Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
x x для любого состояния q i и любого слова x. Это делается индукцией по длине x и предлагается про- делать самостоятельно. Пример 2.5. Автомат Мили задан автоматной таблицей: Т а б л и ц а 2 . 5 q\x 1 x 2 x 1 2, y 1 3, y 1 2 2, y 2 3, y 2 3 1, y 3 2, y 1 49 Для данного автомата число состояний n=3, число входных букв m=2. Построим эквивалентный автомат Мура. В соответствии с теоремой 2.2.2 число состояний эквивалентного автомата Мура составит 9 n m n ⋅ + = Полагая в формуле M 0 ( , ) i k ik q x q δ = i=1,2,3; k=1,2, получим M 10 1 11 M 20 1 21 M 30 1 31 M 10 2 12 M 20 2 22 M 30 2 32 ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) q x q q x q q x q q x q q x q q x q δ = δ = δ = δ = δ = δ = Воспользовавшись формулой M ( , ) ij k lk q x q δ = и учитывая, что индекс l определяется из соотношения ( , ) i j l q x q δ = табл. 2.5, имеем M 11 1 21 M 21 1 21 M 31 1 11 M 11 2 22 M 21 2 22 M 31 2 12 M 12 1 31 M 22 1 31 M 32 1 21 M 12 2 32 M 22 2 32 ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , q x q q x q q x q q x q q x q q x q q x q q x q q x q q x q q x q δ = δ = δ = δ = δ = δ = δ = δ = δ = δ = δ = M 32 2 22 ( , ) q x q δ = Далее находим функцию отметок по формуле ( ) ( , ) i j i j q q x µ = λ и со- ставляем автоматную таблицу автомата Мура. Последняя будет выгля- деть так: Т а б л и ц а 2 . 6 x 1 x 2 µ q 10 q 11 q 12 - q 20 q 21 q 22 - q 30 q 31 q 32 - q 11 q 21 q 22 y 1 q 12 q 31 q 32 y 1 q 21 q 21 q 22 y 2 q 22 q 31 q 32 y 2 q 31 q 11 q 12 y 3 q 32 q 21 q 22 y 1 50 Обратное (получение автомата Мили по автомату Мура) очевидно и не вызывает трудностей. Пример 2.6. Пусть дан автомат Мура 1 ( , , , , , ), A X Q Y q Q = ∈ δ µ где { } { } { } 1 2 1 2 3 , , 1, 2,3 , , , X x x Q Y y y y = = = , причем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 (1, ) 2, (1, ) 3, 2, 3, (2, ) 2, 3, 1, 3, 2, 1 , 2 , 3 x x x x x x y y y δ = δ = δ = δ = δ = δ = µ = µ = µ = По исходным данным легко воспроизвести автоматную таблицу (таб- лицу переходов): Т а б л и ц а 2 . 7 x 1 x 2 µ 1 2 3 y 2 2 3 2 y 1 3 1 2 y 2 Построим эквивалентный автомат Мили В. Используя табл. 2.7, стро- им обычную функцию выхода ( ) , q x λ , определяющую автомат Мили ( ) 1 , , , , , B X Q Y q Q δ = ∈ λ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1, , 1, , 2, , 2, , 3, , 3, x y x y x y x y x y x y λ = λ = λ = λ = λ = λ = Автоматная таблица построенного автомата Мили выглядит следую- щим образом: Т а б л и ц а 2 . 8 x 1 x 2 1 2, y 1 3, y 2 2 3, y 2 2, y 1 3 1, y 2 2, y 1 51 Можно проверить, что автомат Мили В, заданный табл. 2.8, индуци- рует такое же автоматное отображение, что и автомат Мура А, определя- емый табл. 2.7. Таким образом, при исследовании автоматов достаточно пользоваться только автоматом Мура. Это в некоторых случаях удобнее потому, что автомат Мура можно рассматривать как автомат без выходов, состояния которого различным образом отмечены. Можно считать, что таких отме- ток вообще две (например, 0 и 1) и они делят состояния на два класса, один из которых можно назвать заключительным. Это позволяет дать еще одно определение абстрактного автомата − автомата без выходов 1 ( , , , , , ), где S X Q Y q F F Q = λ ⊆ − множество заключительных состояний, а 1 q − начальное состояние автомата. Вспоминая понятие автономного автомата, можно сказать, что авто- мат Мили может быть представлен как совокупность автономных авто- матов по входным и выходным буквам. В случае автоматов Мура имеет смысл говорить об автономных автоматах только по входным буквам. 