Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О СИСТЕМАХ И ИХ МОДЕЛЯХ 1.1 Предварительные замечания Прежде чем обсуждать непосредственно математические основы тео- рии систем, следует определить само понятие системы. О системах, "системности", "системном подходе", "системном анали- зе", "теории систем" и т.п. пишут и говорят часто. Многое из того, что вчера называли единым, комплексным, целостным и т.п., сегодня назы- вают модным теперь словечком "системный". Но за этой модой, и это подчеркивают не только ученые, но и инженеры, педагоги, организаторы производства, деятели культуры и другие, стоит широкое осознание си- стемности как одной из важных характеристик окружающего нас мира и осмысления ее как особого измерения этого мира. Осознание системности мира пришло не сразу и с трудом. Но оно не могло не прийти. Системные представления возникли по объективным причинам и развиваются под действием объективных факторов. 1.1.1. Системность человеческой практики Возьмем практическую деятельность человека, то есть его активное и целенаправленное воздействие на окружающую среду. Оно системно. Позже рассмотрим все признаки системности, а сейчас следует отметить только самое необходимое и очевидное: − структурированность системы, − взаимосвязанность составляющих ее частей, − подчиненность организации всей системы определенной цели. По отношению к человеческой деятельности эти признаки очевидны: − всякое осознанное действие преследует определенную цель; − во всяком действии можно выделить составные части; − эти составные части выполняются не произвольно, а в определен- ном порядке. Это и есть определенная, подчиненная цели взаимосвязь составных частей. Можно встретить и другое менее удачное название для такого постро- ения деятельности: алгоритмичность. От алгоритма в математическом смысле здесь осталось только расчлененность на части этих шагов. 9 Следует учитывать, что роль системных представлений в практике постоянно растет. В качестве примера можно привести повышение производительности труда. Низший уровень системности: механизация. Естественный предел механизации – сам человек, который управляет работой механизмов. Следующий уровень системности – автоматизация. В этом случае во- обще исключаем человека из производственного процесса: на машины возлагаем не только выполнение непосредственно самой работы, но и выполнение операций по регулировке хода, течению процесса работы: автопилот, самонаведение ракеты, станок с числовым программным управлением, автоматические линии. Особое место здесь, конечно, игра- ют ЭВМ. Однако полностью возлагать на машину можно только те рабо- ты, которые детально изучены, подробно и полно описаны, точно извест- но, что именно, в каком порядке и как надо делать в каждом случае, и точно известны все случаи и обстоятельства, в которых может оказаться автоматическая система. Другими словами, можно автоматизировать процесс, если он алгоритмизирован в математическом понимании слова алгоритм. Естественный предел автоматизации – это непредвиденные условия и невозможность формализации практических действий: это руководство человеческими коллективами, проектирование и эксплуатация крупных технических комплексов, воздействие на живые организмы (на человека), на природу, то есть те случаи, когда приходится взаимодействовать со сложными системами. Точное определение сложных систем будет дано позднее, а пока можно привести только один признак – это неформализу- емость ряда процессов, происходящих в системе. Повышение эффективности такого взаимодействия − это тоже необ- ходимость, и, естественно, есть свои пути решения возникающих тут проблем. Такой путь – это третий уровень системности практической деятельности человека: кибернетизация. Основная идея решения этой проблемы состоит в том, чтобы в случа- ях, когда автоматизация невозможна, использовать то свойство человека, которое называется интеллектом, а именно: способность ориентировать- ся в незнакомых условиях и находить решения слабо формализованных или неформализованных задач. Это выполнение таких операций, как экс- пертная оценка или сравнение неколичественных или многомерных ва- риантов, принятие управленческих решений, взятие на себя ответствен- ности и т.п. Таким образом, получаются автоматизированные (в отличие от авто- матических) системы. И это не конец кибернетизации, а скорее, ее нача- 10 ло. Дальше − создание искусственного интеллекта. Это отдельный разго- вор и предмет других курсов, например курса "Прикладные системы ис- кусственного интеллекта". 