Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
Пример 3.9. Определить частотный спектр прямоугольного импульса (см. рис. 3.1, а) ( ) 2 при , 2 0 при > . P t P f t t P ≤ = ( ) f t ω P 1 2 P − 1 2 P а б ω ( ) F ω 1 Рис. 3.1. Импульсный сигнал и его частотный спектр 0 2 P π 4 P π 2 P − π 4 P − π 0 163 Поскольку исходная функция четная, для определения спектра можно воспользоваться косинус-преобразованием Фурье ( ) ( ) 1 2 0 sin 2 2 cos 2 P c P F F P tdt P ω ω = ω = ω = ω ∫ График полученного спектра изображен на рис. 3.1, б. При стремлении P к бесконечности ( ) f t превращается в единичный мгновенный импульс, а частотный спектр в пределе – в константу, равную единице. Приведенный пример иллюстрирует обратно пропорциональную взаи- мосвязь между длительностью импульса и шириной его частотного спектра. Пусть функции ( ) f t и ( ) g t имеют соответственно преобразование Фурье ( ) F jω и ( ) G jω . Тогда обратное преобразование Фурье от произ- ведения изображений равно свертке функций ( ) f t и ( ) g t . Действительно, ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 j t j t j t j t F j G j e d F j e d g e d g d F j e d g f t d +∞ +∞ +∞ ω ω − ω −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ ω −τ −∞ −∞ −∞ ω ω ω = ω ω τ τ = π π = τ τ⋅ ω ω = τ − τ τ π ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Полагая в последнем выражении 0 t = , получим формулу, известную как равенство Парсеваля: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 F j G j d g f d +∞ +∞ −∞ −∞ ω ω ω = τ −τ τ π ∫ ∫ или 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 F j G j d g f d +∞ +∞ −∞ −∞ ω − ω ω = τ τ τ π ∫ ∫ Если положить f = g, то равенство Парсеваля будет иметь вид: 164 2 2 1 ( ) ( ) 2 F j d f t dt +∞ +∞ −∞ −∞ ω ω = π ∫ ∫ Преобразование Фурье играет важную роль при частотном исследова- нии систем и сигналов, но находит значительно меньшее распростране- ние непосредственно для решения дифференциальных уравнений при произвольных входных сигналах, поэтому остальные свойства преобра- зования Фурье целесообразно изучить по аналогичным свойствам преоб- разования Лапласа, которые изложены в соответствующем разделе. 3.3.2. Интегральные преобразования Лапласа, Карсона, Хевисайда Определение преобразований. Условие (3.3.8) часто не выполняется даже для очень простых функций. Один из путей, позволяющих расши- рить преобразование (3.3.6), (3.3.7) для значительно большего класса функций, заключается в следующем. Если условие (3.3.8) не выполняется для функции ( ) f t , то оно может выполняться для функции ( ) ( ) 1 ct f t f t e − = , где с больше радиуса сходимости функции ( ) f t 1 . Прак- тический интерес в теории систем представляют обычно функции, опреде- ленные при 0 t ≥ . Поэтому ограничимся классом функций, тождественно равных нулю при 0 t < . Найдем преобразование Фурье функции ( ) 1 f t : ( ) ( ) ( ) 1 0 j t c j t f t e dt f t e dt ∞ ∞ − ω − + ω −∞ = ∫ ∫ Обозначив s c j = + ω , получим функцию комплексной переменной s ( ) ( ) 0 st F s f t e dt ∞ − = ∫ . (3.3.9) 1 Подобные функции называются функциями экспоненциального типа. 165 Преобразование, определяемое формулой (3.3.9) называется преобра- зованием Лапласа 1 Вообще говоря, интеграл (3.3.9) можно представить как предел 0 0 ( ) ( ) lim ( ) M st st a a M F s f t e dt f t e dt ∞ − − → →∞ = = ∫ ∫ При этом а может стремиться к нулю, оставаясь все время положи- тельной величиной ( 0) a → + , либо, оставаясь все время отрицательной величиной ( 0) a → − . В связи с этим можно определять преобразование Лапласа как левостороннее ( 0) a → − , или как правостороннее ( 0) a → + . Обычно удобнее рассматривать правостороннее преобразование Лапласа, когда 0 a → + . Именно в таком смысле и будем в дальнейшем говорить о преобразовании Лапласа без дополнительного об этом упоминания. При этом начальные условия для самих функций и ее производных будут, естественно, рассматриваться в точке +0. Нетрудно получить формулу обращения для преобразования Лапласа, которая по изображению восстанавливала бы оригинал. Так как при фик- сированном с функцию ( ) ( ) F s F c j = + ω можно рассматривать как ре- зультат преобразования Фурье функции ( ) ( ) 1 ct f t f t e − = , то, применяя к функции ( ) F c j + ω обратное преобразование Фурье, получим 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 ct j t f t f t e F c j e d ∞ − ω −∞ = = + ω ω π ∫ Умножив правую и левую часть последнего выражения на ct e j , и сделав обратную замену c j s + ω = , имеем 1 Строго говоря, формула (3.3.9) задает так называемое одностороннее преобразование Лапласа в отличие от двухстороннего преобразования, у которого нижний предел в инте- грале (3.3.9) равен минус бесконечности. Для функций, тождественно равных нулю при отрицательном времени, одностороннее и двухстороннее преобразования совпадают. 