Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
Контрольные вопросы 1. В каких случаях возможна линеаризация нелинейных уравнений? 2. В чем различия и что общего между исходным нелинейным урав- нением и линеаризованным? 3. Как записывается общее решение однородного линейного диффе- ренциального уравнения в случае некратных и кратных корней характе- ристического уравнения? 4. Что такое вронскиан системы? 5. Какая форма записи решения для комплексных корней характери- стического уравнения? 6. Какие методы существуют для нахождения частного решения урав- нения? 7. К каким вынуждающим функциям применим метод неопределен- ных коэффициентов при решении неоднородных дифференциальных уравнений? 8. В чем состоит необходимое и достаточное условие линейной неза- висимости n решений однородного линейного дифференциального урав- нения n-го порядка? 9. К каким функциям не применимо преобразование Фурье? 10. Как получить из преобразования Лапласа преобразование Фурье? 11. Что такое передаточная функция системы? 12. Назовите основные свойства преобразования Лапласа. 13. Что такое абсцисса абсолютной сходимости? 14. Как получить оригинал по изображению? 15. Чем отличается преобразование Карсона – Хевисайда от преобра- зования Лапласа? 16. Назовите другие виды интегральных преобразований. 186 4. ОПЕРАТОРНОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ПО ВРЕМЕНИ СИСТЕМ Будем полагать в этом разделе, что функции r(t) и y(t), то есть входной и выходной сигнал системы, определены на счетном множестве момен- тов времени. Другими словами время течет дискретно, квантами через равные промежутки, обозначаемые в этом разделе буквой Т, то есть t kT = , где k∈N 0 . Для упрощения записи можно выбрать соответствую- щий масштаб по оси времени и положить Т=1, то есть считать r(k) и y(k) как функции, определенные только при целых значениях k. 4.1 Прямой и обратный разностные операторы 4.1.1. Оператор сдвига и разностный оператор Определим оператор сдвига Е так: ( ) { } ( ) 1 E y k y k = + . (4.1.1) Последовательное применение этого оператора дает в общем случае ( ) { } ( ) n E y k y k n = + , (4.1.2) где 0 n N ∈ Разностный оператор ∆ можно определить как ( ) ( ) ( ) 1 y k y k y k ∆ = + − . (4.1.3) Оператор, определяемый формулой (4.1.3), называют еще правым разностным оператором, и он задает так называемую первую прямую разность функции y(k), в отличие от используемого иногда левого раз- ностного оператора ∇, определяемого выражением ( ) ( ) ( ) 1 y k y k y k ∇ = − − и задающего первую обратную разность функции y(k). Выражение (4.1.3) с учетом (4.1.1) можно записать в виде 187 ( ) ( ) ( ) 1 y k E y k ∆ = − , где операторы ∆ и Е связаны соотношением 1 E ∆ = − . (4.1.4) Разности второго, третьего и более высокого порядков определяются по очевидным формулам: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 y k y k y k y k y k ∆ = ∆ ∆ = + − + + , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 1 y k y k y k y k y k y k ∆ = ∆ ∆ = + − + + + − , или, в общем случае, 0 ( ) ( 1) ( ), n n r r n y k y k n r r = ∆ = − + − ∑ (4.1.5) где через n r обозначены биномиальные коэффициенты. С учетом уравнений (4.1.2) и (4.1.4) из выражения (4.1.5) получим 0 ( ) ( 1) ( ) ( 1 ) ( ). n n n r n r r n y k E y k E y k r − = ∆ = − = − ∑ Операторы ∆ и Е являются линейными операторами, то есть справед- ливы следующие соотношения, например, для оператора ∆: ( ) ( ) ( ) c y k c y k ∆ ⋅ = ∆ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n y k x k y k x k ∆ + = ∆ + ∆ , ( ) ( ) ( ) n m m n n m y k y k y k + ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ где с – константа, m и n – целые положительные числа. 188 Таким образом, оператор ∆ для функций дискретного переменного является аналогом дифференциального оператора p d dt = для непре- рывных функций. Чтобы еще раз подчеркнуть эту аналогию, рассмотрим производную от непрерывной функции ( ) f t ( ) 0 ( ) ( ) lim T df t f t T f t dt T → + − = Если функцию ( ) f t рассматривать только в дискретные моменты времени t=kT (k∈N 0 ), то оператор сдвига и разностный оператор дадут выражения ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) и Ef t f t T f t f t T f t = + ∆ = + − Тогда получим ( ) ( ) 0 lim T d f t f t d t T → ∆ = , или для случая m-ой производной ( ) 0 ( ) lim m m m m T d f t f t d t T → ∆ = Существуют и разностные формулы, аналогичные (но не идентичные) формулам дифференцирования. Например: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y k x k y k x k y k x k y k x k ∆ ⋅ = ∆ ⋅ ∆ + ∆ + ∆ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 y k z k y k y k z k z k z k z k ⋅ ∆ − ⋅∆ ∆ = ⋅ + Дифференцирование многочленов аналогично вычислению разностей факториальных многочленов [10]. Произвольный обыкновенный много- член можно представить суммой факториальных многочленов. Фактори- альный многочлен m-го порядка определяется как 189 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 ... 