1.1.2. Системность познавательных процессов и природы Сам процесс познания является системным, и знания, добытые чело- вечеством, также системны. Природа бесконечна в своем многообразии. Неограниченно и желание человека в познании окружающего мира. Од- нако ресурсы человека, как временные, так и материальные, ограничены. Одна из особенностей познания, которая позволяет постепенно, шаг за шагом разрешать это противоречие – это наличие аналитического и син- тетического образа мышления. Суть анализа – разделение целого на ча- сти, представление сложного в виде совокупности простых компонент. Обратный процесс – синтез. Сами полученные знания тоже, с одной стороны, являются аналити- ческими, и это отражается в существовании различных узких наук, а с другой – имеется необходимость в синтетических пограничных науках, типа физикохимии, биохимии и т.п. Другая форма синтетических знаний – это существование наук, изучающих общие закономерности, таких, как философия, метаматематика, а также системных наук – кибернетики, теории систем и других. По современным представлениям системность понимается не только как свойство человеческой практики, но и как свойство всей материи. Системность мышления вытекает из системности окружающего нас ми- ра. Можно говорить о мире как о бесконечной иерархической системе систем, находящихся на разных стадиях развития, на разных уровнях иерархии, взаимодействующих друг с другом. Таким образом, систем- ность природы не только логически выводится в рамках теоретических построений, но и практически выявляется в реально наблюдаемых явле- ниях, как с участием человека, так и без него. 1.1.3. Общие свойства систем Независимо от того, как понимается системность (системность мыш- ления, познания либо как свойство природы), все исследователи призна- ют, что имеются определенные признаки, свойства, черты, присущие лю- бой системе независимо от ее происхождения. Приводимый ниже список таких свойств не является, конечно, пол- ным, но наиболее важные моменты в этом списке отражены [5]. 11 1. Всякая система обладает целостностью, обособленностью от окру- жающей среды, выступает как нечто отдельное, целое. 2. Обособленность системы не означает ее изолированности: имеется связь с внешней средой, взаимодействие, обмен энергией, материей, ин- формацией. В этом смысле любая система является открытой, незамкнутой. 3. Целостность системы не есть однородность и неделимость: в си- стеме можно выделить определенные составные части. 4. Наличие составных частей не означает, что эти части изолированы друг от друга. Части как раз и образуют систему благодаря связям между ними. Открытость системы (п. 2) означает, что ее части связаны и с внешней средой. Целостность же системы (п. 1) означает, что внутренние связи между частями, образующими систему, в каком-то смысле важнее, сильнее, чем внешние связи. 5. Целостность системы обусловлена тем, что система обладает таки- ми свойствами, которые отсутствуют у составляющих ее частей. То есть свойства системы не сводятся к свойствам ее частей, не являются про- стой суммой этих свойств. При объединении частей в систему возникают качественно новые свойства, которые и позволяют выделять и описывать объект именно как систему. Это помогает прояснить разницу между внутренними и внешними связями: свойства системы как целого прояв- ляются в ее взаимодействии с окружающей средой (т. е. реализуются че- рез внешние связи как функция системы), однако сами эти свойства воз- никают и могут существовать только благодаря взаимодействию частей (т. е. благодаря внутренним связям, обусловленным структурой систе- мы). 6. Еще один аспект целостности системы: изъятие какой-либо части из системы приводит к потере некоторых существенных свойств системы – получается уже другая система. Изъятая часть также теряет определен- ные свойства, которые могли реализовываться лишь до тех пор, пока эта часть находилась в системе. 7. Свойство под номером 2, то есть взаимосвязанность системы с окружающей средой, означает, что эта система входит как составная часть в некоторую большую систему. В результате мир можно предста- вить как иерархическую систему вложенных друг в друга, перекрываю- щихся полностью или частично либо вообще разделенных, но взаимосвя- занных и взаимодействующих систем. 8. При характеристике систем важным моментом является понятие цели, которая, в общем, определяет и структуру, и функции системы. Функцию системы можно интерпретировать как проявление целеустрем- ленности системы, т. е. функция – это способ достижения системой цели, 12 а структура обеспечивает реализацию этого способа. Рассмотрение целей системы становится одной из важнейших проблем системологии. 