Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
E E E E Если неособенную матрицу A можно привести к единичной путем операций над строками A , то в преобразовании (5.4.1) 1 − = P A , = Q E , и по сути, это представляет собой другой метод нахождения обратной мат- рицы 1 − A . Если в общем случае возможно приведение матрицы A к единичной путем ряда элементарных операций, то 1 1 1 1 1 1 − − − − − − = = = A P PAQQ P EQ P Q . Последнее соотношение показывает, что любая неособенная матрица может быть представлена в виде произведения элементарных матриц. Рассмотрим некоторые виды преобразований. Преобразование подобия. Возьмем линейное преобразование = y Ax , (5.4.2) где у и х – векторы в пространстве V n c базисом i z . Перейдем от базиса i z к некоторому новому базису i w . При этом векторы у и х переходят в новом базисе к векторам у′ ′′′ и х′′′′ соответствен- но. Поскольку i z и i w являются базисами в V n , то существует неособен- ная матрица P , переводящая векторы без штрихов в векторы со штриха- ми, то есть 252 1 1 , , , − − ′ ′ = = ′ ′ = = x Px y Py x P x y P y (5.4.3) Найдем связь между у′ ′′′ и х′′′′в новой системе координат. Для этого умножим на P слева уравнение (5.4.2) = Py PAx . Учитывая соотношения (5.4.3) из последнего уравнения получим 1 − ′ ′ = y PAP x или ′ ′ = y Bx , где 1 1 , = − = = B Q AQ Q P . (5.4.4) Матрица B , связывающая вектор у′′′′ с вектором х′′′′в новой системе ко- ординат, получается из матрицы A с помощью преобразования (5.4.4), которое носит название преобразования подобия. Важным свойством преобразования подобия является инвариантность собственных чисел к такому преобразованию. Ортогональное преобразование. Пусть базисная система векторов i z ортогональна. Если новая система векторов i w также ортогональна, то преобразование подобия (5.4.4) с дополнительным условием 1 T − = Q Q (5.4.5) называется ортогональным преобразованием. Ортогональное преобразование сохраняет неизменными нормы векто- ров и углы между ними. Конгруэнтное преобразование задается формулой T = B Q AQ , (5.4.6) где Q – неособенная матрица. 253 Конгруэнтное преобразование, согласно соотношению (5.4.6), состоит из пар элементарных операций, причем каждая из пар является одним и тем же элементарным преобразованием последовательно строк и столб- цов матрицы A 5.4.3. Диагонализация матриц Часто возможен в различных задачах переход к такой системе коорди- нат, в которой линейное преобразование (5.4.2) описывается диагональной матрицей. Это очень удобно, так как в этом случае уравнения для компо- нент векторов оказываются несвязанными друг с другом. Подобная систе- ма координат называется нормальнойсистемой, а координаты в таком ба- зисе – нормальными координатами системы. С помощью различных пре- образований можно привести матрицу к диагональному виду. Конгруэнтное преобразование. С помощью конгруэнтного преобразо- вания действительная симметрическая матрица A ранга r может быть приведена к каноническому виду 0 0 0 0 . 0 0 0 P T r p − = − E Q AQ E (5.4.7) Целое число р называется индексомматрицы, а целое число ( ) 2 s p r p p r = − − = − – сигнатурой матрицы. Таким же конгруэнтным преобразованием комплексная симметриче- ская матрица ранга r может быть приведена к канонической форме 0 0 0 r T = E Q AQ (5.4.8) Преобразования подобия. В преобразовании подобия используется модальная матрица М. В тех случаях, когда матрица А имеет n различ- ных собственных значений, либо когда при кратных корнях матрица [ ] λ − E A полностью вырождена (в этих случаях матрица М имеет n ли- нейно независимых модальных столбцов) преобразование 1 − M AM при- 254 водит к диагональной матрице Λ . Это нетрудно показать, вернувшись к уравнениям (5.3.9) для собственных векторов i x [ ] 0 i i λ − = E A x Эти уравнения можно объединить для всех 1,2,..., i n = : 1 11 2 12 1 11 12 1 11 12 1 1 21 2 22 