Математическая теория систем. Математические основы теории систем

• Название: Математические основы теории систем
• Дата: 20.01.2023
• Размер: 2.07 Mb.
• Имя файла: Математическая теория систем.pdf
• Тип: Учебное пособие; #895603
• страница: 27 из 35

A A A A, (5.1.12)
,
+
+
+
=
A A A A (5.1.13)
,
T
+
+

 =




A A
A A (5.1.14)
T
+
+

 =




A A
A A (5.1.15)
Если не выполняются соотношения (5.1.14), (5.1.15) (одно из них или оба), то получаем
обобщенную обратную матрицу.
Разумеется, что в случае невырожденной матрицы
А псевдообратная и обобщенная матрицы совпадают с обычной обратной матрицей.
5.2 Векторы и векторные пространства
5.2.1. Векторы и их свойства
Под вектором будем понимать матрицу размерностью (
n×1)или век- тор-столбец.
Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векто- ров
x и y определяется формулой
( )
*
*
*
*
*
1 1 2 2
,
T
T
n n
x y
x y
x y
〈
〉 =
=
+
+ +
=
x y
x
y
y x
.(5.2.1)
В случае действительных
x и y выражение (5.2.1) приобретает более знакомую форму

233 1
,
,
n
T
T
i i
i
x y
=
〈
〉 =
=
=
= 〈
〉
∑
x y
x y y x
y x
.
Ясно, что понятие скалярного произведения существует только для векторов одинаковой размерности.
Если вектор-строку
*
( )
T
y
(1×m) помножим слева на вектор-столбец x
(
n×1), то получим внешнее произведение, представляющее матрицу (n×m)
*
*
*
1 1 1 2 1
*
*
T
2 1 2
*
*
1
( )
m
m
n
n m
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y






〉〈 =
=






*
x y x y
.
Сумма и разность векторов, а также умножение вектора на скаляр следуют из соответствующих операций над матрицами.
Два вектора называются
ортогональными, если их скалярное произ- ведение равно нулю.
Нормой вектора называют квадратный корень из скалярного произве- дения
x и y, то есть
,
= <
>
x
x x
(5.2.2)
Можно показать, что из соотношения (5.2.2) вытекает два важных не- равенства:
+
≤
+
x y
x
y (неравенство треугольника),
,
〈
〉 ≤
⋅
x y
x
y (неравенство Шварца).
Угол
θ между двумя векторами определяется формулой
,
cos
〈
〉
θ =
⋅
x y
x
y
Вектор ˆ
x называют
нормированным, если ˆ =
x
x
x

234
Два вектора будут
ортонормированы, если они ортогональны и нор- мированы.
Векторы
i
x ,
i∈{1,2,…m} с компонентами x
1
i
,
x
2
i
,…,
x
ni
будут линейно
независимы, если не существует таких постоянных k
i
,…,
k
m
(хоть одна из
k
i
не должна равняться нулю), что
1 1 2 2 0
m m
k
k
k
+
+ +
=
x
x
x
(5.2.3)
Основываясь на понятии линейной независимости векторов, дадим еще пару определений.
Вырожденность или дефект матрицы определяется так. Если строки
(столбцы) особенной матрицы линейно связаны
одним соотношением, то вырожденность матрицы
простая (дефект равен единице). Если таких соотношений
q, то матрица имеет вырождение кратности q (или дефект равен
q).
Рангомrматрицы Аявляется наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы
А. Если размерность матрицы (
)
n n
×
,
то r n q
= − .
Существует правило вырожденности Сильвестра, которое гласит, что дефект произведения двух матриц не меньше дефекта каждой из них и не выше суммы дефектов матриц.
Условие линейной независимости векторов можно сформулировать на основе ранга матрицы, образованной из элементов
m векторов:
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
n
n
nm
x
x
x
x
x
x
x
x
x






=






A
(5.2.4)
Если ранг матрицы
А, образованной этими m векторами (
)
m n
≤
, меньше, чем
m, то есть
r m
<
, то существует
r линейно независимых век- торов. Остальные
m r
− векторов выражаются в виде линейной комбина- ции этих
r векторов. Таким образом, необходимым и достаточным усло- вием линейной независимости этих
m векторов является равенство ранга матрицы
А величине m.
Определение ранга матрицы не всегда удобно, поэтому чаще линей- ную независимость определяют, пользуясь
определителем Грама. Опре- делитель Грама строится в предположении, что выполняется соотноше-

