Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
x Ay x Ay (5.5.2) Матрица А называется матрицей коэффициентов формы или просто матрицей формы, а ранг А – рангом формы. Если в выражении (5.5.2) положить х =у, то получим ( ) 1 1 , n n T ij i j i j Q a x x = = = = 〈 〉 = ∑∑ x x Ax x Ax . (5.5.3) Выражение (5.5.3) называется квадратичной формой от переменных 1 2 , ,..., n x x x . Нетрудно видеть, что коэффициент при произведении ( ) i j x x i j ≠ равен ( ) ij ji a a + . Этот коэффициент не изменится, если оба ij a и ji a положить равными ( ) 2 ij ji a a + . Поэтому, ничуть не снижая общно- сти, можно считать матрицу А симметрической. Если матрица А является эрмитовой, то соответствующую эрмитову форму можно определить как ( ) ( ) * * 1 1 , n n T ij i j i j H a x x = = = 〈 〉 = = ∑∑ x x Ax x Ax . (5.5.4) 5.5.1. Преобразование переменных Перейдем в выражении (5.5.38) от переменных i x к переменным i y с помощью преобразования х =Bу, где B – произвольная неособенная квад- ратная матрица размерностью n. Получим в результате квадратичную форму от переменных 1 2 , ,..., n y y y : Q = y T B T AВy = y T Cy, (5.5.5) где T = C B AB является конгруэнтным преобразованием, так что ранг формы не меняется. Во многих случаях желательно выразить Q в виде линейной комбина- ции только квадратов координат. Это будет, очевидно, в том случае, если 262 матрицу А привести к диагональному виду. Особенно полезным оказыва- ется ортогональное преобразование, т.е. когда B является ортогональной матрицей 1 T − = B B . Как уже было выяснено в предыдущем подразделе, такое возможно для симметрических матриц А, если в качестве матрицы B взять модальную матрицу М. Таким образом, линейное преобразование = x My приводит к квадратичной форме ( ) 1 2 2 2 1 1 2 2 T T n n Q y y y y − = = = λ + λ + + λ y M AMy y Λy . (5.5.6) Если у симметрической матрицы А ранг r n < , и имеются кратные собственные значения, то по-прежнему модальная матрица может быть составлена из линейно независимых столбцов и в результате преобразо- вание приведет к диагональной матрице. В этом случае модальная мат- рица М не единственная и, согласно свойствам симметрических матриц, существует бесконечное множество систем m ортогональных собствен- ных векторов, соответствующих собственному числу кратности m. В ре- зультате преобразования в квадратичной форме (5.5.6) останется только r слагаемых. В случае, если конгруэнтное преобразование не ортогональное, квад- ратичную форму можно привести к виду ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 p p p p n n Q z z z z z + + = α + α + + α − α − − α z , (5.5.7) где ( 1,2,..., ) i i n α = – положительные числа. Число положительных членов p называется индексом квадратичной формы. Если квадратичная форма имеет ранг r n ≤ , то в выражении (5.5.7) остается только r членов. Форму (5.5.7) можно еще упростить, если вве- сти невырожденное преобразование переменных при 1,2,..., , при 1,..., . i i i i z i r w z i r n α = = = + Тогда получим ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 p p n Q w w w w w + = + + + − − − w . (5.5.8) 263 Формулу (5.5.8) можно рассматривать как прямое следствие приведе- ния к канонической форме (5.4.7). 5.5.2. Определенные, полуопределенные и неопределенные формы Квадратичная форма ( ) , Q = 〈 〉 x x Ax называется положительно опре- деленной, если она положительна при всех х, исключая 0 = x . Конгру- энтные преобразования (впрочем, как и любые эквивалентные преобра- зования) не меняют положительной определенности формы, поэтому из соотношения (5.5.8) следует, что квадратичная форма будет положитель- но определенной, если и только если A является неособенной матрицей, и индекс формы (то есть число положительных членов) равен ее рангу, т.