Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
4.3 Методы преобразований 4.3.1. Дискретное преобразование Лапласа Для исследования непрерывных систем широко применяется преобра- зование Лапласа. Но непосредственное применение преобразования Лапласа к разностному уравнению и, в частности, к любой решетчатой функции ( ) f kT тождественно дает нуль, так как площадь этой функции (или в физической интерпретации – энергия такого сигнала) равна нулю. Чтобы выйти из этого затруднительного положения, придадим функции ( ) f kT площадь, равную значению этой функции. Проще всего это сде- лать, умножив значение функции в точке t kT = на дельта-функцию, принимающую бесконечное значение в этой же точке. Проделав такую операцию для всех k, при которых определена функция f, получим им- пульсную функцию ( ) ( ) * ( ) k f t f kT t kT ∞ =−∞ = δ − ∑ , (4.3.1) представляющую собой последовательность «идеальных» импульсов с бесконечной амплитудой и бесконечно малой длительностью, причем каждый импульс имеет площадь, равную значению функции ( ) f kT . Точно такую же импульсную функцию можно получить и из непрерыв- ной функции ( ) f t , применив к ней формулу (4.3.1) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T k k f t f t t kT f t t kT f t t ∞ ∞ =−∞ =−∞ = δ − = δ − = δ ∑ ∑ , (4.3.2) где через ( ) T t δ обозначена соответствующая сумма δ-функций. Воспользовавшись выражением (4.3.2) можно дать одно из понятий дискретного преобразования Лапласа, наиболее удобное с инженерных позиций. Определим дискретное преобразование Лапласа функции ( ) f t 206 как преобразование Лапласа от импульсной функции f * ( t), соответствую- щей непрерывной функции ( ) f t : { } { } * * * ( ) ( ) ( ) . F s L f t L f t = = (4.3.3) Преимущество такого определения состоит в том, что эта новая опе- рация полностью выражается через уже знакомую и хорошо изученную операцию обычного преобразования Лапласа. Согласно (4.3.3) и с учетом (4.3.2) имеем { } ( ) * * * 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) st st k F s L f t e f t dt e f kT t kT dt ∞ ∞ ∞ − − = = = = δ − ∑ ∫ ∫ Поменяв в правой части последнего выражения порядок интегрирова- ния и суммирования, получим * 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) st skT k k F s f kT e t kT dt f kT e ∞ ∞ ∞ − − = = = δ − = ∑ ∑ ∫ . (4.3.4) В формуле (4.3.4) отсутствует δ-функция, и она может быть использо- вана непосредственно для решетчатой функции. Нетрудно получить альтернативную формулу для вычисления дис- кретного преобразования Лапласа функции ( ) f t по ее обычному преоб- разованию Лапласа. Опять воспользуемся выражениями (4.3.2) и (4.3.3). Имеем { } { } * * ( ) ( ) ( ) ( ) . T F s L f t L f t t = = δ Для вычисления правой части последнего выражения используем тео- рему свертки в области изображений (см. формулу (3.3.22)), учитывая, что { } 0 0 0 ( ) ( ) st skT T k k L t e t kT dt e ∞ ∞ ∞ − − = = δ = δ − = ∑ ∑ ∫ 207 Ряд в правой части последнего выражения сходится при 1 sT e − < ,т.е. при Re 0 s > и его сумма равна 1 1 sT e − − (сумма геометрической про- грессии). Таким образом, получим { } * ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 c j T T s c j F s L f t t F d j e + ∞ − −ξ − ∞ = δ = ξ ξ π − ∫ . (4.3.5) При записи выражения (4.3.5) использована формула (3.3.22), причем в качестве функций F 1 ( s), F 2 ( s) взяты соответственно 1 1 sT e − − и F(s), а величина с удовлетворяет соотношениям (3.3.23) и (3.3.24), следователь- но, все полюсы функции F(s) лежат левее линии интегрирования. Абс- цисса абсолютной сходимости функции ( ) T t δ , представляющей сумму δ- функций, как известно, равна нулю, следовательно, для сходимости инте- грала (4.3.5) требуется, чтобы Re s c > . Из выражения (4.3.5) следует, что дискретное преобразование Лапласа существует для всех функций, для которых существует и обычное преобразование Лапласа. Вычислить интеграл (4.3.5) можно, воспользовавшись теоремой о выче- тах (теорема Коши), как сумму вычетов подынтегрального выражения в его полюсах, расположенных внутри контура интегрирования, который не