1 m k k k k k m = − − − + , (4.1.6) где m – положительное целое число. Согласно определению разностного оператора, имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 ... 2 m m k m k mk k k k m − ∆ = = − − − + . (4.1.7) 4.1.2. Обратный разностный оператор Найдем теперь обратный оператор, аналогичный интегральному опе- ратору 1 p − , при этом ( ) ( ) ( ) 0 1 ( ) t t p f t f t dt c f d K − = + = τ τ + ∫ ∫ , (4.1.8) где с и K – постоянные интегрирования. Нижний предел t 0 , вообще говоря, произвольный и определяется началом отсчета времени при анализе системы (обычно моментом по- ступления входного воздействия). Величина t 0 формирует часть постоян- ной интегрирования, именно: 0 ( ) t t c K f t dt = = − ∫ Выражение ( ) ( ) ( ) 1 y t p f t − = является решением уравнения ( ) ( ) py t f t = Соответственно, выполняется соотношение ( ) ( ) 1 pp f t f t − = По аналогии обратный оператор 1 − ∆ должен иметь такой вид, чтобы выражение ( ) ( ) ( ) 1 y k f k − = ∆ являлось решением уравнения ( ) ( ) y k f k ∆ = , (4.1.9) или, чтобы удовлетворялось равенство 190 ( ) ( ) 1 f k f k − ∆∆ = . (4.1.10) Так как ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) ( 1) ... (0) ( 1) ... (0) ( ), k n f n K f k f k f K f k f K f k − = ∆ + = + − + + + − − − + + + = ∑ то обратный оператор, удовлетворяющий уравнениям (4.1.9) и (4.1.10), имеет вид ( ) ( ) 1 1 0 k n f k f n K − − = ∆ = + ∑ . (4.1.11) Уравнение (4.1.11), определяющее обратный оператор, можно пере- писать так ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 n k n k f k f n c f n c = − = − ∆ = + = − + ∑ ∑ , (4.1.12) где суммирование производится по фиктивный переменной n. Нижний предел в уравнении (4.1.12) не указан, так как можно объ- единить произвольное число членов (0), (1), (2),... f f f в уравнении (4.1.11) с постоянной суммирования K и образовать новую постоянную с. Таким образом, произвольный предел в уравнении (4.1.12) является ана- логом постоянной t 0 в уравнении (4.1.8) и его выбор определяется наибо- лее выгодным образом для каждого конкретного случая. В отличие от интегралов, точное вычисление которых требует опре- деленного искусства, а иногда и невозможно, для операторов 1 − ∆ таких сложностей не существует, однако вычисление ( ) 1 f k − ∆ непосредствен- но по формуле (4.1.12) довольно утомительно, особенно при больших k. Поэтому желательно выражать ( ) 1 f k − ∆ в замкнутом свернутом виде. Суммирование конечных рядов (как и вычисление интегралов) подчиня- ется определенным правилам. Существуют таблицы формул суммирова- ния, правило суммирования по частям (аналог интегрированию по ча- стям), используются многочлены Бернулли, разложение функций на про- стые дроби и т.д. 191 Пример 4.1. Найти сумму т.н. телескопического ряда ( ) 2 1 1 k n n n = − ∑ Сумму такого ряда нетрудно найти, если представить выражение под знаком суммы в виде простых дробей ( ) 1 1 1 1 1 n n n n = − − − Тогда результат суммирования будет ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 k k n n n n n n k k k = = = − = − + − + + − = − − − − ∑ ∑ Но не всегда конечные суммы можно свернуть и выразить в замкну- той форме. В некоторых случаях можно пользоваться верхней и нижней оценкой таких сумм. При использовании факториальных многочленов из уравнения (4.1.7) можно получить с учетом формулы (4.1.12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 1 n k m m k k k k m n n n m k k k m K k K m m = − − − + ∆ = ∆ − − + = − − + = = − − + = + + + ∑ Аналогами дифференциальных уравнений для дискретной перемен- ной являются разностные уравнения или, как их еще называют, уравне- ния в конечных разностях. 