е. p r n = = . Из уравнения (5.5.6) ясно, что квадратичная форма поло- жительно определена в том и только в том случае, когда все собственные числа матрицы A положительные 0 ( 1,2,..., ) i i n λ > = . Любое из этих условий может быть использовано при определении положительной определенности квадратичной формы. Квадратичная форма называется положительно полуопределенной, если она не отрицательна для всех х и существуют 0 ≠ x , для которых ( ) 0 Q = x . Такое будет тогда и только тогда, когда все собственные значе- ния A неотрицательны и, по крайней мере, одно из собственных значе- ний равно нулю. При этом матрица A , согласно (5.3.6), будет особенной и ее ранг r n < . Подобные утверждения могут быть сделаны и относительно отрица- тельно определенных и отрицательно полуопределенных квадратичных форм. Квадратичная форма ( ) Q x называется отрицательно определенной, если она отрицательна для всех х, исключая 0 = x . Квадратичная форма ( ) Q x будет являться отрицательно полуопределенной, если она не поло- жительна для всех х и существуют точки 0 ≠ x , для которых ( ) 0 Q = x Квадратичная форма является неопределенной тогда и только тогда, ко- гда матрица A имеет как положительные, так и отрицательные собствен- ные числа. При этом в векторном пространстве V n можно найти такие точ- ки, в которых квадратичная форма будет иметь противоположные знаки. Устанавливать определенность квадратичной формы по собственным значениям матрицы A или путем приведения A к канонической форме достаточно сложно при больших размерностях A , поэтому разработан более простой критерий по установлению положительной определенно- Примечание [ЛВС1]: 264 сти квадратичной формы. Можно показать, что для того, чтобы квадра- тичная форма T x Ax или симметрическая матрица A были положительно определенными, необходимо и достаточно, чтобы расположенные в есте- ственном порядке все ее главные миноры были положительны, т.е. 1 11 11 12 2 21 22 0, 0, 0. n a a a a a ∆ = > ∆ = > ∆ = > A Эти главные миноры A называются также дискриминантами квадра- тичной формы. Для эрмитовых форм существуют аналогичные формулировки. Условия отрицательной определенности могут быть получены, если потребовать положительную определенность ( −A ). 5.5.3. Дифференцирование квадратичных форм Необходимость дифференцирования квадратичных форм может воз- никнуть при исследовании устойчивости динамических систем, либо при проектировании оптимальных систем с использованием квадратичных критериев качества. Дифференцирование по скалярной величине. Возьмем квадратичную форму ( ) 1 1 n n T ij i j i j Q a x x = = = = ∑∑ x x Ax Продифференцируем Qпо переменной x k : 2 1 1 1 1 1 1 2 i k j k i k j k n n kk k k ki i jk j i j k k n n n n kk k ki i jk j ki i jk j i j i j dQ d a x x a x a x dx dx a x a x a x a x a x ≠ ≠ ≠ ≠ = = = = = = = + + = = + + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 265 В матричной записи это соотношение будет иметь вид: ( ) ( ) , T k k k dQ dx = + Ax A x (5.5.9) где индекс k означает k-ю компоненту вектор-столбцов Ax и T A x . В случае симметрической матрицы A формула (5.5.9) принимает вид: ( ) 2 k k dQ dx = Ax Дифференцирование по векторной переменной. Производная квадра- тичной формы по вектору х, называемая часто градиентом, получается в результате применения к квадратичной форме ( ) Q x оператора-вектора дифференцирования 1 2 grad T n d d x x x ∂ ∂ ∂ ∇ = = = ∂ ∂ ∂ x x x (5.5.10) В левой части выражения (5.5.10) приведены различные обозначения градиента, встречающиеся у разных авторов. Так как ( ) T Q = x x Ax , то ( ) 1 1 1 2 grad T n n ij i j i j n Q a x x x x x = = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∑∑ x x Учитывая формулу (5.5.9), последнее выражение можно переписать в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 