В.Ю. Соколов К ВОПРОСУ О РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ГОРНОМ МАССИВЕ. Массива вокруг выработки
 Скачать 47.55 Kb.
|
F(t)n i1 F(t)n i i i1 * (22) i 2 i1 1 i1 (1 )(ti ti1 ) (t t)2 (t t)2 *n i1 n i . 2 F[r, r(r, t), z(r, t)] F() . выражена для краткости в явной форме в функции Таким образом, на каждом шаге по времени ts уравнение (15) сводится к нелинейному дифференциальному уравнению вида d2s 3 ds s s r r P(r, r, z) . (23) dr2 rdr Одним из принципов метода «шагов по времени» является вы- числение интегральных сумм (22) в правой части уравнения (23) в мо- мент времени ts1 , т.е. редукция к решению линейного дифференци- ального уравнения вида d2s 3 ds s1 s1 rr P(r, r , z ) . (24) dr2 rdr Если принять, что решение уравнения (24) совпадает в первом приближении с решением уравнения (23), получим возможность вы- числить новую интегральную сумму (22) и найти второе приближение искомого решения. Таким образом, уравнение (24) заменяется уравне- нием d2s( N1) 3 ds( N1) s( N) s1 rr P(r, r , z ) , (25) dr2 r dr где N – номер итерации в излагаемом методе последовательных при- ближений. Процесс нахождения решения на S-м шаге продолжается до тех пор, пока различие между последовательными приближениями не будет достаточно мало. Решение при S=1 (t=0) дается формулами (6). Интегрирование уравнений (24)(25) проводилось численным методом конечных разностей. Область интегрирования по rограничи- валась значением r=R(R>>1) и дискретизировалась точками ri одно- мерной сетки с переменным шагом ri(i 1, 2, 3,.) с целью повыше- ния точности аппроксимации. Это связано с большими градиентами напряжений вблизи внутреннего контура выработки и с быстрым их уменьшением с удалением вглубь массива. Значения s, s представ- r z лялись на каждом шаге по времени последовательностями дискретных значений в точках ri. При этом их производные по координатам ап- проксимировались обычными конечно-разностными соотношениями. Уравнение (25) в его конечно-разностной форме решалось методом прогонки [7]. В разработанном пакете программ учитывались особенности де- формирования соляных пород при различных условиях нагрузки, пре- дусмотренные феноменологической моделью [1]. В расчетной сетке по r в ходе решения выделялись 3 области: об- ласть линейного деформирования (i i ) ; область нелинейного де- формирования (i i ) ; область предельного деформирования (раз- рушения), в которой выполняется критерий перехода процесса дефор- мирования в предельную стадию. В соответствии с законами деформирования [1] в каждой из об- ластей вычислялись интегральные суммы (22) и после решения урав- нения (25) для r определялись неизвестные функции , z, r, . Заметим, что соотношения (16) и (19)(21) приведены для области не- линейного деформирования в запредельной стадии. Границы областей определяются на каждом шаге ts. С течением времени они перемеща- ются от контура выработки вглубь массива. Программа написана на языке ФОРТРАН и состоит из 11 моду- лей основной программы и 10 подпрограмм SUBROUTINE. Константы модели приняты по данным [1]. На рис. 1 представлены результаты расчетов НДС приконтурных пород по моделям нелинейной и линейной наследственной ползучести. Для модели линейной наследственной ползучести характерно, что ско- рость сдвиговых деформаций не зависит от уровня действующих на- пряжений (в ядре (13) отсутствует экспонента) и не происходит изме- нения объема во времени, т.е. при t>0 (Kv 0) . Анализ решения пока- зывает, что в массиве происходит релаксация напряжений, причем ре- лаксация проявляется в основном в первые часы существования выра- ботки. В случае линейной модели незначительная релаксация напря- жений (8%) имеет, по-видимому, «численную природу», т. е. характе- ризует погрешность решения задачи численным методом. В случае не- линейной наследственной модели релаксация напряжений появляется в значительно большей степени и имеет физическую природу, так как обусловлена разрушением приконтурных пород в процессе ползучести. Окружные деформации, а соответственно и смещения контура выработки U R0 , рассчитанные по нелинейной теории, значительно превосходят линейные, и это различие возрастает с глубиной H. Следует отметить, что численная реализация модели нелинейной наследственной ползучести требует больших затрат оперативной памя- ти машины, так как для вычисления интегральных сумм (22) необхо- димо «запомнить» все значения искомых функций на каждом шаге ts. s В ходе выполнения решения шагами по t накапливается численная по- грешность в искомом решении, что приводит на определенном шаге t* к неустойчивости итерационного процесса. Ситуацию можно улуч- шить измельчением шагов по времени, при этом, однако, повышаются требования к объему оперативной памяти машины, которая, как из- вестно, всегда ограничена. Обращение же к внешней памяти приводит к резкому (на 34 порядка) увеличению затрат машинного времени. Результаты, представленные на рис.1, получены при полном использо- вании оперативной памяти и оптимальном выборе шага по времени t с учетом интенсивности релаксации напряжений и затрат машинного времени. При этом итерационные процессы сходятся лишь до момента ty 860 часов. В дальнейшем наступает численная неустойчивость. Отметим, что выбор временной сетки ts является, вообще говоря, отдельной проблемой при решении задач наследственности и старения. Обратимся к модели старения, отличающейся от описанной тем, что ядра интегральных уравнений состояния принимаются в виде K[t, (t)] i(t) t , K[t, (t)] i(t)t . (26) c i ocexpbc сж v i ovexpbv сж В схеме описанного решения задачи (15)(17) – в этом случае из- менится лишь способ вычисления интегральных сумм, который для соотношения (22) преобразуется к виду t N t1 t1 F(t) F(t) t2 t2 |