2 21 22 2 21 22 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n nn n n nn n n nn x x x a a a x x x x x x a a a x x x x x x a a a x x x λ λ λ λ λ λ = ⋅ λ λ λ или в сокращенной матричной форме = MΛ AM , (5.4.9) где [ ] 1 2 diag n = λ λ λ Λ – диагональная матрица, составленная из соб- ственных значений λ 1 λ 2 …λ n . Поскольку модальная матрица М имеет n линейно независимых столбцов, она является невырожденной и, следова- тельно, существует обратная матрица 1 − M . Умножив на 1 − M слева урав- нение (5.4.9), получим 1 − = Λ M AM . Таким образом, преобразование подобия позволяет перейти при ли- нейно независимых собственных векторах к диагональной матрице. Применение такого преобразования подобия всегда возможно для действительной симметрической матрицы. Так как собственные векторы действительной симметрической матрицы (точно так же, как и эрмито- вой) ортогональны, то всегда существует такая ортогональная матрица, что [ ] 1 1 2 diag T n − = = λ λ λ Q AQ Q AQ Пример 5.7. Привести матрицу A к диагональному виду 255 2 1 1 2 1 3 3 1 1 = − − A Модальная матрица была найдена в примере 5.3.3 3 0 5 5 1 1 2 1 4 = − − M Обратная матрица 1 − M равна 1 5 5 5 1 22 2 28 30 3 3 3 − − − = − M , а произведение 1 − M AM приводит к диагональной матрице 1 1 0 0 0 2 0 0 0 3 − = = − M AM Λ Перейдем в линейном преобразовании (5.4.2) = y Ax к нормальным координатам. Для этого достаточно в соотношениях (5.4.3), (5.4.4) заме- нить матрицу 1 − = Q P модальной матрицей М. При преобразовании ′ = x Mx уравнение (5.4.2) записывается ′ = y AMx . (5.4.10) Умножая слева на 1 − M уравнение (5.4.10) получим 1 1 − − ′ ′ = = M y M AMx Λx . 256 Учитывая, что 1 − ′ = M y y , из последнего соотношения имеем ′ ′ = y Λx , (5.4.11) или расписав уравнение (5.4.11) по компонентам векторов у′ ′′′ и х′′′′: 1 1 1 2 2 2 , , n n n y x y x y x ′ ′ = λ ′ ′ = λ ′ ′ = λ Таким образом, одноименные координаты векторов в нормальной си- стеме координат оказываются связанными независимыми уравнениями. Попутно отметим, что координаты x i ′′′′(как и y i ′′′′) лежат на собственных векторах или их продолжениях. Столбцы матрицы М образуют базис, а строки 1 − M – двойственный базис в исходном пространстве V n . Если столбцы модальной матрицы обозначить через 1 2 , ,..., n u u u , а двойственный базис – через r 1 , r 2 , … r n , то произвольный вектор у можно представить на основе (5.2.9) в виде 1 1 2 2 , , , n n = 〈 〉 + 〈 〉 + + 〈 〉 y r y u r y u r y u . (5.4.12) С другой стороны, эквивалентное представление этого вектора у с ис- пользованием нормальных координат выглядит так: [ ] [ ] [ ] 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 n n n n n n y y y y y y − − ′ = = = = ′ ′ ′ ′ ′ = = + + + ′ y MM y u u u M y u u u y u u u u u u (5.4.13) Из сравнения выражений (5.4.12) и (5.4.13) следует, что , i i y′ = 〈 〉 r y , и, следовательно, строки матрицы 1 − M образуют двойственный базис. Конечно, к этому же выводу можно было бы прийти из определения двойственного базиса: двойственным по отношению к исходному базису 257 1 2 , ,..., n u u u будет базис 1 2 , ,..., n r r r , для которого , i j ij 〈 〉 = δ r u , а так как j u – столбцы матрицы М, а i r – строки 1 − M , то 1 − = M M E . У разных авторов можно встретить и разные формы представления вектора: либо в форме скалярных произведений (5.4.12), либо в форме нормальных координат (5.4.13), хотя, безусловно, обе формы приводят к тождественным результатам. Несимметрические матрицы ( ) n n × с кратными собственными чис- лами могут в общем случае содержать меньше, чем n линейно независи- мых собственных векторов, определяемых уравнениями (5.3.9). Однако можно показать, что в этом случае произвольная квадратная матрица A с помощью преобразования подобия может быть приведена к канонической матрице Жордана, имеющей следующие свойства: − диагональные элементы этой матрицы являются