительно меньше энергии оптических фононов ̅ , поэтому при низких температурах электроны могут только поглощать оптические фононы, резко увеличивая свою энергию. Но в таком состоянии они пребывают очень малое время и сразу же отдают энергию решетке, в результате чего испускается фонон с такой же энергией. Фактически рассеяние электронов на оптических фононах при состоит в обмене фононами одинаковой энергии, при этом изменяется импульс (траектория) электрона, а его энергия остается неизменной. Таким образом, при ( ) . Расчет времени релаксации, с учетом того, что при низких температурах средняя концентрация фононов увеличивается с ростом температуры как ⁄ , дает: ( ) ⁄ ( ) (2.18) http://www.mitht.ru/e-library 48 где √ ( ) ⁄ ⁄ (2.19) Таким образом, в области низких температур время релаксации не зависит от энергии электронов и экспоненциально уменьшается с ростом температуры. В области высоких температур ( ), т.к. энергия оптического фонона много меньше энергии электрона ̅̅̅̅, то при столкновении с оптическим фононом энергия электрона изменяется и время релаксации зависит от энергии как ⁄ : ( ) ⁄ (2.20) где √ ⁄ (2.21) Т.к. энергия электрона ̅̅̅̅, то из (2.20) следует: ( ) ⁄ ( ) ⁄ (2.22) Зависимости ( ) для разных механизмов рассеяния носителей зарядов можно представить в виде общей формулы: ( ) (2.23) где – показатель рассеяния: – для акустических фононов; ⁄ – для оптических фононов при ; – для оптических фононов при ; – для ионов примесей и заряженных вакансий. http://www.mitht.ru/e-library 49 2.2.5. Cмешанное рассеяние носителей заряда Обычно присутствуют различные по природе центры рассеяния (ионы примеси, фононы, вакансии, нейтральные атомы, дислокации и др.). По мере изменения энергии, температуры, концентрации примесей и дефектов, роль одних механизмов рассеяния уменьшается, других возрастает. Так, рассеяние на нейтральных примесях и дислокациях следует учитывать только при очень низких температурах, а с повышением температуры преобладает сначала рассеяние на ионах примесей, а затем на фононах. Если считать, что все механизмы рассеяния независимы, то полная вероятность рассеяния равна сумме парциальных вероятностей рассеяния на каждом типе рассеивающих центров: ∑ (∑ ) (2.24) где – суммарное время релаксации всех механизмов рассеяния; – парциальное время релаксации каждого типа механизма рассеяния. Таким образом, в определенных условиях, доминировать будет тот механизм рассеяния, у которого наименьшее время релаксации. Т.к. подвижность носителей заряда прямо пропорциональна времени релаксации, то суммарная подвижность: (∑ ) http://www.mitht.ru/e-library 50 Исследование температурной зависимости суммарной подвижности является важным для практических целей. Исходя из зависимостей (2.13 и 2.16) построим зависимости подвижности от температуры для двух механизмов рассеяния: - для рассеяния на ионах примеси: ( ) ⁄ - для рассеяния на акустических фононах: ( ) ⁄ Для построения графика ( ) спрямим обе зависимости путем логарифмирования: ( ) ( ) При низких температурах преобладает рассеяние на ионах примеси и подвижность растет с ростом температуры как ⁄ . Это объясняется тем, что с ростом температуры количество рассеивающих центров (ионов примеси) остается неизменной, а энергия и скорость носителей заряда увеличиваются, что уменьшает время взаимодействия носителей заряда с полем ионов. http://www.mitht.ru/e-library 51 Рис.2.4. Температурная зависимость суммарной подвижности при различной концентрации ионов примеси , – температуры, в области которых наблюдается переход от одного механизма рассеяния к другому. С увеличением температуры рост энергии, скорости носителей заряда, энергии и количества фононов усиливает интенсивность взаимодействия электронов (дырок) с фононами и начинает доминировать механизм рассеяния на акустических фононах, вследствие чего подвижность проходит через максимум и уменьшается как ⁄ Максимум кривой зависит от концентрации ионов примеси – чем она больше, тем меньше подвижность и тем больше максимум смещается в область высоких температур. В предельном случае наибольшая температура максимума зависимости ( ) не превышает 200 К. Исследование зависимости ( ) позволяет определить природу и область температур механизмов рассеяния. http://www.mitht.ru/e-library 52 При очень низких температурах рассеяние происходит на нейтральных примесях и подвижность не зависит от температуры. Температурная зависимость суммарной подвижности носителей заряда при рассеянии на оптических фононах следует из формул (2.17, 2.18 и 2.22): - при низких температурах ( ): ( ) - при высоких температурах ( ): ( ) ⁄ Таким образом, при рассеянии носителей заряда как на акустических, так и на оптических фононах наблюдается уменьшение суммарной подвижности с ростом температуры. 