Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
модель есть системное отображение действительности. 1.3 Системы, их общее описание и классификация Перейдем теперь к системам. Понятие системы очень важно, и многие авторы анализировали это понятие, уточняли и развивали его до разной степени формализации. Существует очень много определений системы. Вспоминая то, что говорилось о моделях, эта множественность понятна – определение есть не что иное, как модель (языковая) и, следовательно, различие целей и требований к модели приводит к разным определениям. Попытаемся дать определение системы в развитии, поэтапно уточняя, развивая и конкретизируя модель на пути от естественно-языковой до математической. 1.3.1. Первое определение системы. Модель «чёрный ящик» Будем рассматривать искусственные системы. Выше речь уже шла о том, что человеческая деятельность целенаправленна. Наиболее ярко это проявляется в трудовой деятельности. Однако цель, которую человек перед собой ставит, редко достигается только собственными возможно- стями. Такое несоответствие желаемого и действительного можно оха- рактеризовать как проблемную ситуацию. Проблемная ситуация развива- ется постепенно: от неосознанного чувства неудовлетворенности к осо- знанию потребности, к выявлению проблемы и далее – к формулировке цели. Последующая деятельность направлена на достижение этой цели. Укрупненно, в общих чертах ее можно описать как отбор из окружающей среды объектов, свойства которых можно использовать для достижения цели и на объединение этих объектов надлежащим образом, т. е. как ра- боту по созданию того, что, собственно, и называется системой. Это и есть первое определение системы: система – это средство достижения цели. Сформулировать цель порой бывает непросто. Одной из причин этого является то, что между целью (т. е. абстрактной и конечной моделью) и реальной системой нет, и не может быть однозначного соответствия: для достижения данной цели могут использоваться разные средства (систе- мы), а заданную реальную систему можно использовать и для других целей, прямо не предусмотренных при ее создании. 21 Четкая формулировка, постановка цели в инженерной практике – один из важнейших этапов создания систем. Обычно этот этап идет ите- рационно, с постепенным уточнением и конкретизацией целей. Первое определение системы не только отвечает на вопрос: «Зачем нужна система?», но и конструктивно указывает, какие объекты следует, а какие не следует из окружающей среды включать в систему: включают- ся такие объекты, свойства которых во взаимосвязи с уже включенными объектами позволяют достигать поставленную цель. В первом определении системы акцент сделан на назначение системы и об ее устройстве почти ничего не говорится. Человеку удобнее работать с наглядными, образными моделями, поэтому представим языковую мо- дель первого определения системы в виде визуального эквивалента. О внутреннем устройстве системы ничего неизвестно, поэтому изоб- разим систему в виде ящика с непрозрачными (чёрными) стенками. Уже при таком изображении модель отражает два свойства системы: целост- ность и обособленность от среды. Далее, в определении хоть и косвенно, но сказано, что система не полностью изолирована. Достигнутая цель – это запланированные изме- нения в окружающей среде, некоторые продукты работы системы, пред- назначенные для потребления вне данной системы. Система связана со средой и с помощью этих связей воздействует на среду. Изобразим эти связи стрелками, выходящими из системы. Это выходы системы. Наконец, в определении есть намек и на связи другого типа: система является средством, поэтому должны существовать и возможности ее использования, воздействия на нее, то есть такие связи, которые направ- лены из внешней среды в систему. Это входы системы. В результате получим модель системы, которая называется чёрным ящиком (рис. 1.2). Эта модель, несмотря на внешнюю простоту, часто оказывается весьма полезной. В некоторых случаях достаточно содержательного описания входов и выходов системы, тогда модель чёрного ящика – это их список. В других случаях требуется количественное описание некоторых или всех входов и выходов. Чтобы максимально формализовать модель «чёрного ящика», необходимо задать два множества X и Y входных и выходных переменных. 