166 ( ) 1 ( ) 2 c j st c j f t F s e ds j + ∞ − ∞ = π ∫ (3.3.10) Интегрирование в (3.3.10) ведется снизу вверх вдоль прямой, парал- лельной мнимой оси и отстоящей от нее на величину с. Величина с выби- рается правее всех полюсов функции ( ) F s . Минимальная величина c, удовлетворяющая этому условию, называется абсциссой абсолютной сходимости. Формула (3.3.10) задает обратное преобразование Лапласа. Символическая запись преобразования Лапласа часто имеет вид ( ) ( ) { } F s L f t = , а обратного преобразования ( ) ( ) { } 1 f t L F s − = Интеграл (3.3.10) можно вычислить, воспользовавшись, например, теоремой о вычетах [11], которая гласит: интеграл по замкнутому конту- ру, не имеющему особенностей подынтегральной функции, равен сумме вычетов подынтегральной функции в полюсах, охватываемых этим кон- туром, помноженной на коэффициент 2π j, то есть 1 ( ) 2 Res ( ) , n i i F s ds j F = Γ = π ξ ∑ ∫ где ξ i – полюсы F(ξ), попадающие в контур Г, n – число этих полюсов, а интегрирование ведется против часовой стрелки. Чтобы воспользоваться сформулированной теоремой для вычисления интеграла (3.3.10), нужно замкнуть контур интегрирования дугой беско- нечно большого размера через левую полуплоскость. Если абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, то s j = ω и фор- мулы (3.3.9) и (3.3.10) определяют так называемое одностороннее преоб- разование Фурье (в отличие от двухстороннего преобразования, опреде- ляемого формулами (3.3.6) и (3.3.7)). 167 Пример 3.10. Найти преобразование Лапласа от единичной ступенча- той функции 1( t) 1 . Пользуясь формулой (3.3.9) получаем ( ) ( ) 0 0 1 1 lim t st st st t t e L t e dt e s s =∞ ∞ − − − →∞ = = = − = − + ∫ Первое слагаемое стремиться к нулю, если вещественная часть s больше нуля Re 0 s > , и, таким образом, ( ) ( ) 1 1 L t s = . Пример 3.11. Найти преобразование Лапласа от экспоненты at e − Подставляя заданную функцию в формулу (3.3.9) получаем ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 lim t s a t s a t s a t at at st t t e L e e e dt e dt e s a s a =∞ ∞ ∞ − + − + − + − − − →∞ = = = = − = − + + + ∫ ∫ Первое слагаемое стремиться к нулю, если выполняется условие Re s a > − , и, таким образом, ( ) 1 at L e s a − = + Другими вариантами преобразования Лапласа являются преобразова- ние Карсона и преобразование Хэвисайда. Преобразование Карсона от- личается от преобразования Лапласа множителем s в формуле прямого преобразования и соответственно множителем 1/s в формуле обратного преобразования. А преобразование Хэвисайда является частным случаем преобразования Карсона, если функция-оригинал и ее производные име- ют нулевые начальные условия. Преобразование Карсона удобно тем, что, как нетрудно вычислить, изображение единичной функции есть единица: 0 0 ( ) 1( ) 1. st st k e F s s t e dt s s ∞ ∞ − − = ⋅ = − = ∫ 1 Единичная функция 1( t) равна единице при t ≥ 0 и нулю при t < 0 и часто применяется в теории управления. 168 Свойства преобразования Лапласа . Одно из основных свойств пре- образования Лапласа заключается в том, что изображение производной от функции ( ) f t очень просто связано с изображением самой функции. Действительно, найдем изображение по Лапласу от производной df dt , интегрируя по частям: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (0), st st st df df L e dt e f t s e f t dt sF s f dt dt ∞ ∞ ∞ − − − = = ⋅ + ⋅ = − ∫ ∫ (3.3.11) где 0 (0) lim ( ). t f f t → = Пользуясь формулой (3.3.11) можно найти изображение и для n-й производной: { } { } ( ) 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) (0) (0) ... (0). n n n n n L f t s L f t s f s f f − − − = − ⋅ − − − (3.3.12) Если начальные условия для функции и всех ее производных до ( 1) n − -й включительно нулевые, то выражение (3.3.12) упрощается { } { } ( ) ( ) ( ) . n n L f t s L f t = Двойственным к свойству, описываемому уравнением (3.3.12), явля- ется свойство дифференцирования преобразования Лапласа (теорема об умножении на t).