9. Важным свойством систем является их динамика, то есть изменение во времени в результате внутренних и внешних воздействий. Многие явления в системах невозможно понять без учета их динамики. 1.2 Модели и моделирование 1.2.1. Понятие модели и его развитие Понятие модели, моделирования, т. е. построения, использования и совершенствования моделей чрезвычайно важны в теории систем. Сначала моделью называли некоторое вспомогательное средство, объект, который в определенный степени заменяет другой объект. Не сразу была понята и всеобщность моделирования: именно не просто воз- можность, но и необходимость представления наших знаний в виде мо- делей. Таким образом, довольно долго понятие «модель» относилось к материальным объектам специального вида: манекен, модели судов, са- молетов, чучела. Осмысление особенностей таких моделей привело к разработке мно- гочисленных определений понятия модели, например: моделью называ- ется объект-заменитель, который в определенных условиях может заме- нить объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и ха- рактеристики оригинала, причем имеет существенные преимущества в виде наглядности, обозримости, доступности испытаний или другие. Затем были осознаны модельные свойства чертежей, рисунков, пла- нов, карт, то есть объектов искусственного происхождения, реализующих абстракцию довольно высокого уровня. Очередной этап понимания модели – это признание того, что моделя- ми могут быть не только реальные объекты, но и идеальные абстрактные построения. Классический и наиболее широко применяемый пример та- ких моделей – математические модели. Как известно, моделью в мате- матике называется алгебраическая структура, в которой множество опе- раций пусто и есть только отношения, то есть модель понимается как результат отображения с помощью этих отношений одного множества математических объектов на другое множество. В результате развития метаматематики была создана содержательная теория моделей. В 20-м веке понятие модели становится все более широким, включа- ющим и реальные, и идеальные модели. При этом понятие абстрактной 13 модели вышло далеко за пределы математических моделей и стало отно- ситься к любым знаниям и представлениям о мире. Споры, кстати, вокруг такого широкого толкования модели продолжаются и поныне. Окончательно можно сказать, что сначала в сфере научных дисци- плин, таких, как информатика, математика, кибернетика, а затем и в дру- гих областях понятие модели стало осознаваться как нечто универсаль- ное, хотя и реализуемое различными способами. Можно также сказать, что модель есть способ существования знаний. Важно подчеркнуть также целевой характер модели. Всякий процесс труда (и отдыха, кстати) есть деятельность, направленная на достижение определенной цели. Цель – это образ желаемого будущего, то есть мо- дель состояния, на реализацию которого направлена деятельность. Более того, системность деятельности проявляется помимо прочего и в том, что осуществляется по определенному плану, шаг за шагом. Следовательно, этот план – образ будущей деятельности, ее модель. Модель, таким образом, не просто объект-заменитель, не вообще ка- кое-то отображение оригинала, а отображение целевое. Модель отобра- жает не сам по себе объект, а то, что в нем нас интересует в соответствии с поставленной целью. Например, лежит камень на дороге. Для проходя- щего или проезжающего путешественника могут представлять интерес разные модели этого камня, отражающие разные его свойства, в зависи- мости от целей, которые путешественник перед собой ставит: − камень как орудие для забивания гвоздя в подметку; − камень как носитель руды для геолога; − камень как место для отдыха; − камень как помеха автомобилю; − камень как орудие преступления для бандита с большой дороги; − и т.д. 1.2.2. Типы моделей Поскольку модель является целевым отображением, то и различных моделей одного и того же объекта может быть множество. Целевая предназначенность моделей позволяет все множество моде- лей разделить на основные типы – по типам целей. Один из примеров такого деления целей – это цели теоретические и практические. В соответствии с этим можно говорить о моделях позна- вательных и прагматических соответственно. В известной степени это деление условно, но и различия достаточно очевидны. Основное отличие между этими типами моделей – в отношении к оригиналу. 