Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
х, который в результате преобразования (5.2.6) переходит в 241 вектор у, имеющий такое же направление, как и вектор х. При положи- тельном ответе на этот вопрос должно выполняться уравнение = λ = y x Ax , (5.3.1) где λ – некоторый скаляр, являющийся коэффициентом пропорциональ- ности. Задача определения значений λ i и соответствующих им векторов i x , удовлетворяющих уравнению (5.3.1), известна как задача о собственных значениях (характеристических числах). Векторы i x , являющиеся реше- нием уравнения (5.3.1), называются собственными или характеристиче- скими векторами, соответствующими собственным значениям λ i Векторно-матричное уравнение (5.3.1) можно переписать в таком виде: [ ] 0 λ − = E A x , (5.3.2) где Е – соответствующая единичная матрица. Система однородных урав- нений (5.3.2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю: 0 λ − = E A , (5.3.3) Развернув определитель в левой части уравнения (5.3.3), получим многочлен n-й степени относительно λ ( ) 1 1 1 0 n n n n D a a a − − λ = λ − = λ + λ + + λ + = E A (5.3.4) Уравнение (5.3.3) является характеристическим уравнением матрицы А, а его корни суть собственные значения (характеристические числа) матрицы А. Пример 5.3. Составить характеристическое уравнение и найти соб- ственные значения матрицы A 0 1 2 3 = − − A Составим характеристическую матрицу 242 [ ] 0 0 1 1 0 2 3 2 3 λ λ − λ − = − = λ − − λ + E A Приравняв нулю определитель характеристической матрицы, получим характеристическое уравнение 2 1 3 2 0 2 3 λ − = λ + λ + = λ + Собственные числа равны 1 2 1, 2 λ = − λ = − . По теореме Виета коэффициент а n в уравнении (5.3.4) равен произве- дению собственных чисел, то есть ( ) 1 2 1 n n n a = − λ λ λ . (5.3.5) С другой стороны, положив 0 λ = в ( ) D λ , мы имеем ( ) 0 n D a = − = A D(0) = -A= a n , откуда следует, что ( 1) n n a = − A . Из этого выражения и из формулы (5.3.5) следует, что произведение собственных чисел равно определителю матрицы А: 1 2 n λ λ λ = A . (5.3.6) Коэффициент а 1 полинома ( ) D λ по формуле Виета равен ( ) 1 1 2 n a = − λ + λ + + λ , а раскрывая определитель λ − E A , увидим, что коэффициент при 1 n− λ имеет вид 11 22 ( ) nn a a a − + + + , следовательно, сумма диагональных эле- ментов квадратной матрицы равна сумме ее собственных значений: 243 1 1 Tr . n n i jj i j a = = λ = = ∑ ∑ A (5.3.7) Сумма диагональных элементов матрицы носит название следа мат- рицы и обозначается Tr A (первые буквы англ. trace – след). Введя обозначение Tr( ) k k T = A , можно записать полезную формулу, связывающую коэффициенты a i характеристического уравнения с T k ре- куррентным соотношением, известным как формула Бохера: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 1 1 , 1 , 2 1 , 3 1 n n n a T a a T T a a T a T T a a T T n − = − = − + = − + + = − + + (5.3.8) Пример 5.4. Составить характеристическое уравнение и найти соб- ственные числа матрицы A 2 1 1 2 1 3 3 1 1 = − − A Согласно формуле (5.3.8) 1 1 2 a T = − = − . Произведение AA дает 2 5 4 4 3 2 2 1 3 7 = − A , откуда находим 2 5 2 7 14 T = + + = и 2 1 1 2 1 ( ) 5 2 a a T T = − + = − . Далее нахо- дим AAA 244 3 14 13 13 4 3 11 17 11 3 = − A , откуда 3 14 3 3 20 T = + + = и 3 2 1 1 2 3 1 ( ) 6 3 a a T a T T = − + + = . Характеристическое уравнение, таким образом, имеет вид 3 2 2 5 6 0 λ − λ − λ + = , а собственные числа 1 2 3 1, 2, 3 λ = λ = − λ = . 5.3.2. Модальная матрица Вначале предположим, что все корни характеристического уравнения (5.3.3) различны. Для каждого из n собственных чисел λ i матрицы А можно получить вектор решения i x , удовлетворяющий системе уравнений [ ] 0, ( 1,2,..., ) i i i n λ − = = E A x . (5.3.9) Так как уравнение (5.1.33) однородное, его решениями будут также векторы i kx , где k – произвольный скаляр. То есть уравнение (5.3.9) од- нозначно задает лишь направление каждого из i x . Из вектор-столбцов i x или пропорциональных им образуем матрицу, которую часто называют модальной матрицей [10]. При различных собственных числах столбцы модальной матрицы можно полагать равными или пропорциональными любому ненулевому столбцу матрицы [ ] Adj i λ − E A . Поскольку столбцы присоединенной матрицы линейно зависимы для каждого значения i λ , то выбор конкретного i λ определяет только один столбец модальной