Для целого положительного n имеем { } 0 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) n n n st n n n d F s t f t e dt L t f t ds ∞ − = − = − ∫ . (3.3.13) Пример 3.12. Найти преобразование Лапласа от функции ( ) f t t = . Поскольку речь идет об одностороннем преобразовании Лапласа, ис- ходную функцию можно представить как ( ) ( ) 1 f t t t = ⋅ , и тогда по фор- муле (3.3.13) для n=1 и согласно результату примера 3.10 получим { } ( ) ( ) 2 1 1 1 d s L t ds s = − = 169 Пример 3.13. Найти преобразование Лапласа от функции ( ) at f t te − = Применяя формулу (3.3.13) для n=1, и пользуясь результатом примера 3.11, получим { } ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 at d s a L te ds s a − − + = − = + Следующие два очевидных свойства позволяют считать оператор Лапласа линейным оператором: изображение суммы равно сумме изоб- ражений { } { } { } 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , L f t f t L f t L f t + = + и возможность выносить постоянный множитель за оператор Лапласа { } { } ( ) ( ) . L af t aL f t = Для нахождения прямого и обратного преобразований Лапласа полез- ны еще ряд свойств, которые можно сформулировать в виде теорем. Теорема запаздывания. Найдем ( ) { } L f t a − : { } { } ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) st s a a sa sa s L f t a f t a e dt f e d e e L f t f e d ∞ ∞ − − τ+ − ∞ − − − τ − = − = τ τ = = = ⋅ τ τ ∫ ∫ ∫ (3.3.14) Теорема о конечном значении. Если существует lim ( ) t f t →∞ , то ( ) { } 0 lim ( ) lim t s f t sL f t →∞ → = (3.3.15) Для доказательства устремим s к нулю в обеих частях выражения (3.3.11) 170 { } 0 0 0 0 0 lim lim ( ) (0), st s s df df e dt dt df s L f t f dt dt ∞ ∞ ∞ − → → = = = ⋅ − ∫ ∫ ∫ откуда { } 0 lim ( ) (0) lim ( ) (0), t s f t f s L f t f →∞ → − = ⋅ − и окончательно приходим к (3.3.15). Теорема о начальном значении. Начальное значение функции равно пределу при s → ∞ от ее изображения, умноженного на s { } (0) lim ( ) . s f s L f t →∞ = ⋅ (3.3.16) Действительно, рассмотрим опять формулу (3.3.11) и представим ин- теграл в левой части в виде суммы двух интегралов: 0 0 , M st st st M df df df e dt e dt e dt dt dt dt ∞ ∞ − − − = + ∫ ∫ ∫ (3.3.17) где 0 M > . Заменим в первом интеграле df/dt на максимальное на интервале 0 t M < < значение (пусть оно равно А). Тогда 0 0 1 M M sM st st df e e dt A e dt A dt s − − − − ≤ = ∫ ∫ Устремляя s к бесконечности,имеем 0 lim 0. M st s df e dt dt − →∞ = ∫ Второй интеграл также в пределе равен нулю, так как 0 ( ( ) (0)). st sM sM M df df e dt e dt e f f dt dt ∞ ∞ − − − < = ∞ − ∫ ∫ 171 Таким образом, левая часть выражения (3.3.17) при s → ∞ стремиться к нулю и из (3.3.11) сразу следует равенство (3.3.16). Теорема дифференцирования. Изображение производной от функции по параметру равно производной от изображения по этому же параметру { } ( , ) ( , ) L f t a f t a L a a ∂ ∂ = ∂ ∂ (3.3.18) Формула (3.3.18) легко получается переменной местами операции ин- тегрирования и дифференцирования в преобразовании Лапласа от произ- водной по параметру. А это возможно вследствие линейности операции интегрирования и дифференцирования. Пример 3.14. Найти преобразование Лапласа от функции ( ) at f t te − = Замечаем, что исходная функция – это производная от экспоненты at e − − по параметру a ( ) ( ) at at e f t te a − − ∂ − = = ∂ Применив формулу (3.3.18) и воспользовавшись результатом примера 3.11, получим { } ( ) ( ) ( ) 1 2 1 at at e s a L te L a a s a − − − ∂ − ∂ + = = − = ∂ ∂ + , что совпадает с результатом примера 3.13. Теорема свертки во временной области. Произведение изображений равно изображению свертки оригиналов 1 2 1 2 2 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t F s F s L f t f d L f t f d ⋅ = − τ τ τ = − τ τ τ ∫ ∫ (3.3.19) Действительно, применив оператор Лапласа к правой части выраже- ния (3.3.19), получим цепочку формул 172 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 0 t t st L f t f e f t f d ∞ − − τ τ = − τ τ τ = ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 0 0 st st e f t f d dt e f t dt f d ∞ ∞ ∞ ∞ − − = − τ τ τ = − τ τ τ = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 0 0 0 s t s s s e f f t e dt d e f d e f d ∞ ∞ ∞ ∞ − −τ − τ − τ − ξ −τ = τ − τ τ = τ τ⋅ ξ ξ = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 1 2 F s F s = ⋅ При доказательстве формулы (3.3.19) учтено, что ( ) ( ) 1 2 0 f t f t = = при t<0. Теорема об умножении на экспоненту { } ( ) ( ). t L e f t F s −λ ⋅ = + λ (3.3.20) Имеем по определению { } ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) t t st s t L e f t e f t e dt f t e dt ∞ ∞ −λ −λ − − +λ = = ∫ ∫ Правая часть последнего выражения есть не что иное, как изображе- ние по Лапласу от функции ( ) f t с аргументом s+λ. |