4.2 Разностные линейные уравнения динамики 4.2.1. Общие свойства уравнений Общий вид разностного уравнения, связывающего выход ( ) y k со входом ( ) r k системы с дискретным временем, следующий ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 n m a y k n a y k n a y k b r k m b r k + + + − + + = + + + . (4.2.1) 192 Это же уравнение (4.2.1) можно представить в другом виде: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 n n m n n m c c c c y k d d r k − − ∆ + ∆ + + ∆ + = ∆ + + . (4.2.2) Переход от одной формы уравнения к другой очевиден, если иметь в виду соотношения (4.1.1) – (4.1.5). Уравнение (4.2.2) – более близкий аналог уравнению (3.1.5), а уравнение (4.2.1) легче решать, и поэтому оно более распространено. Для линейных систем коэффициенты уравнений (4.2.1) и (4.2.2) не за- висят от y или r, а для стационарных систем они независимы и от k, то есть являются постоянными величинами. Применяя оператор сдвига E, уравнение (4.2.1) перепишем в виде ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 1 n n m m n m a E a E a y k b E b E b r k − − + + + = + + + . (4.2.3) Поскольку вход ( ) r k считается известным, правую часть уравнения (4.2.1) (или (4.2.3)) можно обозначить как известную вынуждающую функцию F(k). Для линейных стационарных систем последнему уравне- нию можно придать вид ( ) ( ) ( ) A E y k F k = , (4.2.4) или ( ) ( ) ( ) 1 0 1 n n n a E a E a y k F k − + + + = . (4.2.5) Разностными уравнениями описываются системы, в которых процес- сы являются функциями дискретного переменного. Чаще всего эта дис- кретная переменная – время, но это может быть и положение, простран- ственные координаты, например, в периодических структурах. Уравнение (4.2.3), если 0 0 и 0 n a a ≠ ≠ , является разностным уравне- нием n-го порядка. Если 1 0 0, 0 и 0 n n a a a − = ≠ ≠ , то получим уравнение ( 1) n − -го порядка. То есть в отличие от дифференциального уравнения, порядок разностного уравнения определяется разностью между высшей и низшей степенями Е. При использовании оператора ∆, например, в урав- нении (4.2.2), установить порядок уравнения непосредственно по его ви- ду невозможно. Уравнение (4.2.3) называется неоднородным разностным уравнением, в отличие от однородного уравнения 193 ( ) ( ) 1 0 1 0 n n n a E a E a y k − + + + = . (4.2.6) Разностные уравнения, по сути, являются рекуррентными формулами. Уравнение (4.2.1) можно решить относительно y(k+n) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 1 2 n y k n F k a y k n a y k n a y k a + = − + − − + − − − . (4.2.7) При известных значениях (0) ÷ ( 1) y y n − (аналог начальных условий) у(k) можно непосредственно найти для всех k n ≥ путем последователь- ного применения уравнения (4.2.7). Таким образом, в отличие от дифференциального уравнения, ( ) y k можно найти непосредственно по разностному уравнению для любых значений k. Но обычно не прибегают к итерационной процедуре, описы- ваемой уравнением (4.2.7), а находят решение в замкнутой форме. 4.2.2. Решение однородных уравнений Однородное разностное уравнение n-го порядка содержит n линейно независимых решений. Обозначим n решений уравнения (4.2.6) при 0 0 и 0 n a a ≠ ≠ через 1 2 ( ), ( ),..., ( ) n y k y k y k . Тогда условием (необходимым и достаточным) линейной независимости этих решений будет 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 0. n n n n n y y y Ey Ey Ey C k E y E y − − = ≠ (4.2.8) Определитель С(k) называется определителем Касорати. Поскольку уравнение (4.2.6) линейное, то его решением будет и ли- нейная комбинация независимых решений y i ( k), то есть общее решение уравнения (4.2.6) можно записать как ( ) ( ) ( ) ( ) о 1 1 2 2 1 ( ) n n n i i i y k c y k c y k c y k c y k = = + + + = ∑ , (4.2.9) 194 где c i – постоянные, не зависящие от k. Решение уравнения (4.2.6) можно по аналогии с дифференциальными уравнениями искать в форме ( ) uk y k e = , где u – неизвестная постоянная величина, подлежащая определению. Но удобнее ввести обозначение u z e = и предполагаемое решение за- писать в виде ( ) k y k z = . (4.2.10) Подставляя решение (4.2.10) в (4.2.6) и учитывая соотношение n k n k E z z z = , получим характеристическое уравнение 1 0 1 0 n n n a z a z a − + + + = . (4.2.11) Если все корни характеристического уравнения различны и обозначе- ны через z 1 , z 2 ,… z n , общее решение уравнения (4.2.6) получит вид ( ) о 1 1 2 2 1 n k k k k n n i i i y k c z c z c z c z = = + + + = ∑ . (4.2.12) Можно показать, что при различных z i отдельные решения k i i y z = удовлетворяют условию (4.2.8) и, следовательно, независимы. Если же, например, корень z 1 имеет кратность m, то составляющая общего реше- ния, соответствующая этому корню, равна ( ) 1 о1 1 1 2 1 1 k k m k m y k c z c kz c k z − = + + + |