2.2.4. Автоматы первого и второго рода Вспомним интерпретацию автомата как некоторого устройства, рабо- тающего в дискретном времени. Первопричиной появления выходного сигнала и изменения состояния является входной сигнал. Следовательно, выходной сигнал y(t) всегда появляется после входного сигнала x(t). Од- нако относительно времени t перехода автомата из состояния q(t−1) в состояние q(t) выходной сигнал может появиться либо раньше, либо поз- же этого момента времени. В первом случае уравнения, описывающие работу автомата, будут следующие: ( ) ( ( 1), ( )), ( ) ( ( 1), ( )), q t q t x t y t q t x t = δ − = λ − (2.2.1) а автомат будет именоваться автоматом первого рода. Во втором случае получаем автомат второго рода с уравнениями: ( ) ( ( 1), ( )), ( ) ( ( ), ( )). q t q t x t y t q t x t = δ − = λ (2.2.2) 52 В уравнениях (2.2.1) и (2.2.2) функция λ называется либо обычной (для автоматов первого рода), либо сдвинутой (для автоматов второго рода) функцией выхода. Установим взаимосвязь между автоматами первого и второго рода. Пусть дан автомат второго рода ( , , , , ) S X Q Y = δ λ . Запишем функцию переходов ( , ) q x δ и сдвинутую функцию выхода ( , ) q x λ : ( ) ( ( ), ( )), ( ) ( ( 1), ( )). y t q t x t q t q t x t = λ = δ − Подставим в первое уравнение q(t), определяемое вторым уравнени- ем. Тогда получим уравнение ( ) ( ( ( 1), ( )), ( )) ( ( 1), ( )), y t q t x t x t q t x t ′ = λ δ − = λ − определяющее обычную функцию выхода ( , ), q x ′ λ которая характеризует автомат первого рода. Таким образом, подставляя в сдвинутую функцию выхода ( , ) q x λ автомата второго рода функцию переходов ( , ) q x δ , полу- чаем автомат первого рода S′′′′={X,Q,Y,δ,λ′′′′ }, который индуцирует то же самое автоматное отображение, что и автомат S. Такое сведение автомата второго рода к эквивалентному автомату первого рода называется интер- претацией автомата второго рода автоматом первого рода. Пример 2.7. Пусть задан автомат ( ) 1 , , , , , , A X Q Y q Q = ∈ δ λ где X={x 1 , x 2 , x 3 }, Q={1,2,3,4}, Y={y 1 , y 2 }, а автоматная таблица следующая: Т а б л и ц а 2 . 9 q\x x 1 x 2 x 3 1 2, y 1 4, y 1 1, y 2 2 1, y 2 3, y 1 4, y 1 3 1, y 1 4, y 2 2, y 2 4 4, y 2 1, y 1 3, y 1 53 Предположим, что автомат А является автоматом первого рода. Тогда функция выхода ( ) , q x λ , полученная из табл. 2.9 и представленная в табл. 2.10, будет являться обычной функцией выхода. Т а б л и ц а 2 . 1 0 q\x x 1 x 2 x 3 1 y 1 y 1 y 2 2 y 2 y 1 y 1 3 y 1 y 2 y 2 4 y 2 y 1 y 1 Функция переходов ( ) , q x δ , выделенная из табл. 2.9, приведена в табл. 2.11. Т а б л и ц а 2 . 1 1 q\x x 1 x 2 x 3 1 2 4 1 2 1 3 4 3 1 4 2 4 4 1 3 Если на вход автомата, находящегося первоначально в состоянии 1, поступит слово 1 1 2 3 2 3 , x x x x x x = x то на выходе будет слово 1 2 1 1 2 1 y y y y y y = y Теперь предположим, что автомат А является автоматом второго рода. Тогда табл. 2.10 определяет сдвинутую функцию выхода. При поступле- нии на вход автомата второго рода слова 1 1 2 3 2 3 , x x x x x x = x такого же, как и в случае автомата первого рода, на выходе появится слово 2 1 1 2 1 2 y y y y y y = y , которое отличается от соответствующего выходного слова автомата первого рода. Поэтому отображение, индуцируемое авто- матом первого рода, отличается от отображения, индуцируемого автома- том второго рода. 54 Построим автомат A′ первого рода, эквивалентный автомату А пер- вого рода. Подставляя в сдвинутую функцию выхода ( ) , q x λ , заданную табл. 2.10, функцию перехода ( ) , q x δ из табл. 2.11, получим обычную функцию выхода ( ) , q x ′ λ (см. табл. 2.12). Т а б л и ц а 2 . 1 2 q\x x 1 x 2 x 3 1 y 2 y 1 y 2 2 y 1 y 2 y 1 3 y 1 y 1 y 1 4 y 2 y 1 y 2 Функция ( ) , q x ′ λ задает автомат первого рода ( ) 1 , , , , , A X Q Y q Q ′ ′ = ∈ δ λ Объединяя табл. 2.12 выходов и табл. 2.10 переходов, получим авто- матную таблицу автомата A′ первого рода, интерпретирующего автомат А второго рода: q\x x 1 x 2 x 3 1 2, y 2 4, y 1 1, y 2 2 1, y 1 3, y 2 4, y 1 3 1, y 1 4, y 1 2, y 1 4 4, y 2 1, y 1 3, y 2 Легко заметить, что при поступлении на вход автомата A′ первого рода того же слова 1 1 2 3 2 3 , x x x x x x = x на выходе получим слово 2 1 1 2 1 2 y y y y y y = y , такое же, как и в случае автомата А второго рода. Таким образом, автомат A′ интерпретирует автомат А. Несколько сложнее показать (на этом останавливаться не будем), что для любого автомата первого рода можно построить эквивалентный ему автомат второго рода. 55 Необходимо еще раз подчеркнуть, что автоматы первого и второго рода мы различаем, когда интерпретируем работу конечного абстрактно- го автомата некоторым реальным устройством. В дальнейшем по умолчанию будем считать, что задан автомат перво- го рода, если не оговорено обратное. 