Математическая теория систем. Математические основы теории систем

• Название: Математические основы теории систем
• Дата: 20.01.2023
• Размер: 2.07 Mb.
• Имя файла: Математическая теория систем.pdf
• Тип: Учебное пособие; #895603
• страница: 25 из 35

Пример 4.10.
Найти преобразование от t.
Функцию
t можно представить как 1( )
t
t
⋅
, и тогда согласно (4.3.19) и учитывая результат примера 4.8 имеем
{ }
(
)
2 1
1
d
z
Tz
Z t
Tz
dz z
z


= −
=


−


−
Теорема об умножении оригинала на экспоненту
{
}
( )
(
).
at
aT
Z e f t
F ze
±
=
∓
(4.3.20)
Теорема о начальном значении
0
lim ( ) lim ( )
t
z
f t
F z
→
→∞
=
, (4.3.21)

214 при условии, что предел существует.
Действительно, по определению
1 2
0
( )
(
)
(0)
( )
(2 )
k
k
F z
f kT z
f
f T z
f T z
∞
−
−
−
=
=
=
+
+
+
∑
Возьмем предел от левой части и почленно от правой при
z → ∞ :
0
lim ( )
(0) lim ( ).
z
t
F z
f
f t
→∞
→
=
=
Теорема о конечном значении:
(
)
1 1
lim ( ) lim 1
( )
t
z
f t
z
F z
−
→∞
→
=
−
, (4.3.22) при условии, что
1
(1
) ( )
z F z
−
−
является аналитической на окружности единичного радиуса
1
z = и вне круга, описываемого этой окружностью.
Для доказательства рассмотрим два ряда с конечным числом членов
1 0
(
)
(0)
( )
(
)
n
k
n
k
f kT z
f
f T z
f nT z
−
−
−
=
=
+
+ +
∑
(4.3.23) и
1 2
0 1
1 0
((
1) )
(0)
( )
((
1) )
(
)
n
k
n
k
n
k
k
f k
T z
f
z
f T z
f n
T z
z
f kT z
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
+
+ +
−
=
=
∑
∑
(4.3.24)
Вычтем из ряда (4.3.23) ряд (4.3.24) и перейдем к пределу при
1
z → :
( )
1 1
1 1
0 0
0 0
lim
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
k
k
z
k
k
k
k
f kT z
z
f kT z
f kT
f kT
f nT
−
−
−
−
−
→
=
=
=
=


−
=
−
=




∑
∑
∑
∑
В последнем выражении перейдем к пределу при
n → ∞

215 1
1 1
0 0
lim (
) lim lim
(
)
(
)
n
n
k
k
n
n
z
k
k
f nT
f kT z
z
f kT z
−
−
−
−
→∞
→∞ →
=
=


=
−




∑
∑
Меняя порядок перехода к пределам, и учитывая, что
1 0
0
lim
(
)
lim
(
)
( )
n
n
k
k
n
n
k
k
f kT z
f kT z
F z
−
−
−
→∞
→∞
=
=
=
=
∑
∑
, получим искомую формулу (4.3.22)
1 1
lim ( ) lim (
) lim(1
) ( ).
t
n
z
f t
f nT
z F z
−
→∞
→∞
→
=
=
−
Требование отсутствия полюсов функции
1
(1
) ( )
z F z
−
−
на единичной окружности и вне ее гарантирует сходимость пределов в формуле
(4.3.22).
Теорема о дифференцировании по параметру:
( , )
( , )
f t a
F z a
Z
a
a
∂
∂

 =


∂
∂


(4.3.25)
Теорема о свертке во временной области
1 2
1 2
0
( )
( )
(
)
(
) .
k
n
F z F z
Z
f nT f kT nT
=


⋅
=
⋅
−




∑
(4.3.26)
Теорема о свертке в области изображений.
{
}
1 1
2 1
2
( )
(
)
1
( )
( )
2
F
F z
Z f t f t
d
j
−
Γ
ξ ⋅
ξ
⋅
=
ξ
π
ξ
∫
, (4.3.27) где контур интегрирования Г разделяет полюсы
1
( )
F z от полюсов
2
(
)
F z ξ .
Обратное z-преобразование.
Как известно, по изображению Лапласа
F(s) вполне однозначно может быть восстановлена функция-оригинал
( )
f t (см. формулу (3.3.10)). Для z-преобразования обратное z-