235 ние (5.2.3). Умножим уравнение (5.2.3) скалярно на
i
x ,i∈{1,2,…,m} и получим, таким образом, систему уравнений:
1 1
1 2
1 2
1 1
2 1
2 2
2 2
1 1
2 2
,
,
,
0,
,
,
,
,
,
,
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
k
k
k
k
k
k
k
k
k
〈
〉 + 〈
〉 + + 〈
〉 =
〈
〉 + 〈
〉 + + 〈
〉
〈
〉 + 〈
〉 + + 〈
〉
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Эта система однородных уравнений имеет нетривиальное решение для
k
i
(то есть выполняется условие (5.2.3) и векторы
i
x являются линей- но зависимыми) только в том случае, если определитель матрицы с эле- ментами
,
i
j
〈
〉
x x равен нулю. Этот определитель называется определите- лем Грама и равен
1 1
1 2
1 2
1 2
1
,
,
,
,
,
,
,
m
m
m
m
m
G
〈
〉 〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
=
〈
〉
〈
〉
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
или, с учетом обозначения (5.2.4),
T
G = A A , (5.2.5)
Следовательно, система векторов линейно независима тогда и только то- гда, когда определитель Грама (5.2.5) для такой системы отличен от нуля.
5.2.2. Векторное пространство и подпространство
Под векторным пространством понимают множество векторов, за- мкнутое относительно определенных в нем операций сложения и умно- жения на скаляр.
Сложение векторов ассоциативно и коммутативно.
Умножение на скаляр векторов ассоциативно, коммутативно и дис- трибутивно относительно сложения.
Векторное пространство, включающее все
n-мерные векторы, назы- вают
n-мерным векторным пространством V
n
. Векторное пространство с

236 умножением на вещественный скаляр называется
эвклидовым. Комплекс- ный аналог носит название
унитарногопространства. В случае бесконеч- номерных векторов (но с конечными значениями их норм) получаем
гильбертово пространство.
Размерность векторного пространства определяется максимальным числом содержащихся в нем линейно независимых векторов.
Подпространство
S
n
n-мерного векторного пространства V
n
– это не- которое подмножество
V
n
, которое само является векторным простран- ством. Размерность подпространства
S
n
определяется, как обычно, мак- симальным числом линейно независимых векторов из
S
n
.
Вектор
у из векторного пространства
V
n
=
y Ax
, (5.2.6) где
А – квадратная
(
)
n n
×
невырожденная матрица, принадлежит тому же пространству
V
n
.
Уравнение (5.2.6) описывает линейное преобразование и в этом слу- чае говорят, что векторное пространство
V
n
инвариантно относительно линейного преобразования, заданного квадратной невырожденной мат- рицей
А.
Если матрица
А имеет размерность (
)
m n
×
, то каждая точка про- странства
V
n
(каждый вектор
х) отображается преобразованием (5.2.6) в некоторую точку пространства
V
m
Любую матрицу
А размерностью (
)
m n
×
можно представить как строку
m-мерных вектор-столбцов
[
]
1 2
n
=
A
a
a
a , поэтому уравнение (5.2.6) перепишем в виде
1 1 2 2
n n
x
x
x
=
=
+
+ +
y Ax
a
a
a , где
i
x – компоненты вектора х могут принимать любые значения.
Совокупность линейных комбинаций, определяемая как подпростран- ство, порождаемое векторами
у, можно рассматривать как подпростран- ство
V
m
, порождаемое столбцами матрицы
А. Размерность этого подпро- странства равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы
А.

237
5.2.3. Базис векторного пространства
Пространство
V
n
содержит согласно определению и все линейные комбинации векторов, принадлежащих этому пространству. Возьмем произвольное число
m таких векторов. Множество векторов у, являю- щихся линейной комбинацией этих векторов
1 1 2 2
m m
k
k
k
=
+
+ +
y
x
x
x (5.2.7) образуют векторное подпространство. Если только
r векторов в выраже- нии (5.2.7) являются линейно независимыми, то и размерность подпро- странства будет равна
r – рангу системы векторов
i
x , i∈{1,2,…,m}. Это означает, что только
r компонент вектора у можно выбирать произволь- но, остальные линейно зависят от этих
r компонент.
Если же ранг матрицы системы векторов
i
x равен
n, то мы с помо- щью (5.2.7) получим вектор
у из того же пространства
V
n
. Тогда систему из
n линейно независимых векторов называют линейной оболочкой про- странства
V
n
. Эти
n линейно независимых векторов можно использовать и как
базис пространства. Базисом пространства называют такую систему векторов, что произвольный вектор пространства выражается единствен- ным образом в виде линейной комбинации этих базисных векторов. Век- торное пространство
V
n
может иметь несколько базисов, более того мно- жество базисов любого векторного пространства континуально ввиду континуальности множеств значений компонент векторов и скаляров, образующих линейную комбинацию. Если базисные векторы попарно ортогональны, то получаем
ортогональный базис, а если они к тому же и нормированы, то базис будет называться
ортонормированным.
Существует стандартная процедура построения ортонормированного базиса из
n линейно независимых векторов, называемая ортогонализаци-
ей Грама – Шмидта.
Пусть задано множество
{
}
1 2
, ,...,
n
x x
x линейно независимых векторов и требуется построить ортонормированный базис
{
}
1 2
ˆ ˆ
ˆ
, ,...,
n
y y
y
В качестве первого вектора выбираем произвольный вектор
i
x , например, полагаем
1 1
=
y
x .
Из исходной системы выбираем второй вектор
2
x . Второй вектор ис- комого базиса выберем по формуле

