Математическая теория систем. Математические основы теории систем

• Название: Математические основы теории систем
• Дата: 20.01.2023
• Размер: 2.07 Mb.
• Имя файла: Математическая теория систем.pdf
• Тип: Учебное пособие; #895603
• страница: 35 из 35

p
x
(6.6.22)
Дифференцируя последнее выражение по
i
x , имеем
1 2
1 2
2
n
n
i
i
i
i
T
x
x
x
p
p
p
x
x
x
x
•
•
•
∂
∂
∂
∂
=
+
+ +
∂
∂
∂
∂
p
(6.6.23)
Вычитая выражение (6.6.21) из выражения (6.6.23), получим
i
i
T
T
x
x
•
∂
∂
= −
∂
∂
p
x
(6.6.24)
Теперь продифференцируем выражение (6.6.19) по
i
p :
1 2
1 2
n
i
i
i
i
i
T
T
T
T
x
x
x
p
p
p
x
p
x
x
•
•
•
•
•
•
•
•
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⋅
+
⋅
+ +
⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
p
x
x
x
, или, с учетом соотношения (6.6.16),
1 2
1 2
n
n
i
i
i
i
T
x
x
x
p
p
p
p
p
p
p
•
•
•
∂
∂
∂
∂
=
+
+ +
∂
∂
∂
∂
p
. (6.6.25)

306
Возьмем частную производную по
i
p от выражения (6.6.22):
1 2
1 2
2
n
i
n
i
i
i
i
T
x
x
x
p
p
x
p
p
p
p
p
•
•
•
•
∂
∂
∂
∂
=
+
+ + + +
∂
∂
∂
∂
p
(6.6.26)
Вычитая выражение (6.6.25) из равенства (6.6.26), получим
i
i
T
x
p
•
∂
=
∂
p
(6.6.27)
Используя формулы (6.6.27) и (6.6.16), уравнение Лагранжа (6.6.14) приведем к виду
i
i
i
T
p
r
x
•
∂
+
=
∂
p
(6.6.28)
Две системы уравнений (6.6.27) и (6.6.28)) называются
уравнениями
Гамильтона (для кинетической энергии).
В случае консервативной системы входное воздействие определяется выражением
,
i
i
V
r
x
∂
= −
∂
(6.6.29) где
( )
V V
=
x – потенциальная энергия, не зависящая от
•
x .
Так как лагранжиан определяется формулой (6.6.8)
( )
,
,
,
i
i
i
i
i
x
L x x
T x x
V x
•
•
•




=
−








то его частные производные равны
i
i
T
L
x
x
•
•
•
∂
∂
=
∂
∂
x
и
i
i
i
T
L
V
x
x
x
•
∂
∂
∂
=
−
∂
∂
∂
x

307
С учетом этого, уравнение Эйлера – Лагранжа (6.6.9) можно записать в виде
i
i
i
T
T
d
V
dt
x
x
x
•
•
•


∂
∂
∂

 =
−

 ∂
∂
∂


x
x
, или
(
)
grad grad grad
d
T
T
V
dt
•
•
•
=
−
x
x
x
x
x
(6.6.30)
Функция, выражающая полную энергию системы через координаты х и импульсы р, называют
функцией Гамильтона Н. То есть
(
)
,
H T V H
=
+ =
p
p x . (6.6.31)
Дифференцируя выражение (2.6.31), получаем
i
i
i
T
H
V
x
x
x
∂
∂
∂
=
+
∂
∂
∂
p
(6.6.32) и
i
i
T
H
p
p
∂
∂
=
∂
∂
p
. (6.6.33)
Подставляя равенства (6.6.29), (6.6.32) и (6.6.33) в уравнения (6.6.28) и
(6.6.27), окончательно имеем
,
i
i
dp
H
dt
x
∂
= −
∂
(6.6.34)
i
i
dx
H
dt
p
∂
=
∂
(6.6.35)
Две системы уравнений (6.6.34) и (6.6.35) носят название
канониче-
ских уравнений Гамильтона.