14 Познавательные модели являются формой организации и представле- ния знаний, средством для соединения новых знаний с уже имеющимися. Поэтому в случае расхождения между моделью и реальностью эти рас- хождения устраняются путем изменения модели. Прагматические модели – это средство управления, средство органи- зации практического действия, образцово-правильные действия или их результаты. Поэтому использование прагматических целей предполагает изменение реальности с тем, чтобы приблизить реальность к модели. Например, карта или план местности может выступать как познава- тельная модель для картографа, составляющего или уточняющего эту карту, и может являться прагматической моделью для строителя, осу- ществляющего возведение каких-либо объектов по данному плану. Еще один достаточно важный вид классификации моделей − модели статические и динамические. Когда нас в конкретном объекте интересует не изменение его состояния во времени, а некоторое фиксированное, ста- тическое состояние, мы имеем дело со статическими моделями. Струк- турная модель системы – яркий пример статической модели. Если же наши цели связаны с различием между состояниями, с их изменениями, с их динамикой, то возникает необходимость в отображении процесса из- менения состояний. Такие модели называют динамическими. Следующее основание классификации моделей − по способам их реа- лизации. Нас в первую очередь интересуют модели, создаваемые челове- ком, а в его распоряжении есть два типа материала для построения моде- лей − средства самого сознания и средства окружающего материального мира. А раз так, то и модели можно поделить на абстрактные (идеаль- ные) и материальные (реальные или вещественные). Абстрактные модели – это идеальные конструкции, построенные средствами сознания. Особый интерес из них представляют модели, предназначенные для общения между людьми, а среди этих моделей − модели, создаваемые средствами языка, т. е. языковые модели. Естественный язык (русский, английский, немецкий и др.) является универсальным средством построения любых абстрактных моделей. Эта универсальность обеспечивается не только возможностью введения но- вых слов в язык, но и возможностью иерархического построения все бо- лее развитых языковых моделей (слово – предложение – текст). Неодно- значность, размытость, неопределенность естественного языка (начиная уже на уровне слов) также способствует универсальности языковых мо- делей. На практике эта неоднозначность ликвидируется с помощью «по- нимания» и «интерпретации». Но рано или поздно эта размытость начи- 15 нает мешать, и тогда на помощь приходят профессиональные языки, вы- рабатываемые людьми одной профессии. Наиболее ярко это проявляется в конкретных науках. Дифференциа- ция наук потребовала создания специализированных языков, более точ- ных, емких и конкретных, чем естественный язык. Языковые модели специальных наук более точны, более компактны, содержат больше ин- формации. Для представления новых знаний требуются новые модели, и если существующих языковых средств не хватает для построения этих моде- лей, то возникают еще более специализированные языки. В результате приходим к иерархии языков и соответствующей иерархии моделей (см. рис 1.1). На нижнем уровне каждой ветви этого иерархического дерева расположены модели, имеющие максимально достижимую точность и определенность для сегодняшнего состояния области знаний. В идеале на нижнем уровне находятся математические модели, созданные на языке математических символов и обладающие абсолютной точностью. В противоположность абстрактным моделям, материальная конструк- ция может быть моделью некоторого объекта, только если между моде- лью и оригиналом установлено отношение похожести или подобия. При- нято выделять три основных способа установления такого подобия. 1. Подобие, устанавливаемое в результате физического взаимодей- ствия в процессе создания модели. Это прямое подобие. К таким моделям относятся модели кораблей, самолетов, макеты зданий, протезы, шабло- ны, выкройки, фотографии. Прямое подобие может обладать лишь отда- ленным сходством с оригиналом, но только при прямом подобии воз- можна взаимозаменяемость оригинала и модели. Но все же, как бы ни была хороша модель, возникают проблемы переноса результатов моде- Естественный язык Профессиональный язык Рис. 1.1. Иерархия языковых моделей Математическое описание 16 лирования на оригинал. Такие проблемы часто становятся нетривиаль- ными, и для их решения существует разветвленная, содержательная и в достаточной степени формализованная теория подобия, относящаяся именно к моделям прямого подобия. 2. Второй тип подобия в противоположность первому можно назвать косвенным. Оно устанавливается не в результате физического взаимодей- ствия оригинала и модели, а объективно существует в природе и обнару- живается в виде совпадения (или достаточной близости) их абстрактных моделей. Наиболее яркий пример − электромеханическая аналогия. Ме- ханические и электрические процессы описываются одними и теми же уравнениями (т.