Теория по математической статистике. Математическая статистика. Теория

• Название: Математическая статистика. Теория
• Анкор: Теория по математической статистике
• Дата: 23.03.2022
• Размер: 1.99 Mb.
• Имя файла: matstat_teoria.docx
• Тип: Документы; #411528
• страница: 3 из 4

Пояснив используемые символы, запишите симметричный по вероятности - доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании. Предполагается ли в этом случае нормальность генерального распределения?

Интервал является (1-α) – доверительным для в нормальной модели N(m, , когда параметр m=E(x) неизвестен.

– критическая точка хи-квадрат распределения с уровнем значимости с (n-1) степенями свободы

- критическая точка хи-квадрат распределения с уровнем значимости с (n-1) степенями свободы

S² – исправленная выборочная дисперсия, которая считается по формуле s²= - )².

26. 
    Как связаны эффективная оценка по Рао–Крамеру (если она существует) и оценка максимального правдоподобия? Ответ необходимо обосновать.
    

Пусть - несмещенная оценка параметра в параметрической модели , для которой выполнены условия регулярности, тогда справедливо: . Для эффективной оценки неравенство становится равенством.

Если существует эффективная оценка в смысле Рао-Крамера, то .

Док-во:

В этом случае имеет место уравнение факторизации .

27. 
    Сформулируйте определение доверительной оценки параметра с коэффициентом доверия .
    

Пусть . Будем говорить, что две статистики определяют границы доверительного интервала с коэффициентом доверия , если .

28. 
    Приведите формулы (с выводом) доверительного интервала для нормальной модели , когда параметр масштаба известен, а параметр сдвига не известен.
    

Вывод формулы. - стандартаная нормальная случайная величина.

29. 
    Приведите формулы (свыводом) доверительного интервала параметра сдвига для нормальной модели , когда параметр масштаба неизвестен.
    

Вывод формулы. - случайная величина;

30. 
    Дайте определение асимптотически доверительного интервала и приведите формулы асимтотически доверительного интервала коэффициента корреляции для двумерной нормальной модели.
    

Ассимптотическим доверительным интервалом параметра называется такой интервал , который с коэффициентом обладает свойством: .

31. 
    Какие выборки называются однородными? Сформулируйте критерий Пирсона по проверке с заданным уровнем значимости гипотезы об однородности нескольких выборок.
    

Гипотеза однородности или задача о двух выборках: Пусть X=(X1,...,Xn) выборка из распределения с некоторой неизвестной функцией распределения F1(x), а Y=(Y1,...,Ym) выборка из распределения с неизвестной функцией распределения F2(x). Гипотезой однородности является утверждение H0:

Критерий однородности Пирсона хи-квадрат.

Применяется к дискретным данным, конечное число N>=2 различных значений.

32. 
    Какие выборки называются однородными? Сформулируйте критерий Колмогорова–Смирнова по проверке с заданным уровнем значимости гипотезы об однородности двух выборок.
    

Гипотеза однородности или задача о двух выборках: Пусть X=(X1,...,Xn) выборка из распределения с некоторой неизвестной функцией распределения F1(x), а Y=(Y1,...,Ym) выборка из распределения с неизвестной функцией распределения F2(x). Гипотезой однородности является утверждение H0:

Критерий однородности Колмогорова–Смирнова.

Тестовая статистика

33. 
    Определите P-значение статистического критерия. Каким образом находится P-значение, если известно распределение статистики критерия ? Рассмотрите случай критической области вида
    

Пусть есть статистический критерий (X1,X2,...,Xn) с критической областью K и пусть имеется реализация случайной выборки . P-значением критерия PV( ) называется наименьшая величина уровня значимости при котором H0 отвергается PV(

Предположи что PV( ) удалось получить из определения следует что 1) если то гипотеза H0 принимается 2) иначе отвергается

Пусть T(X1,X2,...,Xn)=T( ) статистика критерия и случ. вел., t(x1,x2,...,xn)=t( ) значение статистики критерия, тогда

1. 
   Если k={ t(x1,x2,...,xn)>c2} то p1= =
   
2. 
   Если k={ t(x1,x2,...,xn) =
   
3. 
   Если k={ t(x1,x2,...,xn)>c2 и t(x1,x2,...,xn) =min{p1,p2}
   

34. 
    Сформулируйте общую схему проверки гипотезы о вероятностях событий, образующих полную группу, по критерию Пирсона без оценки неизвестных параметров.
    

ПРОПИСАТЬ.

35. 
    Сформулируйте односторонний, с заданным уровнем значимости , критерий по проверке гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных распределений с неизвестными равными дисперсиями. Укажите также двусторонний вариант данного критерия.
    

Пусть X ( ) – выборка из N( , ), а Y = ( )– выборка из нормального распределения N( , ). Выборки X и Y независимы. Генеральные дисперсии - неизвестны, но равны: .

Основная гипотеза

Альтернативная гипотеза , 2. , 3.

В качестве несмещенной оценки параметра применяется следующая статистика:





В качестве статистики критерия рассмотри следующую случайную величину:



Если верна ( ), то случ. величина T∼t(m + n - 2) распределена по закону Стьюдента.

При проверке против при неизвестной генеральной дисперсии используется статистика критерия T(в таблице t), а критическая область K выбирается по таблице

	K

(m + n − 2) – верхняя процентная точка распределения Стьюдента с m + n − 2 степенями свободы, α – требуемый уровень значимости.

36. 
    Опишите общую схему проверки статистических гипотез. Определите понятия: критическая область, уровень значимости, мощность критерия. Какие гипотезы называются простыми(сложными)?
    

Пусть Статистической гипотезой называется любое утверждение о виде или о параметрах . Параметрическая гипотеза – простая, если она имеет вид θ= Если θ∈Θ, где Θ содержит по крайней мере 2 элемента, то гипотеза – сложная.
Пусть K – некоторое подмножество . Статистическим критерием с критической областью K⊂ называется правило, в соответствии с которым отвергается, если выборка ( ) попадает в критическую область К, т.е. , и принимается, если
Ошибка I рода: отвергается , когда, на самом деле, она верна.

Ошибка II рода: отвергается , когда, на самом деле, верна.

Вероятность ошибки I рода называется уровнем значимости критерия α.

Вероятность ошибки II рода называется уровнем значимости критерия β.

Мощность критерия: W=1-β.

37. 
    Приведите вероятностную интерпретацию ошибок первого и второго рода, а также мощности критерия в случае простых нулевой и альтернативной гипотез.
    

Вероятность ошибок I и II рода и мощность критерия находятся в соответствии с таблицей:

t: , c = const

Критическая область для K={t > c}	Критическая область для K={t < c}
α= ( )>c)	α= ( )
β= ( )≤c)	β= ( )≥c)
W= ( )>c)	W= ( )