матрицы. Таким образом, при различных собственных числах n столбцов мо- дальной матрицы линейно независимы и, следовательно, образуют базис в соответствующем пространстве V n Пример 5.5. Найти собственные векторы и составить модальную мат- рицу для матрицы A 245 2 1 1 2 1 3 3 1 1 = − − A Характеристическая матрица имеет вид [ ] 2 1 1 2 1 3 3 1 1 λ − − − λ − = λ − − − − λ + E A , а присоединенная матрица равна [ ] 2 2 2 4 2 2 Adj 2 7 5 3 8 3 5 1 3 4 λ − λ + λ + λ − = − λ + λ − λ − λ − λ − λ + λ − λ + E A Подстановка в полученную матрицу 1 1 λ = дает 3 3 3 5 5 5 2 2 2 − − − − При 2 2 λ = − присоединенная матрица равна 0 0 0 14 1 14 14 1 14 − − − При 3 3 λ = присоединенная матрица равна 246 5 5 5 1 1 1 4 4 4 Взяв любой ненулевой столбец (или пропорциональный ему) из каж- дой полученной матрицы, составим модальную матрицу 3 0 5 5 1 1 2 1 4 = − − M Столбцы полученной модальной матрицы являются линейно незави- симыми и образуют базис в трехмерном пространстве. В случае кратных корней уравнения (5.3.3) и произвольной матрицы А определение независимых собственных векторов (столбцов модальной матрицы) не очевидно. Дело здесь в том, что не существует однозначного соответствия между порядком кратности корня характеристического уравнения и дефектом соответствующей этому корню характеристиче- ской матрицы [ ] i λ − E A . Если кратность некоторого корня, например, i λ равна р, то дефект q характеристической матрицы [ ] i λ − E A может быть в пределах 1 q p ≤ ≤ , и в этом случае можно найти только q линейно независимых собственных векторов, удовлетворяющих уравнению (5.3.9) для данного собственного числа i λ . Если вырожденность полная ( ) q p = (для симметрической матрицы А это выполняется всегда), то можно найти ровно р линейно независимых собственных векторов, соответствующих корню i λ кратности р. Эти р различных модальных столбцов можно получить из ненулевых столбцов матрицы 1 1 Adj[ ] i p p d d − − λ=λ λ − λ E A . (5.3.10) Пример 5.6. Составить модальную матрицу для матрицы A 247 2 1 1 1 2 1 0 0 1 = A Характеристическая матрица равна [ ] 2 1 1 1 2 1 0 0 1 λ − − − λ − = − λ − − λ − E A , а характеристическое уравнение 2 ( 1)( 4 3) 0 λ − λ − λ + = имеет два корня 1 λ = и один корень 3 λ = . Подстановка в характеристическое уравнение 1 λ = дает только один линейно независимый столбец, то есть ранг ха- рактеристической матрицы равен единице, а её дефект – двум (дефект равен размерности матрицы минус её ранг). Поскольку характеристиче- ская матрица полностью вырождена (дефект совпадает с кратностью корня), то для каждого из кратных корней существует линейно независи- мый вектор. Присоединенная матрица равна [ ] ( 2)( 1) 1 1 Adj 1 ( 2)( 1) 1 0 0 ( 1)( 3) λ − λ − λ − λ − λ − = λ − λ − λ − λ − λ − λ − E A , а её производная имеет вид [ ] 2 3 1 1 Adj 1 2 3 1 0 0 2 4 d d λ − λ − = λ − λ λ − E A После подстановки в последнюю матрицу 1 λ = любые два линейно независимых столбца дадут два столбца модальной матрицы. Таким об- разом, получаем два линейно независимых собственных вектора, соот- ветствующих собственному числу 1 λ = 248 1 2 1 1 1 , 1 0 2 − = = − x x Собственный вектор, соответствующий 3 λ = , получим из любого ненулевого столбца присоединенной матрицы [ ] Adj λ − E A при 3 λ = 3 1 1 0 = x Окончательно модальная матрица равна 1 1 1 1 1 1 0 2 0 − = − M Если вырожденность простая ( 1) q = , то для корня i λ кратности р можно найти только один собственный вектор, соответствующий данно- му i λ . Этот вектор, как и в случае некратных корней, может быть выбран пропорциональным любому ненулевому столбцу матрицы [ ] Adj i λ − E A . Если вырожденность характеристической матрицы 1 q p < < , то q мо- дальных столбцов могут быть получены из различных ненулевых столб- цов матрицы (5.3.10) при замене р на q. Как определять остальные p q − модальных столбцов при q p < (они будут линейно зависимы от q найденных векторов i x ) будет разобрано в разделе, посвященному матричным преобразованиям. 