е. имеют одинаковые абстрактные модели), различие со- стоит лишь в разной физической интерпретации входящих в эти уравне- ния переменных. В результате эксперименты с громоздкой и неудобной механической системой могут быть заменены более удобным манипули- рованием с электрической схемой. Роль аналогий, то есть косвенного подобия, в науке, технике и практике трудно переоценить, они часто не- заменимы. 3. Третий тип реальных моделей образуют модели, в которых подобие оригиналу устанавливается в результате некоторого соглашения, догово- ренности. Назовем это подобие условным. Пример: деньги (модель стои- мости), сигналы (модель сообщений), рабочие чертежи (модели будущей конструкции). Модели условного подобия являются, по сути, способом материальной реализации абстрактных моделей, вещественной формой, в которой абстрактные модели воспринимаются, хранятся и передаются от человека к человеку. Достигается это соглашением о том, какое состоя- ние оригинала ставится в соответствие данному элементу абстрактной модели. Такое соглашение принимает вид набора правил для построения моделей условного подобия и правил пользования ими. Специфические модели условного подобия − сигналы − применяются в различных областях науки и техники, которые имеют дело с техниче- скими системами, функционирующими без участия человека (теория свя- зи, теория информации, радиотехника, теория управления и другие). С других позиций рассматриваются модели условного подобия там, где эти модели используются самим человеком. При этом для использо- вания таких моделей применяются специальные средства – знаки. Знака- ми могут быть буквы алфавита, математические значки, звуки, движения брачного танца у животных и т.п. Наука об осмысленных знаковых си- стемах называется семиотикой. Последовательности знаков – это тексты. Правила, определяющие множество текстов, называются синтаксисом. 17 Описание множества смыслов и его соответствие множеству текстов об- разует семантику. 1.2.3. Свойства моделей Чтобы модель отвечала своему назначению, недостаточно иметь мо- дель саму по себе: необходимы и определенные условия, обеспечиваю- щие ее функционирование. Отсутствие или недостаточность таких усло- вий лишает модель ее модельных свойств, не позволяет раскрыть ее по- тенциальные возможности. Необходимо, чтобы модель была согласована с окружающей средой, в которой ей предстоит функционировать. Это самое общее свойство моделей при необходимости можно и конкретизи- ровать, выявляя отдельные аспекты такого согласования. В частности, очень важным моментом является обеспечение ресурсами (в том числе и материальными). Кроме того, не только в модели должны быть интер- фейсы со средой, но и в самой среде должны быть реализованы подси- стемы, другие модели и алгоритмы, потребляющие результаты ее функ- ционирования, управляющие и контролирующие ход процесса моделиро- вания. Рассмотрим свойства модели, которые определяют ценность самого моделирования, т. е. отношение моделей с отображаемым ими объекта- ми: чем отличаются модели от оригинала и что у них общего. Главные отличия модели от оригинала это конечность, упрощенность и прибли- женность. Конечность абстрактных моделей сомнений не вызывает, так как они сразу наделяются конечным набором свойств. Но модели материальные – это некоторые вещественные объекты и как всякие объекты они беско- нечны, в том числе и в своих связях с другими объектами. Здесь-то и проявляется различие между самим объектом и тем же объектом, исполь- зуемым в качестве модели другого объекта. Из необозримого множества свойств объекта-модели выбираются, рассматриваются и используются только некоторые свойства, подобные интересующим нас свойствам объ- екта-оригинала. Наиболее наглядно конечность видна в знаковых моде- лях. Таким образом, модель подобна оригиналу в конечном числе отно- шений – это главный аспект конечности реальных моделей. Следующие факторы позволяют с помощью конечных моделей отоб- ражать бесконечную действительность (и не просто отображать, а отоб- ражать эффективно, то есть достаточно правильно): упрощенность и при- ближенность модели. 18 Можно, прежде всего, отметить, что сама конечность моделей делает их упрощенность неизбежной, но это ограничение не настолько сильно, как кажется на первый взгляд. Гораздо важнее то, что в человеческой практике упрощенность является вполне допустимой, а для некоторых целей не только достаточной, но и необходимой. Какие из свойств объекта включать в модель, а какие нет, зависит от целей моделирования, и выбор цели определит, что можно и нужно от- бросить и в каком направлении упрощать модель. Упрощение – сильное средство в выявлении главных эффектов; идеальный газ, несжимаемая жидкость, абсолютно черное тело и т.