308
Поскольку при движении консервативной системы ее полная энергия остается неизменной,
Н – функция Гамильтона не зависит от времени и
0
dH
dt
= . Это действительно так, поскольку
1
n
i
i
i
i
i
dp
dx
dH
H
H
dt
p dt
x dt
=


∂
∂
=
⋅
+
⋅


∂
∂


∑
, а выражение в скобках, согласно уравнениям (6.6.34) и (6.6.35), равно нулю, если
Н явно не зависит от времени.
6.6.3. Уравнение Гамильтона – Якоби
Во многих случаях решения уравнений (6.6.34), (6.6.35) найти не уда- ется. Один из путей решения этих уравнений состоит в переходе от коор- динат ( , )
p x к другой системе координат ( , )
α β , относительно которых преобразованные уравнения имеют более простой вид. Такие преобразо- вания, результатом которых являются новые уравнения все в той же ка- нонической форме, называются
каноническими преобразованиями. Отсю- да, если
( , )
i
i
p
p
=
α β
и
( , )
i
i
x
x
=
α β
(6.6.36) есть канонические преобразования, то уравнения движения в новой си- стеме координат ( , )
α β будут иметь все тот же канонический вид
,
,
i
i
i
i
d
H
dt
d
H
dt
α
∂
= −
∂β
β
∂
=
∂α
(6.6.37) где
H – гамильтониан, выраженный в новой системе ( , )
α β .
Смысл преобразований (6.6.36) и перехода к каноническим уравнени- ям Гамильтона (6.6.37) состоит в том, чтобы гамильтониан
H являлся бы только функцией переменных
α и не зависел бы от β . Такую цель позволяет достичь преобразование

309
,
i
i
i
i
S
S
p
x
∂
∂
=
β =
∂
∂α
, (6.6.38) где функция ( , )
S α x называется производящей функцией.
Уравнения движения в этом случае принимают вид
0
i
i
d
H
dt
α
∂
= −
=
∂β
, (6.6.39)
i
i
d
H
const
dt
β
∂
=
=
∂α
. (6.6.40)
Из первой системы уравнений (6.6.39) вытекает, что все
i
α – констан- ты. Вторая система уравнений (6.6.40) следует из того факта, что
H за- висит только от
i
α , а все
i
α – константы. Системы уравнений (6.6.39) и
(6.6.40) много проще, чем уравнения (6.6.34) и (6.6.35). Дело за малым: нужно определить производящую функцию ( , )
S α x , удовлетворяющую дифференциальному уравнению в частных производных
( )
,
i
i
i
S
H
x
H
x


∂
=
α


∂


. (6.6.41)
Чтобы немного упростить уравнение (6.6.41), проведем следующие рассуждения.
Так как
i
i
S
∂
β =
∂α
, то
2
i
i
i
d
S
S
dt
t
t


β
∂ ∂
∂
=
=


∂ ∂α
∂ ∂α


. (6.6.42)
Найдем производную по
t от уравнения (6.6.41), предполагается пока, что
H зависит также и от
i
β
i
i
i
i
d
d
H
H
H
t
dt
dt
α
β
∂
∂
∂
=
⋅
+
⋅
∂
∂α
∂β

310
Используя равенства (6.6.37) и (6.6.42), из последнего уравнения имеем
2
i
i
i
i
i
i
d
d
d
H
H
S
H
d
S
t
dt
dt
t
dt
dt
t
α
α
α
∂
∂
∂
∂
∂


=
⋅
−
⋅
=
⋅
−


∂
∂α
∂ ∂α
∂α
∂


. (6.6.43)
Чтобы гамильтониан
H не зависел от
i
β , первое слагаемое в уравне- нии (6.6.43), согласно соотношению (6.6.39), должно быть равно нулю.
Это будет выполняться, если справедливо уравнение
H
d
S
t
dt
t
∂
∂