238 2
2 1
k
=
−
y
x
y , где
k вычисляется из условия ортогональности
2
y и
1
y , то есть таким образом, чтобы
1 2
1 2
1 1
,
,
,
0
k
〈
〉 = 〈
〉 − 〈
〉 =
y y
y x
y y
Из последнего условия
1 2
1 1
,
,
k
〈
〉
=
〈
〉
y x
y y
, и окончательно получим
1 2
2 2
1 1
1
,
,
〈
〉
=
−
〈
〉
y x
y
x
y
y y
Аналогично записываем выражение для третьего вектора
3 3
2 2 1 1
k
k
=
−
−
y
x
y
y ,
где
k
1
и k
2
определяются из условий ортогональности
3 1
,
0
y y
〈
〉 = и
3 2
,
0
y y
〈
〉 = .
Из этих условий получаем уравнения для
k
1
и k
2 1
3 2
1 2
1 1
1 1
1 1
2 3
2 2
2 1
1 1
2 2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
k
k
k
k
k
k
〈
〉 = 〈
〉 + 〈
〉 = 〈
〉
〈
〉 = 〈
〉 + 〈
〉 = 〈
〉
y x
y y
y y
y y
y x
y y
y y
y y
или окончательно
2 3
1 3
3 3
2 1
2 2
1 1
,
,
,
,
〈
〉
〈
〉
=
−
−
〈
〉
〈
〉
y x
y x
y
x
y
y
y y
y y
Обобщая последнюю формулу, для
j-го вектора имеем
1 1
,
,
{1,2,3,..., }.
,
j
i
j
j
j
i
i
i
i
j
n
−
=
〈
〉
=
−
∈
〈
〉
∑
y x
y
x
y
y y

239
Нормируя векторы
i
y , получаем ортонормированный базис
ˆ
i
i
i
=
y
y
y
Пример 5.2.
Построить ортонормированный базис из системы векторов
[
]
[
]
[
]
1 2
3 1 1 1 ,
1 2 3 ,
1 3 2
T
T
T
=
=
=
x
x
x
В качестве первого вектора выберем
1 1
=
y
x . Тогда
[
]
[
]
1 1
1
ˆ
1 1 1 и
1 1 1 3
T
T
=
=
y
y
Так как
1 2
1 1
,
,
2
〈
〉 〈
〉 =
y x
y y
, то
[
]
[
] [
]
[
]
2 2
1 2
1
ˆ
2 1 2 3 2 1 1 1 1 0 1 и
1 0 1 2
T
T
T
T
=
−
=
−
= −
=
−
y
x
x
y
Подобным образом
2 3
2 2
1 3
1 1
,
,
0,5 и
,
,
2
〈
〉 〈
〉 =
〈
〉 〈
〉 =
y x
y y
y x
y y
, поэтому
[
]
[
]
[
] [
]
[
]
3 3
2 1
3 1
1 2
1 3 2 1 2 3 2 1 1 1 0,5 1 0,5 2
2 1
ˆ
и
0,5 1 0,5 .
6
T
T
T
T
T
=
−
−
=
−
−
= −
−
=
−
−
y
x
x
x
y
Введем еще понятие
двойственного базиса, которое в дальнейшем будет полезно. Возьмем систему базисных векторов
i
x ,i∈{1,2,…,n}. За- дадим систему векторов
j
r , удовлетворяющих соотношению
{
}
,
, ,
1,2,...,
j
i
ij
i j
n
〈
〉 = δ
∈
r x
. (5.2.8) где
δ
ik
– символ Кронекера.

240
Можно показать, что для любого базиса
i
x всегда найдется система та- ких векторов, что удовлетворяются соотношения (5.2.8). Векторы
j
r явля- ются линейно независимыми и образуют линейную оболочку, натянутую на базис
i
x . Следовательно, их можно в свою очередь выбрать как базис- ные векторы. Базис, состоящий из векторов
j
r , удовлетворяющих соотно- шению (5.2.8), называется двойственным по отношению к базису
i
x .
Двойственный базис можно применять для определения постоянных
k
j
в уравнении (5.2.7) по заданному вектору у, то есть для разложения заданного вектора
у по составляющим базиса
j
x .
Составляя скалярные произведения правой и левой частей уравнения
(5.2.7) с вектором
j
r , придем к уравнениям для
k
j
:
,
j
j
k = 〈
〉
r y
.
Тогда разложение вектора
у по базисным векторам
i
x будет выгля- деть следующим образом:
1
,
n
i
i
i=
=
〈
〉
∑
y
r y x , (5.2.9) то есть скалярное произведение
,
i
〈
〉
r y равно составляющей вектора у в направлении вектора
i
x .
5.3 Собственные значения и собственные векторы
5.3.1. Характеристическое уравнение
Вернемся к уравнению (5.2.6)
=
y Ax , где матрица
А – квадратная размерностью
(
)
n n
×
Интерес представляет вопрос о том, существует ли в пространстве
V
n
такой вектор