д. Следующая причина упрощенности модели – необходимость опери- ровать с ней и связанное с этим ресурсное ограничение. Мы вынужденно упрощаем модель, так как не знаем, как работать со сложной моделью или у нас нет требуемых ресурсов (материальных, энергетических, вре- менных) для создания сложной модели. Под приближенностью (приблизительностью) отображения действи- тельности с помощью модели будем иметь в виду различия, описываемые отношением порядка: количественные (больше – меньше) или хотя бы ранговые (лучше – хуже). Приближенность модели может быть очень высокой (удачные под- делки, например, денег), а может быть видна сразу или варьироваться (географическая карта в разных масштабах), но во всех случаях модель – это другой объект и различия неизбежны. Меру различий мы можем вве- сти, только соотнеся эти различия с целью моделирования (опять цель!). Общность модели и моделируемого объекта можно пояснить поняти- ем адекватности. Модель, с помощью которой успешно достигается по- ставленная цель, назовем адекватной этой цели. Такое определение адек- ватности, вообще говоря, не полностью совпадает с полнотой, точностью и истинностью модели, а лишь в той мере, которая необходима для до- стижения цели моделирования. В некоторых случаях удается ввести меру адекватности модели, т. е. указать способ сравнения двух моделей по степени успешности достижения цели. Если такой способ приводит еще и к количественной оценке адекватности, то задача улучшения модели существенно облегчается. В этих случаях можно количественно ставить (и успешно решать!) следующие задачи: − задачи по идентификации модели (т. е. о нахождении в заданном классе моделей наиболее адекватной), − задачи по исследованию чувствительности и устойчивости модели (т. е. зависимости меры адекватности модели от ее точности), 19 − задачи по адаптации модели (т. е. настройки параметров или струк- туры модели с целью повышения меры адекватности) и т.д. Теперь еще раз вернемся к истинности модели. Поскольку различия между моделью и реальностью неизбежны и неустранимы, возникает вопрос: существует ли предел истинности, правильности наших знаний, сконцентрированных в моделях? Рассмотрение проблемы истинности знаний с философских позиций оставим философам, а наша задача кон- кретнее: обратить внимание на сочетание истинного и предполагаемого (могущего быть как истинным, так и ложным) во всех моделях. Об истинности и ложности модели самой по себе говорить бессмыс- ленно: только практическое соотнесение модели с отображаемым ориги- налом выявляет степень истинности. При этом изменение условий, в ко- торых ведется сравнение, весьма существенно влияет на результат. Каж- дая модель явно или неявно содержит условие своей истинности, и одна из опасностей (и весьма существенная) практики моделирования состоит в применении модели без проверки выполнения этих условий. Еще один важный момент соотношения истинного и предполагаемого при построении моделей состоит в том, что ошибки в предположениях имеют разные последствия для прагматических и познавательных целей. Если для первых они нежелательны и даже вредны, то для вторых поис- ковые предположения, гипотезы, истинность которых еще предстоит проверить – единственная возможность оторваться от фактов. Весьма важным свойством любой модели является динамика. Как и все в мире, модели проходят свой жизненный цикл: они возникают, раз- виваются, сотрудничают или соперничают с другими моделями, прекра- щают свое существование. Изучать динамику развития модели невоз- можно без моделирования самого процесса моделирования, отдельных его этапов, шагов, последовательностей действий. Многие исследователи искали последовательность наиболее эффективных этапов при работе с моделью, пытались алгоритмизировать этот процесс. Но выяснилось, что не существует единого, пригодного для всех случаев алгоритма работы с моделью. Этому можно привести много причин, но с методологической точки зрения – это одна из алгоритмически неразрешимых проблем в рамках теории алгоритмов. Резюмируя вышесказанное, можно дать одно из многочисленных определений модели [5]. Модель есть отображение: целевое, абстракт- ное или реальное, статическое или динамическое, согласованное со сре- дой, конечное, упрощенное, приближенное, имеющее наряду с безусловно- истинным условно-истинное и ложное содержание, проявляющееся и развивающееся в процессе его создания и использования. |