22 Задание этих множеств – сама по себе задача не тривиальная даже для конкретной системы, так как на вопрос о том, какие и сколько связей следует включать в модель – ответ не прост и не однозначен. Дело в том, что любая реальная система, как и любой объект, взаимодействует с объ- ектами окружающей среды неограниченным числом способов. Выбрать для построения модели из этого бесконечного множества связей конеч- ное их множество – задача часто непростая. Критерий отбора здесь – це- левое назначение системы, существенность той или иной связи по отно- шению к цели. А вот при оценке этой существенности и могут возникать ошибки. Особенно важно учитывать этот момент при задании цели системы, то есть при определении выходов. При этом основную цель приходится со- провождать заданием дополнительных целей, невыполнение которых может сделать ненужной или даже вредной достижение основной цели. Модель «чёрного ящика» оказывается часто не только полезной, но и единственно возможной при изучении систем. Например, это бывает, когда речь идет об исследовании живых организмов в естественных для них условиях, где следует специально заботиться о том, чтобы измерения как можно меньше влияли на систему. 1.3.2. Модель состава системы Вопросы внутреннего устройства системы на уровне модели «черного ящика» остаются открытыми. Для этого нужны более детальные, более развитые модели. Такие свойства системы, как целостность и обособлен- ность, отображенные в модели «черного ящика», выступают как внешние свойства. Внимательное рассмотрение системы говорит о том, что внут- ренность «черного ящика» оказывается неоднородной. Это позволяет различать составные части системы, некоторые из которых при еще более детальном рассмотрении, в свою очередь, могут быть разбиты на состав- ные части и т.д. Части, которые мы считаем неделимыми, называются Система … … Внешняя среда Входы X Выходы Y Рис. 1.2. Модель системы «черный ящик» 23 элементами. Части, состоящие более чем из одного элемента, называют- ся подсистемами. В результате получается модель состава системы, описывающая, из каких подсистем и элементов она состоит. Построение модели состава системы – дело не простое и не однознач- ное. Можно перечислить ряд причин этого. Понятие элементарности можно определять по-разному. То, что с од- ной точки зрения является элементарным, с другой – можно представить как подсистему, требующую дальнейшего деления. Как и любая модель, модель состава является целевой, и для разных целей может быть разбита различным образом. Модели состава одной и той же системы различаются потому, что всякое деление целого на части в достаточной степени условно. Границы между подсистемами условны, относительны. Это же относится и к гра- ницам самой системы с окружающей средой. Таким образом, модель состава ограничена снизу тем, что считается элементом, и сверху – границей системы. Как эта граница, так и границы разбиения на подсистемы определяются целями построения модели и, следовательно, не абсолютны. 1.3.3. Модель структуры системы. Второе определение системы Для определенных задач вполне достаточно иметь модель системы в виде «черного ящика» или модели состава. Но ясно, что есть вопросы, которые нельзя решить только на уровне этих моделей. Необходимо еще правильно соединить элементы и подсистемы, т. е. установить между составными частями системы определенные связи. Совокупность необ- ходимых и достаточных для достижения цели отношений между элемен- тами называется структурой системы. Перечень связей между элементами (структура системы) является от- влеченной, абстрактной моделью: установлены только отношения между элементами, но ничего не говорится о самих элементах. На практике обычно сначала описываются сами элементы (модель структуры), но тео- ретически можно исследовать отдельно модель структуры. Опять-таки, из множества реальных отношений между элементами в модель структу- ры включаются только те, которые важны, существенны для достижения цели. Суммируя, объединяя все три рассмотренные модели, можно сформу- лировать второе определение системы: это совокупность взаимосвязан- ных элементов, обособленная от среды и взаимодействующая с ней как 24 целое. Графическое изображение такой модели, объединяющей и модель «черного ящика» и модель состава и модель структуры, называется структурной схемой системы. На структурной схеме указаны все элементы, все связи между элемен- тами и связи определенных элементов с окружающей средой (входы и выходы системы). Все структурные схемы имеют нечто общее и, если абстрагироваться от содержательной стороны структурных схем, в ре- зультате получим элементы и связи между ними, а также (если это необ- ходимо) пометки для различения элементов и (или) связей. Это есть не что иное, как ориентированный (возможно, взвешенный) граф, и эффек- тивное изучение структурных схем осуществляется с помощью теории графов. Для ряда исследований одной структурной информации, содержащей- ся в графе, оказывается недостаточно, и тогда методы теории графов ста- новятся вспомогательными, а главным является рассмотрение конкрет- ных функциональных связей между входными, внутренними и выходны- ми переменными систем. 