2.2.6. Температурная зависимость электропроводности невырожденных полупроводников Анализ температурной зависимости электропроводности невырожденных полупроводников , так же, как и концентрации носителей заряда, сводится к анализу в 3-х температурных областях: 1 – «низкие» температуры (область ионизации примеси); 2 – «средние» температуры (область истощения примеси; 3 – «высокие» температуры (область собственной проводимости). http://www.mitht.ru/e-library 53 Проведем анализ ( ) на примере полупроводника n- типа, легированного простыми донорами. Согласно формуле: ( ) ( ) ( ) (2.26) анализ ( ) сводится к совместному анализу температурной зависимости концентрации электронов ( ) и их подвижности ( ). Область 1 – «Низкие температуры» (область ионизации примеси). В этой области имеет место процесс ионизации атомов доноров, совершаются переходы электронов с уровня энергии донора в зону проводимости, вследствие чего экспоненциально растет концентрация свободных электронов: ( ) ( ( ) ) или, т.к. ( ) ⁄ , то: ( ) (2.27) где – некоторая константа. В области «низких температур» доминирует механизм рассеяния электронов на ионах примеси и подвижность электронов увеличивается: ( ) ⁄ (2.28) http://www.mitht.ru/e-library 54 После подстановки формул (2.27 и 2.28) в (2.26) получим: ( ) (2.29) Т.к. в области (1) , то температурная зависимость ( ) в основном определяется экспоненциальным членом выражения (2.29). Область 2 – «Средние температуры» (область истощения примеси). При некоторой температуре, называемой температурой истощения примеси и обозначаемой как , полностью заканчивается процесс ионизации примеси: Такое состояние примеси называется истощением примеси, соответственно чему и возникло название 2-ой области температур (область истощения примеси). С дальнейшим увеличением температуры до некоторой температуры, называемой температурой перехода к собственной проводимости и обозначаемой как , концентрация свободных электронов практически не изменяется (остается равной концентрации атомов доноров) или изменяется очень незначительно. ( ) Это объясняется тем, что выше температуры вся примесь ионизована, а переходов зона-зона, с образованием пар электрон-дырка значительно меньше чем В области температур от до характер изменения электропроводности зависит только от подвижности http://www.mitht.ru/e-library 55 электронов и, следовательно, от типа механизма рассеяния электронов. Пока доминирует механизм рассеяния на ионах примеси, подвижность и соответственно электропроводность будут увеличиваться пропорционально ⁄ : ( ) ⁄ ( ) ⁄ (2.30) При температуре выше (рис.2.4), соответствующей переходу от механизма рассеяния на ионах примеси к механизму рассеяния на фононах, подвижность и соответственно электропроводность уменьшаются. В случае рассеяния на акустических фононах как ⁄ : ( ) ⁄ ( ) ⁄ (2.31) При рассеянии на оптических фононах ( ) уменьшается в соответствии с формулами (2.18, 2.22). Области температур 1 и 2 являются областями примесной проводимости. Рабочие температуры большинства полупроводниковых устройств находятся во 2-ой области температур. Важно, что в этой области электропроводность слабо зависит от температуры, что благоприятно сказывается на термостабильности параметров полупроводниковых устройств. Область 3 – «Высокие температуры» (область собственной проводимости). При температурах, близких к температуре , число переходов зона-зона уже становится сравнимым с концентрацией атомов доноров, возрастает доля неосновных носителей заряда и в небольшом интервале температур, близких к , электропроводность становится смешанной. http://www.mitht.ru/e-library 56 При температурах и выше число переходов зона- зона становится больше числа электронов и наблюдается переход от смешанной к собственной проводимости: ( ) ( ) ( ( ) ( )) где: ( ) ( ( ) ( )) ⁄ или ( ) ⁄ В этой области температур также доминирует механизм рассеяния на фононах. В случае рассеяния на акустических фононах подвижность электронов и дырок уменьшается пропорционально 2 3 T , но электропроводность, также как и в области ионизации I рис.2.5, возрастает экспоненциально за счет резкого экспоненциального роста концентрации собственных носителей заряда: ( ) ⁄ ⁄ или ( ) (2.32) Спрямим, путем логарифмирования зависимости (2.29, 2.30, 2.31, 2.32) и построим график температурной зависимости электропроводности в полулогарифмическом масштабе ( ) http://www.mitht.ru/e-library |