216 преобразование не является однозначным, то есть, если
z-преобразование некоторой функции
( )
f t
равно
F(z), то обратное z-преобразование, при- мененное к
F(z), не обязательно дает
( )
f t
. Корректный результат обрат- ного
z-преобразования есть ( )
f kT . Об этом необходимо помнить и это является одним из ограничений метода
z-преобразования.
В общем случае обратное
z-преобразование может быть определено одним из трех методов.
Метод разложения на простые дроби. Этот метод при небольшой модификации соответствует методу разложения на простые дроби в пре- образовании Лапласа.
Как известно, преобразование Лапласа может быть получено в виде
1 2
1 2
( )
,
n
n
A
A
A
F s
s s
s s
s s
=
+
+
−
−
−
(4.3.28) где
s
i
– простые полюсы, а
A
i
– вычеты в этих полюсах.
Тогда функция-оригинал определится как сумма экспонент.
Для
z-преобразования не нужно представлять функцию-изображение в форме (4.3.28). В таблицах обратное
z-преобразование для функции
A z a
− отсутствует (хотя при положительном значении а член такого вида соответствует последовательности импульсов с экспоненциально затухающей амплитудой, когда присутствует временная задержка).
Но известно (см. пример 4.3.2), что обратное
z-преобразование функ- ции
aT
Az z e
−
−
равно
akT
Ae
−
, следовательно, удобнее разложить на про- стые дроби функцию ( )
F z z , а после этого обе части равенства умно- жить на
z. Далее находим оригиналы для каждого из слагаемых и записы- ваем результат в виде суммы полученных оригиналов.
Пример 4.11.
По заданному преобразованию
3 2
2
( )
4 5
2
z
F z
z
z
z
=
−
+
−
найти (
)
f kT . На основе изложенного метода имеем
( )
(
)(
) (
) (
) (
)
2 2
3 2
2 2
2 2
2 4
5 2
2 1
2 1
1
F z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
=
=
=
−
−
−
+
−
−
−
−
−
−
и
( )
(
) (
) (
)
2 2
2 1
1
z
z
z
F z
z
z
z


=
−
−




−
−
−



217
Согласно примерам 4.8÷4.10 при
1
T = получим
(
)
( ) 2 2 1
, при
0
k
f k
k
k
=
− −
≥ .
Если
T не равно единице, то по теореме об интервале квантования будет
(
)
(
) 2 2 1
, при
0
k
f kT
k
k
=
− −
≥ .
Для функций-изображений, не содержащих нулей
0
z = , то есть не имеющих в качестве множителя в числителе
z, временная последователь- ность оригинала будет иметь сдвиг по оси времени. В этом случае нахождение обратного
z-преобразования будет таким.
Разложение
F(z) представляется в обычном виде
1 2
1 2
( )
,
n
n
A
A
A
F z
z z
z z
z z
=
+
+
−
−
−
после чего вводится вспомогательная функция
1 2
1 1
2
( )
( )
n
n
A z
A z
A z
F z
zF z
z z
z z
z z
=
=
+
+ +
−
−
−
По последнему выражению определяется функция оригинал
f
1
(
kT) и, далее, функция
(
)
f kT
:
{
}
{
}
[
]
1 1
1 1
1
(
)
( )
( )
(
1) .
f kT
Z
F z
Z
z F z
f k
T
−
−
−
=
=
=
−
(4.3.29)
Последний переход в формуле (4.3.29) непосредственно следует из определения
z-преобразования, если f(kT)≡0 при k<0.
Метод разложения в степенной ряд. Из определения z-преобра- зования (формула (4.3.12)) следует, что обратное
z-преобразование может быть получено разложением изображения
F(z) в бесконечный ряд по сте- пени
1
z
−
:
1 2
( )
(0)
( )
(2 )
(
)
k
F z
f
f T z
f T z
f kT z
−
−
−
=
+
+
+ +
+
(4.3.30)