должен иметь на себе особенностей подынтегрального выражения. Для этого необходимо замкнуть путь интегрирования. Это можно сделать, до- бавив к пути интегрирования бесконечно большую полуокружность либо в левой полуплоскости ( ) R → −∞ , либо в правой ( ) R → +∞ , как показано на рис. 4.1. При этом получим замкнутый контур Г 1 , либо Г 2 Рис. 4.1. Контур интегрирования при вычислении интеграла (4.3.5) c j − ∞ c j + ∞ Г 2 Г 1 208 В первом случае (контур Г 1 ) имеем в полюсах * ( ) ( ) 1 1 в полюсах вычеты ( ) ( ) ( ) вычеты , 1 1 i i i n n T s T s i i F F F s e e ξ=ξ − −ξ − −ξ = = ξ=ξ ξ ξ = = − − ∑ ∑ (4.3.6) где ξ i – полюсы функции F(s), так как внутри контура Г 1 расположены только они. Во втором случае получим выражение * ( ) в полюсах 1 ( ) ( ) вычеты 1 k n k T s k F s F e − −ξ =−∞ ξ=ξ = − ξ − ∑ , (4.3.7) где ξ к – полюсы функции ( ) 1 1 T s e − −ξ − , а знак «минус» возникает потому, что интегрирование по контуру Г 2 осуществляется по часовой стрелке. Полюсы ξ к в формуле (4.3.7) определяются уравнением ( ) 1 0, T s e − −ξ − = откуда находим 2 k s j k T π ξ = + , ( k=0, ±1, ±2, …). Эти полюсы простые и, с учетом того, что Re s c > , находятся дей- ствительно внутри контура Г 2 Вычет в простом полюсе ξ к находится по известной формуле ( ) ( ) ( ) в полюсах 1 1 1 вычет 1 1 k k T s T s d T e e d − −ξ − −ξ ξ=ξ ξ=ξ = = − − − ξ . (4.3.8) Подставляя выражение (4.3.8) в (4.3.7) получим * 1 ( ) ( ) s k F s F s j k T ∞ =−∞ = + ω ∑ , (4.3.9) 209 где 2 s T ω = π – круговая частота отсчетов времени t kT = Чтобы пользоваться формулами (4.3.6) и (4.3.9) необходимо убедить- ся в равенстве нулю интеграла по бесконечно большому радиусу в левой или правой полуплоскости от подынтегрального выражения (4.3.5). Формулы (4.3.4) и (4.3.9) дают дискретное преобразование Лапласа в незамкнутой форме, а формула (4.3.6) – в замкнутой, что и определяет удобство пользования последней. Из свойств дискретного преобразова- ния Лапласа полезно упомянуть свойство периодичности функции F * ( s). Действительно, периодом такой функции будет jω s . Это нетрудно пока- зать, например, используя формулу (4.3.9). Подставим вместо s величину s+jnω s в выражение (4.3.9), где n – целое число: * * 1 1 ( ) ( ) ( ( )) 1 ( ) ( ), s s s s k k s m F s jn F s j k j n F s j k n T T F s j m F s T ∞ ∞ =−∞ =−∞ ∞ =−∞ + ω = + ω + ω = + ω + = = + ω = ∑ ∑ ∑ где m=k+n. Этот же результат можно получить и из формулы (4.3.4): ( ) * 2 0 0 * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), s s j n kT skT j nk s k k skT k F s jn f kT e f kT e e f kT e F s ∞ ∞ − + ω − − π = = ∞ − = + ω = = = = = ∑ ∑ ∑ так как 2 s T ω = π , а экспонента в степени 2 jm − π , где m kn = – целое число, равна единице. 4.3.2. z-преобразование Определение z-преобразования. Дискретное преобразование Лапласа обладает одним недостатком, который существенно ограничивает его применение для исследования дискретных во времени систем, именно: наличие экспоненты в степени переменной s (это явно заложено в фор- мулах (4.3.4) и (4.3.6) и неявно – в формуле (4.3.9)). То есть дискретное преобразование Лапласа не является дробно-рациональной функцией s, а появление множителя Ts e − может привести к большим трудностям в вы- 210 числении обратного преобразования Лапласа. Желательно было бы пре- образовать F * ( s) к такой форме, чтобы это стало дробно-рациональным выражением относительно некоторой новой переменной. Выбор такой переменной очевиден: это 1 или ln Ts z e s z T = = . (4.3.10) Из формул (4.3.10) видно, что z – это комплексная переменная, дей- ствительная и мнимая часть которой определяется как Re cos , Im sin , T T z e T z e T σ σ = ω = ω где s j = σ + ω . Таким образом, z-преобразование некоторой непрерывной функции f(t) можно определить как ее дискретное преобразование Лапласа после замены (4.3.10): { } { } * * 1 1 ln ln ( ) ( ) ( ) ( ) s z s z T T F z Z f t F s L f t = = = = = . (4.3.11) Из определения (4.3.11) следует, что z-преобразование существует для любой функции, имеющей преобразование Лапласа. Для вычисления z-преобразования можно применить