Теория по математической статистике. Математическая статистика. Теория

• Название: Математическая статистика. Теория
• Анкор: Теория по математической статистике
• Дата: 23.03.2022
• Размер: 1.99 Mb.
• Имя файла: matstat_teoria.docx
• Тип: Документы; #411528
• страница: 1 из 4

Математическая статистика. Теория.

1. 
   Дайте определение случайной величины, которая имеет гамма-распределение и выведите основные свойства гамма-распределения. Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии гамма-распределения.
   

Определение:

Случайная величина (имеет гамма-распределение), если плотность распределения


Основные свойства гамма-распределения:

1. 
   В частности, если
   
2. 
   Гамма-распределение бесконечно делимо (на лекциях этого не было, взято из интернета).
   
3. 
   Если и – независимые случайные величины, , то .
   
4. 
   Если а – произвольная константа, то (это тоже).
   
5. 
   Пусть и пусть . Тогда
   

Математическое ожидание и дисперсия:

Если , то

2. 
   Дайте определение случайной величины, которая имеет -распределение с степенями свободы. Запишите плотность -распределения. Выведите формулы для математического ожидания и дисперсии -распределения с степенями свободы.
   

Определение:

Пусть – независимые одинаково распределенные случайные величины, Обозначим

Распределение случайной величины называется распределением хи-квадрат с степенями свободы.
Обозначение: .

Плотность:

Пусть , тогда плотность распределения имеет следующий вид:



Математическое ожидание и дисперсия:

Если , то

3. 
   Дайте определение случайной величины, которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Как связаны распределение Коши и распределение Стьюдента? Запишите плотность распределения Стьюдента с 4 степенями свободы.
   

Определение:

Распределение случайной величины , называется распределением Стьюдента с степенями свободы.

Обозначение:

Плотность задается формулой:



Связь распределения Коши и распределения Стьюдента:

Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

Плотность распределения с 4 степенями свободы:

4. 
   Дайте определение случайной величины, которая имеет распределение Фишера с и степенями свободы. Запишите плотность распределения Фишера с и степенями свободы. Какой закон распределения имеет случайная величина , если случайная величина имеет распределение Фишера с и степенями свободы? Ответ необходимо обосновать.
   

Определение:

Пусть – независимые случайные величины. Распределение случайной величины


называется распределением Фишера с и степенями свободы.

Обозначение:

Плотность:

Пусть , тогда плотность определяется формулой:



Распределение 1/F:

Пусть , тогда

– независимые случайные величины.

5. 
   Дайте определения процентной точки и квантили. Укажите связь между процентными точками и квантилями. Сформулируйте основные свойства процентных точек. Выведите формулу для нахождения процентной точки стандартного нормального закона распределения через функцию Лапласа
   

Определение:

• 
  -квантилем (или квантилем уровня/порядка или левосторонней критической границей) называется решение уравнения , где – функция распределения.
  
• 
  Квантиль уровня называется процентной точкой и обозначается (или называется правосторонней критической границей или верхней процентной точкой).
  

Связь между квантилем и процентной точкой:



Свойства процентных точек:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   .
   

Формула нахождения процентной точки стандартного нормального закона через функцию Лапласа:

6. 
   Сформулируйте определение случайной выборки из конечной генеральной совокупности. Какие виды выборок вам известны? Перечислите (с указанием формул) основные характеристики выборочной и генеральной совокупностей.
   

Случайной выборкой из конечной генеральной совокупности называют результат множества наблюдений , где n – объем выборки, отобранной случайным образом из генеральной совокупности.

По методу отбора различают повторную и бесповторную выборки.

Повторной выборкой называется совокупность, образованная по следующей схеме: сначала из генеральной совокупности случайным равновероятным образом извлекается один элемент; затем этот элемент возвращается в генеральную совокупность и все повторяется, пока не будет отобрано необходимое число элементов.

Бесповторной выборкой называется совокупность, образованная по аналогичной схеме, но с одним отличием – отобранные элементы в генеральную совокупность не возвращаются.

№ п/п	Характеристики	Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
1.	Объем совокупности	N	n
2.	Численность единиц, обладающих обследуемым признаком	M	m
3.	Доля единиц, обладающих обследуемым признаком
4.	Средний размер признака (генеральное и выборочное среднее)
5.	Дисперсия количественного признака

Здесь ‘x=Х – случайная величина.

7. 
   Сформулируйте определение случайной выборки из распределения. Как в этом случае определяются: выборочное среднее, начальные и центральные моменты выборки, функция распределения выборки? Что в данном контексте означает генеральное среднее?
   

Случайной выборкой объёма n из распределения ℒ назыв. набор Х₁,…,Х_n – n случ. вел. с одним и тем же законом распределения ℒ.

Выборочное (эмпирическое) среднее

начальный момент

центральный момент

функция распределения

Генеральное среднее ‒ среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности

1. Если значения признака различны, то



2. Если значения признака имеют частоты

8. 
   Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочной доли в случае повторной (бесповторной) выборки. Поясните все используемые обозначения.
   

Отношение (соответственно называется генеральной (соответственно выборочной) долей значения x_i признака X. Где и объем генеральной и выборочной совокупности соответственно.

Пусть p – генеральная, а – выборочная доля какого-либо значения x₁ признака X, q=1-p. Тогда:

в случае повторной или бесповторной выборки

в случае повторной выборки

в случае бесповторной выборки

9. 
   Сформулируйте определение выборочной функции распределения и докажите ее сходимость по вероятности к теоретической функции распределения. Выведите формулы для математического ожидания и дисперсии выборочной функции распределения.
   

См определение в док-ве. Эмпирическая ф.р. = выборочная ф.р.

10. 
    Дайте определение k-ой порядковой статистики. Выведение формулы для функций распределений экстремальных статистик.
    

Пусть {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}  - конечная выборка из некоторого распределения{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}, определённая на некотором вероятностном пространстве (ꭥ, Ƒ, · ){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}. Пусть  {\displaystyle \omega \in \Omega } ꭥ и  {\displaystyle x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n}. Перенумеруем последовательность {\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}  в порядке неубывания, так что .

Эта последовательность называется вариационным рядом. Вариационный ряд и его члены являются порядковыми статистиками. Случайная величина  {\displaystyle X_{(k)}(\omega )=x_{(k)}}называется {\displaystyle k}k-ой порядковой статистикой исходной выборки.

и – экстремальные статистики.

Ф-ия распред. :



Ф-ия распред. :