1.3.4. Динамические модели системы Все рассмотренные выше модели отображали систему в некоторый фиксированный момент времени, были как бы застывшими снимками системы. В этом смысле их можно назвать статическими, подчеркивая их неподвижный, застывший, неизменный характер. Следующий шаг – это понять и описать, как система работает, что происходит с ней самой и с окружающей средой во времени, в ходе реализации поставленной цели. И подход, и описание, и степень подробности этого описания могут быть различными, но общее у всех этих моделей – это то, что они должны от- ражать поведение систем, описывать происходящее во времени измене- ния, последовательности этапов, операций, действий. Системы, в которых происходят изменения со временем, называются динамическими, а соответствующие модели, отображающие это измене- ние – динамическими моделями. Для разных систем и объектов разработано большое число динамиче- ских моделей, описывающих процессы с разной степенью подробности: от общего понятия динамики, движения вообще – до математических моделей конкретных процессов. Развитие моделей при этом происходит примерно также: от «чёрного ящика» к структурной схеме. Уже на уровне «черного ящика» различают два типа динамики систем – это функционирование и развитие. Под функционированием понимают 25 процессы, которые происходят в системе (и среде), стабильно реализую- щей фиксированную цель. Развитием называют то, что происходит с си- стемой при изменении ее целей, когда существующая структура переста- ет удовлетворять новую цель. Не следует считать, что система только либо функционирует, либо развивается. Могут быть разные соотношения между ее подсистемами. На следующих уровнях динамических моделей происходит уточне- ние, конкретизация происходящих процессов, различаются части, этапы процесса, рассматриваются их взаимодействия. Т. е. типы динамических моделей те же, что и статических, только элементы этих моделей имеют временно́й характер. Динамический вариант «чёрного ящика» – это начальное состояние системы (вход «чёрного ящика») и конечное (выход). Модель состава – перечень этапов. Структурная схема (или «белый ящик») – подробное описание происходящего или планируемого процесса. Те же типы моделей прослеживаются и при более глубокой формали- зации динамических моделей. Например, при математическом моделиро- вании некоторого процесса его конкретная реализация описывается в виде соответствия между элементами множества Х возможных значений х∈Х и элементами упорядоченного множества Т моментов времени t∈Т, то есть в виде отображения Т→Х. С помощью этих понятий можно стро- ить математические модели систем. Если рассматривать выход системы y(t) (в общем случае вектор) как ее реакцию на управляемые U(t) и неуправляемые V(t) входы х(t)∈{U(t), V(t)}, то можно модель «черного ящика» изобразить как совокупность двух процессов: Х Т ={ х(t)}и Y T ={ y(t)}, t∈T (рис. 1.3). Даже если считать y(t) результатом некоторого преобразования Φ процесса x(t): y(t)=Φ(x(t)), то модель «чёрного ящика» предполагает, что это преобразование неизвестно. В случае перехода к «белому ящику» это соответствие между входом и выходом можно описать тем или иным способом. Какой именно применить способ зависит от того, что нам из- вестно о системе и в какой форме эти знания можно использовать. Рис. 1.3. Динамическая модель «черногоящика» V(t) U(t ) y(t) x(t ) 26 1.3.5. Общая математическая модель динамической системы Сложность построения моделей заключается в том, что в общем слу- чае выход системы определяется не только значением входа в данный момент, но и предыдущими значениями входа. Кроме того, в самой си- стеме с течением времени как под действием входных процессов, так и независимо от них могут происходить изменения. Все это требует отра- жения в модели. В наиболее общей модели это обеспечивается введением понятия состояние системы, как некоторой внутренней характеристики системы. Входные величины в качестве причины определяют изменения во времени всех переменных системы и, в частности, всех выходных вели- чин. Значения этих величин в определенный, заданный момент времени t в общем случае зависит от