формулы (4.3.4), (4.3.6) и (4.3.9), из которых после замены переменной (4.3.10) получают- ся соответственно 0 ( ) ( ) , k k F z f kT z ∞ − = = ∑ (4.3.12) в полюсах 1 1 вычеты ( ) ( ) , 1 i i n T i F F z z e ξ=ξ ξ − = ξ = − ⋅ ∑ (4.3.13) 1 ln 1 ( ) ( ) s k s z T F z F s j k T ∞ =−∞ = = + ω ∑ (4.3.14) 211 Все три формулы равноценны, но имеют разные области применения. Если задана функция ( ) f t или ( ) f kT , используется выражение (4.3.12). Строго говоря, на временные ряды или функции никаких ограничений не накладывается, поэтому эта формула является наиболее общей (хотя для того, чтобы записать z-преобразование в замкнутой форме, ряд (4.3.12) должен сходиться) 1 В случае, если задано преобразование Лапласа некоторой функции { } ( ) ( ) F s L f t = , ее z-преобразование удобно определять по формуле (4.3.13). И, наконец, формула (4.3.14) обычно используется при частотном ис- следовании дискретных сигналов и при доказательстве некоторых теорем. Пример 4.8. Найдем преобразование от единичной ступенчатой функ- ции 1( t). Воспользуемся формулой (4.3.12) ( ) { } ( ) 1 1 1 1 k k k k Z t t z z ∞ ∞ − − = = = = ∑ ∑ Данный ряд является геометрической прогрессией и при 1 1 z − < (или, что то же самое, при 1 z > ) сходится к 1 1 1 1 z z z − = − − . Таким образом, по- лучаем ( ) { } 1 1 z Z t z = − Пример 4.9. Найти преобразование от экспоненты at e − Известно (см. результат примера 3.11), что преобразование Лапласа от экспоненты равно 1 s a + , поэтому можно воспользоваться формулой (4.3.13). Вычет этой функции в единственном полюсе s a = − равен едини- це, следовательно, имеем 1 Поскольку вывод формулы (4.3.12) основан на одностороннем преобразовании Лапласа, данная формула определяет т.н. одностороннее z-преобразование. В двухстороннем преоб- разовании нижний предел суммы равен минус бесконечности. 212 { } 1 1 1 at aT aT z Z e z e z e − − − − = = − − Свойства z-преобразования. Свойства z-преобразования аналогичны соответствующим свойствам преобразования Лапласа и сформулированы в виде теорем. Доказательство наиболее простых теорем предоставлено читателям. Применение этих теорем часто облегчает вычисление прямого и обратного z-преобразования. Теорема существования. Для существования F(z) необходимо, чтобы ( ) f t была определена при всех t kT = ( 0,1, 2,...) k = . Теорема единственности. Две функции времени имеют одно и то же z-преобразование, если и только если они совпадают при всех t kT = ( 0,1,2,...) k = Теорема линейности { } 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), Z f t f t F z F z + = + (4.3.15) { } ( ) ( ) Z c f t c F z ⋅ = ⋅ , (4.3.16) где с – константа. Теорема об интервале квантования. Преобразование функции ( ) f t T не зависит от периода квантования. Теорема о сдвиге во временной области { } ( ) ( ). n Z f t nT z F z − − = (4.3.17) { } 1 0 ( ) ( ) ( ) n n k k Z f t nT z F z f kT z − − = + = − ∑ (4.3.18) Докажем формулу (4.3.17). Имеем по определению { } ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) k n k n k k Z f t nT f kT nT z z f k n T z ∞ ∞ − − − − = = − = − = − ∑ ∑ Введем новый индекс суммирования m k n = − . Тогда { } 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n m n m n m n m Z f t nT z f mT z z f mT z z F z ∞ ∞ − − − − − =− = − = = = ∑ ∑ 213 При доказательстве учтено, что ( ) 0 f t ≡ при 0 t < , и везде z-преобра- зование и преобразование Лапласа одностороннее без особого о том напоминания. Докажем формулу (4.3.18): { } ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) k n k n n m k k m n Z f t nT f kT nT z z f k n T z z f mT z ∞ ∞ ∞ − − + − = = = + = + = + = ∑ ∑ ∑ В сумме правой части последнего выражения не хватает n слагаемых для того, чтобы эта сумма равнялась z-изображению, поэтому добавим и вычтем их. В результате получим формулу (4.3.18) { } ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 0 ( ) ( ) n n n m m m m n m m n n m m Z f t nT z f mT z f mT z f mT z z F z f mT z ∞ − − − − − = = = − − = + = + − = = − ∑ ∑ ∑ ∑ Теорема об умножении оригинала на t: ( ) { } ( ) dF z Z t f t Tz dz ⋅ = − . (4.3.19) |