218
Величины (
)
f kT определяются непосредственно по виду этого вы- ражения. Формулу (4.3.30) можно рассматривать как разложение в ряд
Тейлора около бесконечно удаленной точки
z → ∞ . Если обозначить через ϕ(
z) функцию, получающуюся из F(z) заменой z на 1/z, то из выра- жения (4.3.30) следует, что
2
( )
(0)
( )
(2 )
(
)
k
z
f
f T z
f T z
f kT z
ϕ
=
+
+
+ +
+ является разложением в ряд Тейлора функции ϕ(
z) относительно начала координат и, следовательно,
1
(0)
(
)
!
k
k
d
f kT
k
dz
ϕ
=
Но обычно проще найти эти коэффициенты непосредственно делени- ем числителя на знаменатель, так как
z-преобразование, как правило, дробно-рациональная функция
z. Если использовать ϕ(z), то многочлены при делении следует записывать в порядке возрастания степеней. Если же оперировать непосредственно с
F(z), числитель и знаменатель нужно записывать по возрастающим степеням
1
z
−
Этот метод проще любого другого, если требуется определить ƒ(
kT) только в нескольких точках
t kT
=
. Недостатком же его является невоз- можность получения общего выражения для
k-го члена в замкнутой форме.
Пример 4.12.
Найдем первые пять значений функции (
)
f kT по её пре- образованию
3 2
2
( )
4 5
2
z
F z
z
z
z
=
−
+
−
Осуществляя непосредственное деление числителя на знаменатель, по- лучаем ряд Лорана
2 3
4
( ) 2 8
22
F z
z
z
z
−
−
−
=
+
+
+ .
Коэффициенты этого ряда являются значениями искомой функции в дискретные моменты времени

219
(0) 0,
( ) 0,
(2 ) 2,
(3 ) 8,
(4 ) 22,
f
f T
f T
f T
f T
=
=
=
=
=
Метод, основанный на использовании формулы обращения.Для об- ратного
z-преобразования можно получить интеграл обращения, анало- гичный интегралу обратного преобразования Лапласа (3.3.10).
Возьмем интеграл обратного преобразования Лапласа (3.3.10):
1
( )
( )
2
c j
st
c j
f t
F s e ds
j
+ ∞
− ∞
=
π
∫
, где
с – абсцисса абсолютной сходимости, следовательно, все особые точ- ки функции
F(s) лежат слева от линии интегрирования.
Имея в виду, что требуется получить в результате вывода формулы функцию ƒ(
kT), заменим t kT
=
и разобьем линию интегрирования на бесконечное число отрезков:
3 1
1 1
1 3
;
;
...,
2 2
2 2
2 2
s
s
s
s
s
s
− ω < ω < − ω − ω < ω < ω
ω < ω < ω
общая формула для которых (
1 2)
(
1 2) , (
0, 1, 2,...)
s
s
n
n
n
−
ω < ω <
+
ω
= ± ±
В результате получим
1
(
)
2 1
(
)
2 1
(
)
( )
2
s
s
c j
n
kTs
n
c j
n
f kT
F s e ds
j
+ ω
+
∞
=−∞
+ ω
−
=
π
∑ ∫
В правой части последнего выражения поменяем местами операцию суммирования и интегрирования и вместо переменной интегрирования
s введем переменную
s+jnω
s

220
(
)
2 2
1
(
)
2
s
s
s
c j
jnk T
kTs
s
n
c j
f kT
F s jn
e e
ds
j
ω
+
∞
ω
=−∞
ω
−
=
+ ω
π
∑
∫
Вспоминая формулу (4.3.9) и учитывая, что
2 1
jnk
e
π
= , имеем
2
*
2
(
)
( )
2
s
s
c j
kTs
c j
T
f kT
F s e ds
j
ω
+
ω
−
=
π
∫
Теперь от дискретного преобразования Лапласа
F*(s)перейдем к z- преобразованию заменой переменной (4.3.10).
Тогда
1
,
dz
ds
T z
=
линия интегрирования в соответствии с преобразо- ванием
, где
2 2
sT
cT
j T
s
s
z e
e
e
ω
=
=
⋅
−ω
< ω < ω
отобразится в окруж- ность радиуса
cT
e , причем область, лежащая слева от линии интегриро- вания для переменной
s, отобразится внутрь окружности для переменной
z, и окончательно получим
1 1
(
)
( )
,
2
k
f kT
F z z dz
j
−
Γ
=
π
∫
(4.3.31) где Г
– окружность радиуса
cT
e .
Так как
F(s)не имеет особых точек на линии интегрирования и справа от нее, то все особые точки подынтегрального выражения (4.3.31) долж- ны лежать внутри окружности Г. Тогда по теореме Коши о вычетах инте- грал (4.3.31) может быть представлен как
{
}
1
в полюсах ( )
1
(
)
вычеты
( )
n
k
F z
i
f kT
F z z
−
=
=
∑
. (4.3.32)
Пример 4.13.
Найдем оригинал от то же преобразования, что и в при- мерах 4.11 и 4.12.