5.3.3. Симметрическая матрица Случаи, когда матрица А является симметрической, встречаются в тео- рии систем довольно часто. Достаточно упомянуть, что симметрическими матрицами описывают системы, состоящие из RC-элементов, то есть из 249 емкостей и сопротивлений. Поэтому собственные числа и собственные векторы симметрических матриц требуют особого рассмотрения. Важным свойством действительной симметрической матрицы являет- ся то, что ее собственные значения являются вещественными числами. Следующее свойство симметрических матриц заключается в том, что их собственные векторы попарно ортогональны. Третье, уже упомянутое, свойство симметрической матрицы касается кратных собственных значений. Собственные векторы, соответствующие собственному значению i λ кратности р, линейно независимы. Из этих трех основных свойств симметрической матрицы вытекают еще ряд свойств, которые можно сформулировать следующим образом. 1. Собственные векторы симметрической матрицы А n-го порядка по- рождают n-мерное векторное пространство V n 2. Существует, по крайней мере, одно ортонормированное множество собственных векторов матрицы А, которое порождает векторное про- странство V n 3. Собственные векторы, соответствующие собственному значению i λ кратности р, порождают пространство V p 4. В любом множестве из n ортонормированных собственных векто- ров существует ровно р линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению i λ с кратностью р. 5. Если одно или несколько собственных значений матрицы А имеют кратность 2 p ≥ , то существует бесконечное число различных множеств ортонормированных векторов, которые порождают n-мерное векторное пространство V n . Эти множества соответствуют различным способам вы- бора ортонормированных базисов, порождающих подпространства V p с размерностью 2 p ≥ . 5.4 Линейные преобразования 5.4.1. Элементарные действия над матрицами Рассмотрим определённые действия с элементами матриц. 1. Перестановка произвольных двух строк (столбцов). 2. Многократное прибавление к какой – либо строке (столбцу) другой строки (столбца). 3. Умножение строки (столбца) на отличную от нуля постоянную ве- личину. 250 Эти три элементарные операции равносильны умножению данной квадратной матрицы слева или справа на некоторую неособенную матри- цу, причем такую, чтобы ранг полученной матрицы равнялся бы рангу исходной матрицы. Операция 1. Эта операция не что иное, как перенумерация строк (столбцов) и, конечно, не меняет ранга матрицы. Пусть 1 Q – единичная матрица размерности ( ) n n × с переставленными i-й и j-й строками. Тогда умножение произвольной ( ) n n × матрицы А на 1 Q слева приводит к матрице с переставленными i-й и j-й строками. Умножение А справа на 1 Q приводит к матрице с переставленными i-й и j-й столбцами. Операция 2. Сложение с i-й строкой k раз j-й строки обеспечивается умножением на матрицу A матрицы 2 Q слева 2 Q A , где 2 Q – единичная матрица с элементом k в i-й строке и j-м столбце ( ) i j ≠ . Такая же операция со столбцами будет обеспечена умножением А на матрицу 2 Q справа 2 AQ . Операция 3. Умножение i-й строки на постоянную 0 k ≠ произойдет, если взять произведение 3 Q A , где 3 Q – единичная матрица с заменен- ным на k i-м элементом на главной диагонали. Произведение 3 AQ даст аналогичную операцию с i-м столбцом. Таким образом, любая последовательность элементарных действий над строками матрицы A может быть выполнена в результате умноже- ния слева на A соответствующей последовательности неособенных мат- риц P i или, что то же самое, умножения слева на A неособенной матри- цы i i = ∏ P P Аналогичные операции со столбцами A будут получены в результате умножения справа на А неособенной матрицы Q . В результа- те мы получаем матрицу = B PAQ , (5.4.1) имеющую ранг такой же, как и матрица A 5.4.2. Эквивалентные преобразования Свойство матриц иметь одинаковый ранг является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Следовательно, можно говорить об эк- вивалентности двух матриц, если у них одинаковый ранг (естественно, размерности таких матриц должны совпадать). Преобразование (5.4.1) не 251 меняет ранга матрицы, то есть можно считать, что две матрицы эквива- лентные, если одна из матриц получается в результате выполнения ряда элементарных операций над другой матрицей. Преобразование (5.4.1) является, таким образом, наиболее общим видом эквивалентных матрич- ных преобразований. Отдельные преобразования получаются из взаимо- связи P иQ . С помощью эквивалентных преобразований можно произвольную матрицу A ранга 0 r > привести к нормальной(или канонической) фор- ме, т.е. к матрице одного из следующих видов [ ] 0 , , , 0 . 0 0 0 r r r r |