grad T T T T n n T Q = + = = + x x Ax Ax A x A x Ax A x (5.5.11) Для симметрической матрицы A из (5.5.11) будем иметь 266 ( ) grad 2 Q = x x Ax (5.5.12) Дифференцирование по времени. Если матрица A и переменные x 1 , x 2 , …x n являются функциями времени, то производная по t от квадратичной формы ( ) Q t определяется выражением ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , dQ t d t t t t t t t t t dt dt t t t = 〈 〉 = 〈 〉 + 〈 〉 + +〈 〉 x A x x A x x A x x A x ɺ ɺ ɺ Для симметрической матрицы A , с учетом соотношения (5.5.12), по- следнее выражение будет выглядеть ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , grad , , dQ t Q t t t t t t t dt Q t t t t = = 〈 〉 + 〈 〉 = = 〈 〉 + 〈 〉 x x A x x A x x x A x ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ (5.5.13) Если матрица A не зависит от времени, последнее слагаемое в (5.5.13) обращается в нуль и получаем ( ) ( ) ( ) ( ) grad , 2 , Q t Q t t t = 〈 〉 = 〈 〉 x x Ax x ɺ ɺ ɺ . (5.5.14) 5.6 Матричные функции 5.6.1. Матричные ряды Краткая запись произведения матриц AA A может быть сделана в форме k A , где k – число множителей, входящих в произведение. Как и возведение в степень скаляров, умножение степеней матриц подчиняется обычным правилам: ( ) 0 , , k m k m m k km n + = = = A A A A A A E 267 где n E – единичная матрица порядка n. Эти же правила справедливы и при возведении матрицы в отрица- тельную степень при условии, что матрица неособенная, т.е. существует обратная матрица. Можно возводить матрицы и в дробную степень. Так, если m = A B , где A – квадратная матрица, то A является корнем m-й степени из B : 1 m m = = A B B В отличие от скаляров, у которых имеется ровно m корней m-й степе- ни, не существует общего правила определения, каким количеством кор- ней m-й степени обладает матрица B . Это число корней зависит от кон- кретного вида матрицы. Возьмем произвольный многочлен m-го порядка от скалярной пере- менной х ( ) 1 1 0 m m m m N x p x p x p − − = + + + . (5.6.1) Заменив в этом выражении х на квадратную матрицу A порядка n, получим соответствующий матричный многочлен ( ) 1 1 0 m m m m n N p p p − − = + + + A A A E . (5.6.2) Многочлен (5.6.1) можно, как известно, представить в виде произве- дения ( ) ( )( ) ( ) 1 2 m m N x p x x x = − λ − λ − λ , где ( 1,2,..., ) i i m λ = – корни многочлена, которые предполагаются раз- личными. Подобным же образом можно представить и матричный многочлен ( ) ( )( ) ( ) 1 2 m m N p = − λ − λ − λ A A E A E A E . (5.6.3) Обобщением ряда (5.6.1) будет бесконечный степенной ряд 268 ( ) 0 1 0 k k k k k S x a a x a x a x ∞ = = + + + + = ∑ Заменив переменную х в последнем выражении на квадратную матри- цу A , получим бесконечный ряд по A ( ) 0 1 0 k k k k k S a a a a ∞ = = + + + + = ∑ A E A A A . (5.6.4) Вопросы сходимости матричных рядов затрагивать не будем, доста- точно знать только, что ряд (5.6.4) сходится, если сходятся соответству- ющие скалярные ряды ( ) ( 1,2,..., ) i S i n λ = , где i λ – собственные значения матрицы A 5.6.2. Функции от матриц Разложение известных скалярных функций в степенные ряды дает ос- нование для определения этих функций от матриц. Матричная экспонента: ( ) ( ) 2 0 2 0 exp , 2! ! 1 exp 2! ! k k k k k e k e k ∞ = ∞ − = = = + + + = − = − = − + + = ∑ ∑ A A A A A E A A A A E A (5.6.5) Ряды (5.6.5) сходятся равномерно и абсолютно. Поскольку произведе- ние матриц в общем случае некоммутативно, равенство e e e e = = A B B A e + = A B выполняется, только если матрицы A и B коммутативны AB = = BA . Последнее условие выполняется, если = B A или = − B A . В част- ности, при = − B A имеем [ ] 0 e e e e − − = = = A A A A E , откуда ясно, что матрица e −A является обратной к матрице e A Если A не зависит от времени, то матричная экспонента t e |