изменений во времени входных величин на интервале ( , ] t −∞ , то есть значение выхода определяется, как правило, всей предысторией изменения входа. В случае, если предшествующая данному моменту эволюция входных величин известна не полностью, а только, скажем, на интервале 0 0 [ , ]( ) t t t t < , предшествующем моменту времени t, то может оказаться, что в общем случае этой информации бу- дет недостаточно для определения внутренних переменных системы и выходных величин в текущий момент времени. Однако в том случае, ко- гда имеется дополнительная информация о значениях определенных пе- ременных системы в момент времени t 0 , значения выхода снова могут быть определены полностью, так же как и значения всех внутренних пе- ременных. Таким образом, отсутствие информации о динамике входных величин на интервале 0 ( , ) t −∞ можно скомпенсировать тем, что известны значения некоторых переменных системы в момент времени t 0. Такие пе- ременные называются переменными состояния системы. Если обозначить переменные состояния через q(t) (в общем случае это вектор размерностью n), входные переменные через x(t) (размерность вектора x(t), т.е. число входов – m), а выходные переменные через y(t) (вектор размерностью k) (рис. 1.4), то соответствующие отображения можно записать как ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , ; , t t t t τ → τ → q x q q x y (1.3.1) 27 или, в другой форме, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , ; , t t t t = τ = τ q δ q x y λ q x (1.3.2) В данной записи следует под обозначением τ понимать не точку на оси времени, а весь интервал от t 0 до t. Отображение δ δδδ часто называют переходным, а отображение λλλλ – отоб- ражением выхода. Естественно, что векторная запись уравнений (1.3.2) предполагает, что δ δδδ и λλλλтакже векторы. Для каждого фиксированного τ значение вектора q(τ) задает состоя- ние динамической системы в момент времени τ. Множество n Q всех векторов q образует алфавит состояний динамической системы или про- странство состояний. Таким образом, q(τ) можно трактовать как точку в пространстве состояний. Пример 1.1. Рассмотрим электрическую цепь (четырехполюсник) (рис. 1.5). Пять существующих в этой цепи физических величин (четыре напря- жения u 1 , u 2 , u R , u L и ток i) связаны согласно законам Ома и Кирхгофа, соотношениями 1 2 , , , R L R L L u u u u R i u u di u L dt = + = ⋅ = = ⋅ (1.3.3) q 1 q = q 2 . . . q n y 1 y 2 y k k x 1 x 2 x m m … ….. Рис. 1.4. Математическая модель динамическойсистемы 28 Предполагается, что индуктивность L и сопротивление R не зависят от тока, напряжения и времени, т. е. постоянны. С учетом электротехнических применений данной цепи эти пять фи- зических величин (переменных системы) можно разделить на: − заданную величину u 1 (причина, вход, входное воздействие); − величину, предназначенную для некоторых целей u 2 (следствие, вы- ход, выходное воздействие); − величины, участвующие в преобразовании входного воздействия u 1 в выходное воздействие u 2 : промежуточные величины u R , u L , i (внутрен- ние переменные системы). Решение уравнений (1.3.3) относительно, например, тока i и выхода u 2 для 0 0 t t ≥ = будет равно 1 0 2 1 ( ) (0) ( ) , ( ) t R R t L L i t i u e d e L di u t L dt τ − = + τ τ ⋅ = ∫ (1.3.4) Если входная величина 1 ( ) u τ непрерывна на интервале [ ] 0, t I = , то переменная системы ( ) i t для каждого момента времени t I ∈ однознач- но определяется по значению тока в момент времени 0 t = и по входной величине 1 ( ) u τ на интервале 0 t ≤ τ < . Причем, это происходит независи- мо от того, принимали различные входные величины или другие пере- менные системы значения, отличные от нуля при 0 t < , или нет. Таким Рис. 1.5. Пример динамической системы (электрический четырехполюсник) u R R L u 1 u 2 i u L 29 образом, воздействие, оказываемое 1 ( ) u t на систему до момента времени 0 t = , например, на изменение ( ) при 0 i t t < , можно учесть только в од- ном значении тока в момент времени 0 t = . Это же самое относится и к выходной величине 2 ( ) u t . Приведенные рассуждения позволяют уравне- ния (1.3.4) записать в символической форме аналогично соотношениям (1.3.1): [ ] [ ] 1 1 2 (0), ( ) ( ), (0), ( ) ( ), (0 ). i u i t i u u t t τ → τ → ≤ τ < Из последних соотношений следует, что ток i является переменной состояния системы, изображенной на рис. 1.5. Исходя из основных уравнений динамической системы (1.3.2), можно установить, что для всестороннего описания системы должны быть зада- ны три основных множества: а) множество X значений входных величин |