221
Преобразование
( )
(
)(
)
2 2
2 1
z
F z
z
z
=
−
−
имеет простой полюс
2
z = и кратный (кратности два) полюс
1
z = .
Вычет
( )
1
k
F z z
−
в полюсе
2
z = равен
(
)
( )
2 2
2 2 2 1
k
k
z
z
z
=
=
−
, а в кратном полюсе
1
z =
(
)
1 2
2 1
2
k
z
d
z
k
dz z
=


= −
+


−


, откуда
(
)
(
) 2 2 1
, при
0
k
f kT
k
k
=
− −
≥ , что соответствует результату примера 4.11.
4.3.3. Разностные уравнения и z-преобразование
Решение разностных уравнений легко получить, используя
z-
преобразование.
Возьмем разностное уравнение в общем виде (4.2.1):
(
)
(
)
( )
(
)
( )
0 1
0 1
n
m
a y k n
a y k n
a y k
b r k m
b r k
+
+
+ − + +
=
+
+ +
Применим
z-преобразование почленно к правой и левой частям этого уравнения. Учитывая теорему о сдвиге во временной области, получим
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
1 1
0 1
0 0
1 0
1 1
1 1
0 1
0 0
1 0
1 1
0 1
0 1
2 0
0 1
0 1
2 0 .
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
a z
a z
a Y z
z a y
z
a y
a y
z a y n
a y n
a y
b z
b z
b R z
z b r
z
b r
b r
z b r m
b r m
b r
−
−
−
−
−
−
+
+ +
−
−
+
−




− −
− +
−
+ +
=




=
+
+ +
−
−
+
−




−
− +
−
+ +




(4.3.33)

222
Разрешив это уравнение относительно
Y(z), можно далее на основе методов обратного преобразования получить ( )
y k . Как видно, в уравне- нии (4.3.33) присутствуют члены от (0)
y
до (
1)
y n − . Эти члены пред- ставляют
n граничных (начальных) условий, необходимых для определе- ния произвольных постоянных в классическом решении.
Соотношение (4.3.33) значительно упрощается, если разностное урав- нение (4.2.1) описывает предварительно невозбужденную физически реа- лизуемую систему. Термин «предварительно невозбужденная система» означает, что запасенная системой к моменту времени
0
t = энергия рав- на нулю, или, что ( )
( ) 0 при
0
y k
r k
k
=
≡
< .
Для физически реализуемой системы реакция на выходе не может по- явиться ранее воздействия на ее входе, то есть в разложении по степеням
1
z
−
отсутствуют члены с положительными степенями
z, откуда следует, что в уравнении (4.2.1) должно выполняться условие
m n
≤ . Подставим в уравнение (4.2.1) последовательно
; (
1);...; 2; 1
k
n
n
= − − −
− − . С учетом равенства нулю ( )
y k и ( )
r k при
0
k < , получим
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
0 0
0 1
0 1
0 1
1 0
1 1
0
,
1 0
1
,
1 2
0 1
2 0 .
n
m
a y
b r m n
a y
a y
b r m n
b r m n
a y n
a y n
a y
b r m
b r m
b r
−
−
=
−
+
=
− + +
−
− +
−
+ +
=
=
− +
−
+ +
(4.3.34)
В правой части равенств (4.3.34) все слагаемые с отрицательным ар- гументом равны нулю.
Сравнивая выражения (4.3.34) и (4.3.33) нетрудно видеть что
(
)
( )
(
)
( )
1 1
0 1
0 1
n
n
m
m
n
m
a z
a z
a Y z
b z
b z
b R z
−
−
+
+ +
=
+
+ +
,
откуда
1 0
1 1
0 1
( )
( )
( )
( ).
m
m
m
n
n
n
b z
b z
b
Y z
R z
W z R z
a z
a z
a
−
−
+
+ +
=
⋅
=
⋅
+
+ +
(4.3.35)
Из формулы (4.3.35) видно, что существует непосредственная связь между преобразованиями от входного и выходного сигналов предвари-

223 тельно невозбужденной системы. Эта связь устанавливается
импульсной
передаточной функцией
0 0
( )
( )
,
( )
m
m
n
n
b z
b
Y z
W z
R z
a z
a
+ +
=
=
+ +
(4.3.36) которую можно определить как отношение
z-преобразований выхода и входа предварительно невозбужденной системы. Сравнение выражений
(4.3.36) и (4.2.31), (4.2.32) показывает, что импульсную передаточную функцию можно записать непосредственно по разностному уравнению.