собственными числами; − все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю; − если соседние элементы на главной диагонали одинаковы, то некоторые элементы, расположенные непосредственно справа от главной диагонали, равны единице; − остальные элементы равны нулю. Типичная жорданова форма имеет вид: 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 λ λ λ = λ λ λ J . (5.4.14) «Единицы» в жордановых матрицах встречаются в блоках вида 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 i i i i λ λ λ λ 258 Они называются клетками Жордана. Количество клеток Жордана, связанных с собственным числом i λ , равно количеству линейно незави- симых собственных векторов, соответствующих i λ , то есть дефекту ха- рактеристической матрицы [ ] i λ − E A . Но определить порядки клеток Жордана – задача чрезвычайно трудная, несмотря на то, что число еди- ниц, связанных с конкретным собственным числом i λ , вполне определе- но и равно кратности i λ минус дефект [ ] i λ − E A . Поэтому совершенно непонятно, получится ли в результате преобразования 1 − = J M AM мат- рица вида (5.4.14) или, например, матрица 1 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 λ λ λ = λ λ λ J . (5.4.15) И в той и в другой матрице по две клетки Жордана, связанные с соб- ственным числом 1 λ и в обеих матрицах по две единицы в этих клетках, но в матрице (5.4.14) порядки клеток 3 и 1, а в матрице (5.4.15) обе клет- ки порядка 2. В случае полной вырожденности (дефект [ ] i λ − E A равен кратности корня i λ ) в клетке Жордана не будет ни одной единицы. В случае про- стой вырожденности (дефект [ ] i λ − E A равен единице) все элементы, непосредственно лежащие справа от главной диагонали с i λ , будут рав- ны единице. В промежуточных случаях для определения J и М можно довольствоваться методом проб и ошибок исходя из равенства = MJ AM . Обозначим модальные столбцы через 1 2 , ,..., n x x x . Тогда клетка Жор- дана порядка m, связанная с i λ , существует лишь в том случае, если m векторов 1 2 , ,..., m x x x удовлетворяют уравнениям: 259 1 1 2 2 1 1 , , i i m i m m− = λ = λ + = λ + Ax x Ax x x Ax x x (5.4.16) Уравнения (5.4.16) применимы для любой клетки Жордана. Модаль- ные столбцы можно определить из этих уравнений, последовательно их решая, начиная с первого уравнения. Пример 5.8. Привести к канонической форме матрицу A 1 4 1 3 − = − A Характеристическая матрица и присоединенная к ней равны [ ] [ ] 1 4 3 4 , Adj 1 3 1 1 λ + − λ − λ − = λ − = λ − − λ + E A E A Характеристическое уравнение 2 2 1 0 λ − λ + = имеет два корня 1 λ = . Подстановка этого числа в характеристическую матрицу дает единствен- ный собственный вектор, соответствующий 1 λ = 1 2 1 = x Поскольку ранг характеристической матрицы при 1 λ = равен едини- це, то её дефект также равен единице и каноническое преобразование приведет к клетке Жордана 1 1 0 1 = J Второй собственный вектор найдем, согласно выражению (5.4.16), из уравнения 2 1 2 1 = λ + Ax x x . 260 Расписав уравнение по компонентам, получим 12 22 12 12 22 22 4 2, 3 1. x x x x x x − + = + − + = + Поскольку полученные уравнения линейно зависимые, одну из ком- понент вектора 2 x можно выбрать произвольно, например, положить 12 1 x = . Тогда получим 22 1 x = , и модальная матрица равна 2 1 1 1 = M Читателю предлагается самостоятельно убедиться, что преобразова- ние подобия 1 − M AM приведет к канонической матрице Жордана 1 1 0 1 = J 5.5 Квадратичные формы Билинейной формой от n переменных 1 2 , ,..., n x x x и n переменных 1 2 , ,..., n y y y называется сумма вида 11 1 1 12 1 2 1 1 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 , n n n n n n n n n n nn n n ij i j i j B a x y a x y a x y a x y a x y a x y a x y a x y a x y a x y = = = + + + + + + + + + + + + + = ∑∑ (5.5.1) где все составляющие – действительные числа. Билинейную форму удобно изображать в матричной записи |