2.2.5. Гомоморфизм, изоморфизм и эквивалентность автоматов Ранее уже упоминались эквивалентные автоматы. Приведем строгое определение эквивалентности. Но прежде дадим понятия гомоморфизма и изоморфизма. Пусть S=(X S , Q S , Y S ,δ S ,λ S ), и Т=(X Т , Q Т , Y Т ,δ Т ,λ Т ) – два автомата. Три отоб- ражения f : , g : , и h : S T S T S T X X Q Q Y Y → → → называются гомомор- физмом автомата S в автомат T, если для любых x∈X S , q∈Q S , и y∈Y S вы- полняются условия (g( ),f( )) g( ( , )), (g( ),f( )) h( ( , )). T S T S q x q x q x q x δ = δ λ = λ (2.2.3) В этом случае автомат Т называется гомоморфным автомату S. Если все три отображения сюръективны, то эта тройка называется гомомор- физмом S на Т. Если, кроме того, эти отображения взаимно однозначны, то они называются изоморфизмом S на Т. Автоматы, для которых суще- ствует изоморфизм, называются изоморфными. Это обозначается S∼T. Понятно, что мощности соответствующих алфавитов у таких автома- тов должны быть одинаковыми. Изоморфизм можно пояснить так: авто- маты S и T изоморфны, если входы, выходы и состояния S можно пере- именовать так, что автоматная таблица S превратится в автоматную таб- лицу Т. Изоморфизм соответствующих графов переходов является необ- ходимым, но недостаточным условием изоморфизма автоматов. При го- моморфизме, кроме переименования, происходит еще и "склеивание" некоторых состояний S в одно состояние T. Теперь пусть оба автомата S и T имеют одинаковые входные и выход- ные алфавиты. Состояние q автомата S и состояние r автомата T называ- ют неотличимыми, если для любого входного слова ( , ) ( , ) S q T r = x x . Автоматы S и T называют неотличимыми, если для любого состояния q автомата S найдется неотличимое от него состояние r автомата Т и наобо- рот. Неотличимость автоматов означает, что автоматное отображение, реа- 56 лизуемое одним из них, может быть реализовано другим. Отношение неот- личимости между состояниями (и автоматами) рефлексивно, симметрично и транзитивно, а, следовательно, является отношением эквивалентности. Это и явилось основанием называть неотличимость эквивалентностью и говорить об эквивалентных состояниях, или эквивалентных автоматах, имея в виду отношение неотличимости. Переход от автомата S к эквивалентному ему автомату называется эк- вивалентным преобразованием автомата S. Существует много различных задач по эквивалентному преобразованию автоматов к автомату с задан- ными свойствами. 2.2.6. Минимизация автоматов Среди задач по эквивалентному преобразованию автоматов наиболее изученной и интересной является задача о минимизации числа состояний автомата или, более коротко, задача минимизации автомата: среди авто- матов, эквивалентных заданному, найти автомат с наименьшим числом состояний – так называемый минимальный автомат. При интерпретации автомата цифровым устройством это означает минимизацию числа эле- ментов памяти такого устройства. Теорема 2.2.3. Для любого автомата S существует минимальный авто- мат S 0 , единственный с точностью до изоморфизма. Если множество состо- яний S разбивается на k классов эквивалентности ( ) k n ≤ : { } 1 1 11 1 ,... p C q q = , { } 2 2 21 2 ,... p C q q = ,…, { } 1 ,..., k k l lp C q q = , то S 0 имеет l состояний. Доказательство . Если 1 j q и 2 j q – состояния из одного класса экви- валентности C j , то для любой входной буквы х состояния 1, ( ) S j q x δ и 2 ( , ) S j q x δ находятся в одном классе эквивалентности (допустим в C p ). Действительно, если это не так (т.е. состояния 1 ( , ) S j q x δ и 2 ( , ) S j q x δ не эквивалентны), то найдется слово |