Теория по математической статистике. Математическая статистика. Теория

• Название: Математическая статистика. Теория
• Анкор: Теория по математической статистике
• Дата: 23.03.2022
• Размер: 1.99 Mb.
• Имя файла: matstat_teoria.docx
• Тип: Документы; #411528
• страница: 4 из 4

Сформулируйте односторонний, с заданным уровнем значимости , критерий по проверке гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями. Укажите также двусторонний вариант данного критерия.

Пусть X ( ) – выборка из N( , ), а Y = ( )– выборка из нормального распределения N( , ). Выборки X и Y независимы. Известны их дисперсии .

Основная гипотеза .

Альтернативная гипотеза , 2. , 3.

В качестве статистики критерия рассмотрим случайную величину:

При проверке против применяется критерий с критической областью K, определяемой по таблице

	K

Где - процентная точка стандартного нормального распределения N(0;1), т.е. – уровень значимости.

39. 
    Сформулируйте односторонний, с заданным уровнем значимости , критерий по проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных распределений. Укажите также двусторонний вариант данного критерия.
    

Пусть имеются 2 независимые выборки из нормальных распределений:



Далее считаем, что все четыре параметра неизвестны. В качестве основной гипотезы примем а в качестве альтернативной – одну из трех гипотез:

1)
2)
3)
При построении критериев по проверке с заданным уровнем значимости  применяется следующая теорема.

40. 
    Сформулируйте лемму Неймана–Пирсона в случае проверки двух простых гипотез. Приведите пример построения наиболее мощного критерия.
    

41. 
    Сформулируйте критерий независимости хи-квадрат Пирсона. Приведите явный вид статистики критерия в случае 2x2-таблицы сопряженности.
    

Пусть есть 2 дискретные случайные величины X, Y. Требуется проверить, что X и Y независимы.
Пусть – возможные значения X
– возможные значения Y.
Множество значений случайной величины Z = (X, Y) распадается на N = s*t прямоугольников вида .
число наблюдений (пар) вида ( ).
.

Таблица сопряжённости:

X	Y					Σ
	B1		B2	…	Bt
A1	K11		K12	…	K1t
A2	K21		K22	…	K2t
…	…		…	…	…	…
As	Ks1		Ks2	…	Kst
Σ				…

, где – сколько раз наблюдалось по всем рядам, – сколько раз наблюдалось значение .

Пусть ,

верна:

. В случае s = t = 2:

X	Y
	B1	B2
A1	a	b
A2	c	d

Критическая область .

42. 
    Сформулируйте определение асимптотически нормальной оценки и приведите пример такой оценки (с доказательством).
    

Асимптотически нормальная оценка — оценка, распределение которой стремится к нормальному при увеличении размера выборки. Пусть  {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots } — выборка из распределения {\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }} , зависящего от параметра {\displaystyle \theta \in \Theta } . Точечная оценка {\displaystyle {\hat {\theta }}}  называется асимптотически нормальной с дисперсией {\displaystyle \sigma \ ^{2}(\theta )} , если{\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\to Z}  по распределению при  {\displaystyle n\to \infty }, где – нормальная случайная величина.

Пример:
Пусть – выборка из непрерывного равномерного распределения, где . Пусть , где – выборочное среднее, а , где . Можно заметить, что первая оценка является асимптотически нормальной с дисперсией , а вторая – нет. {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots } {\displaystyle Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta )\right)}