= −


∂
∂


Из последнего соотношения получаем уравнение для
S
S
H
t
∂
= −
∂
, (6.6.44) которое называется
уравнением Гамильтона – Якоби.
К каноническим уравнениям Гамильтона и Гамильтона – Якоби при- ходят при синтезе оптимальных систем методом максимума Понтрягина или методом динамического программирования Беллмана [14].
Контрольные вопросы
1. Какой вид имеет стандартная форма (каноническая форма фазовой переменной) записи уравнений состояния?
2. Что такое нормальные координаты системы?
3. Как можно перейти к нормальной (канонической) форме уравнений состояния?
4. Какой вид имеют матрицы в канонической форме уравнений состо- яния?
5. Что такое переходная (фундаментальная) матрица?
6. Какие методы существуют для вычисления переходной матрицы?
7. Назовите основные свойства переходной матрицы.
8. Что такое сопряженная система и сопряженный оператор?
9. В каком случае переходная матрица нестационарной системы пред- ставляет матричную экспоненту?
10. Что такое матрицант и как он вычисляется?

311 11. Каков физический смысл лагранжиана системы?
12. Сформулируйте принцип Даламбера.
13. Запишите простейшее уравнение Эйлера – Лагранжа.
14. В каких случаях возможно аналитическое решение уравнения Эй- лера – Лагранжа?
15. Каков физический смысл функции Гамильтона?
16. В чем смысл перехода к каноническим уравнениям Гамильтона –
Якоби?

312
ЛИТЕРАТУРА
1.
Карпов А.Г.Математические основы теории систем. Часть 1: Учебное пособие. − Томск: Изд-во НТЛ, 2007. − 184 с. ISBN 978-5-89503-357-9.
2.
Карпов А.Г. Математические основы теории систем. Часть 2: Учеб- ное пособие. − Томск: Томский межвузовский центр дистанционного об- разования, 2002. − 138 с.
3.
Карпов А.Г. Теория автоматического управления. Часть 2: Учебное пособие. − Томск: Изд-во ТМЛ-Пресс, 2012. − 264 с. ISBN 978-5-9130-
2136-6.
4.
Карпов А.Г. Цифровые системы автоматического управления (Ос- новы теории): Учебное пособие. − Томск: Изд-во НТЛ, 2007. − 288 с.
ISBN 978-5-89503-358-6.
5.
Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П., Основы системного анализа. –
Томск: Изд-во НТЛ, 2003. – 396 с. ISBN 5-89503-004-1.
6
. Вунш Г. Теория систем. – М.: Советское радио, 1978. – 288 с.
7
. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 480 с. ISBN 5-283-01563-7.
8
. Закревский А.Д. Алгоритмы синтеза дискретных автоматов. – М.:
Наука, 1971. – 512 с.
9.
Мелихов А.Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. – М.:
Наука, 1971. – 416 с.
10.
Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. – М.: “Наука”, 1970. – 620с.
11.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального ис- числения. – М.: Госиздат, 1951.
12.
Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – М.: “Наука”, 1974.
13.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: “Наука”, 1966.
14.
Ту Ю. Современная теория управления. – M.: “Машиностроение”,
1971. – 472c.

125
Учебное издание
Александр Георгиевич Карпов
Математические основы теории систем
Учебное пособие
Издание подготовлено в авторской редакции
6.7 Коорректор Г.И. Иванченко
Верстка макета и дизайн обложки
Редактор
Верстка
Изд. лиц. Подписано к печати.
Формат 60×84 1
/
16
. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура
«Times».
Усл. п. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 100 экз.
ООО «Издательство ТМЛ-Пресс»
634050, г. Томск, ул. Советская, 33, оф. 10, тел. [phone]
Отпечатано Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, г. Томск, пр. Ленина, 40