Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
A опреде- ляется подобно уравнению (5.6.5) в форме бесконечного ряда 269 ( ) ( ) ( ) 2 0 exp 2! ! k t k t t e t t k ∞ = = = + + + = ∑ A A A A E A . (5.6.6) Этот ряд сходится равномерно и абсолютно для всех значений време- ни t. Производная по t от матричной экспоненты t e A находится почлен- ным дифференцированием ряда (5.6.6) ( ) 3 2 2 2! t t t d t e t e e dt = + + + = = A A A A A A A A . (5.6.7) Обобщая соотношение (5.6.7) для k-й производной с учетом обозна- чения d p dt = получим ( ) k t k t k t t k k d e p e e e dt = = = A A A A A A . (5.6.8) Если ( ) N p – многочлен от оператора дифференцирования p, то ( ) ( ) ( ) t t t N p e N e e N = = A A A A A . (5.6.9) Часто встречается случай воздействия операторного многочлена ( ) N p на произведение матриц ( ) t e t A B . В предположении, что существу- ет произведение ( ) t AB и не существует ( ) t B A , можно записать ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , 2 , t t t t t t t t t k k t t p e t e p t e t e p t p e t e p t e p t e t e p t p e t e p t = + = + = + + = + = + A A A A A A A A A A A B B AB E A B B B A B A B E A B B E A B В общем случае ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t N p e t e N p t = + A A B E A B (5.6.10) 270 Интеграл от матричной экспоненты t e A можно найти путем интегри- рования бесконечного ряда (5.6.6) ( ) 2 2 2 3 0 0 0 0 2! 2! 3! t t t t t t t t e dt dt tdt dt t = + + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ A A A A E A E , откуда 0 t t t e dt e = − ∫ A A A E . Из последнего соотношения, предполагая, что матрица A – неосо- бенная, получим ( ) ( ) 1 1 0 t t t t e dt e e − − = − = − ∫ A A A A E E A . (5.6.11) Матричный синус: ( ) ( ) 3 5 exp exp sin 3! 5! 2 j j j − − = − + − = A A A A A A . (5.6.12) Матричный косинус: ( ) ( ) 2 4 exp exp cos 2! 4! 2 j j + − = − + − = A A A A A E . (5.6.13) Матричная комплексная экспонента в формулах (5.6.12) и (5.6.13) определяется уравнением (5.6.5) при замене А на jA: ( ) 2 4 3 5 exp cos sin 2! 4! 3! 5! j j j = − + − + − + − = + A A A A A E A A A . (5.6.14) Как легко видеть, формулы (5.6.12) – (5.6.14) являются матричными аналогиями формул Эйлера. Матричный гиперболический синус: 271 ( ) 3 5 exp exp sh 3! 5! 2 − − = + + − = A A A A A A Матричный гиперболический косинус: ( ) 2 4 exp exp c h 2! 4! 2 + − = + + − = A A A A A E Матричные тригонометрические тождества имеют соответствующие аналоги скалярных тригонометрических тождеств и выводятся с помо- щью вышеприведенных матричных соотношений. Полезной при выводе ряда тригонометрических тождеств является действительная матрица (2×2), аналог скалярной мнимой единицы 1 j = − . Она определяется как 0 0 1 1 0 − = J Можно посчитать, что 2 3 4 0 0 0 0 , , = − = − = J E J J J E и т.д. 5.6.3. Теорема Кэли – Гамильтона Эта теорема касается весьма важного и полезного свойства характери- стического полинома ( ) D λ и используется при нахождении различных функций от матрицы A . Теорема 5.6.1 (Кэли – Гамильтона) . Всякая квадратная матрица удо- влетворяет своему характеристическому уравнению. Доказательство . Воспользуемся соотношением (5.4.9) и представим его в виде 1 − = A MΛM . Для произвольной положительной степени m последнее соотношение представим в форме 1 m m − = A MΛ M . (5.6.15) 272 Если ( ) N λ – многочлен от λ вида ( ) 1 2 1 2 n n n n N c c c − − λ = λ + λ + λ + + , то согласно (5.6.15) многочлен от матрицы A равен ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 0 0 0 0 , 0 0 n n n n n N c c c N N N N − − − − = + + + + = = λ λ = λ A A A A E M Λ M M M (5.6.16) где i λ – собственные значения A , то есть не нули многочлена ( ) N λ . Если выбранный многочлен является характеристическим многочле- ном, то есть ( ) ( ) N D λ = λ , то 1 2 ( ) ( ) ... ( ) 0 n N N N λ = λ = = λ = . Отсюда сле- дует, что [ ] ( ) 0 D = A , где ( ) D λ = λ − E A – характеристический многочлен. Таким образом, теорема доказана для случая, когда все собственные значения i λ различны. Однако можно показать, что теорема справедлива и для произвольной квадратной матрицы. С помощью теоремы Кэли – Гамильтона можно понижать порядок многочленов, находить обратную матрицу, возводить матрицу в произ- вольную положительную целую степень, вычислять функции от матриц. Действительно, решив матричное характеристическое уравнение [ ] ( ) 0 D = A относительно старшей степени матрицы A , получим форму- лу для вычисления n A через полином ( 1) n − -го порядка. Последователь- но умножая правую и левую часть этой формулы на А, имеем итерацион- ную процедуру для возведения A в произвольную степень. Решив то же уравнение [ ] ( ) 0 D = A относительно низшей степени матрицы A (то есть относительно единичной матрицы) и умножив пра- вую и левую часть на обратную матрицу 1 − A , получим выражение для 273 обратной матрицы через полином ( 1) n − -й степени от матрицы A . В некоторых случаях этот метод удобнее, чем другие методы. Пусть имеется матричный многочлен ( ) N A степени большей, чем порядок A . Разделив ( ) N λ на характеристический полином A , получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N R Q D D λ λ = λ + λ λ , (5.6.17) где ( ) R λ – остаточный член порядка меньшего, чем ( ) D λ . Тогда, умножив уравнение (5.6.17) на ( ) D λ , получим ( ) ( ) ( ) ( ) N Q D R λ = λ λ + λ , (5.6.18) Так как (согласно теореме Кэли – Гамильтона) [ ] ( ) 0 D = A , то ( ) ( ) N R = A A и, таким образом, полином любой степени может быть представлен полиномом ( 1) n − -й степени. Вышеизложенное можно распространить не только на любую поли- номиальную функцию от A , но и на произвольную функцию ( ) F A , где ( ) F λ предполагается аналитической функцией λ в некоторой области. При таком условии ( ) F λ может быть в области аналитичности представ- лена рядом Тейлора. Поэтому функция ( ) F A может быть записана в ви- де многочлена от A степени ( 1) n − . Действительно, если ( ) Q λ – анали- тическая функция в некоторой области, то ( ) ( ) ( ) ( ) F Q D R λ = λ λ + λ , (5.6.19) где ( ) D λ – характеристический полином A , а ( ) R λ – полином вида 2 1 0 1 2 1 ( ) n n R − − λ = α + α λ + α λ + + α λ . (5.6.20) Коэффициенты i α в уравнении (5.6.20) можно найти путем последо- вательной подстановки 1 2 , ,..., n λ λ λ в уравнение (5.6.19). Учитывая, что ( ) 0 i D λ = , получим систему уравнений 274 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 , , n n F R F R F R λ = λ λ = λ λ = λ (5.6.21) В этой системе n уравнений и n неизвестных. Следовательно, все i α определяются однозначно. Нетрудно показать, что ( ) Q λ является анали- тической функцией в той же области, что и ( ) F λ , поэтому уравнение (5.6.19) справедливо для всех λ в области аналитичности ( ) F λ . Из этого следует, что если область аналитичности ( ) F λ включает все собствен- ные значения A , то вместо переменной λ можно подставить A . В ре- зультате из уравнения (5.6.19) получим ( ) ( ) ( ) ( ) F Q D R = + A A A A , а так как согласно теореме Кэли – Гамильтона [ ] ( ) 0 D = A , то из послед- него соотношения имеем ( ) ( ) F R = A A . (5.6.22) Пример 5.9. Воспользовавшись теоремой Кэли – Гамильтона, вычис- лить матричную экспоненту t e A для матрицы A из примера 5.3 1 2 0 1 , 1, 2 2 3 = λ = − λ = − − − A Поскольку матрица A является матрицей второго порядка, то по тео- реме Кэли – Гамильтона матричная экспонента может быть представлена полиномом первого порядка ( ) 0 1 t t e Φ = = α + α A E A , где коэффициенты 0 1 , α α определяются из системы уравнений (5.6.21), куда подставлена искомая функция и собственные числа матрицы A 275 ( ) ( ) 1 2 1 0 1 2 2 0 1 , 2 . t t t t F e e F e e λ − λ − λ = = = α − α λ = = = α − α Решая систему уравнений, находим 2 0 2 1 2 , t t t t e e e e − − − − α = − α = − Окончательно получаем искомую функцию 0 1 0 1 0 1 1 2 2 2 2 0 0 0 2 3 2 2 2 2 t t t t t t t t t e e e e e e e e e − − − − − − − − α α = α + α = + = α − α − α − − = − + − + A E A Теперь что касается кратных собственных значений. Ясно, что если A имеет собственное значение i λ кратности r, то подстановка i λ в уравнение (5.6.19) даст лишь одно линейно независимое уравнение. Остальные 1 r − линейных уравнений для определения i α находятся дифференцированием обеих частей уравнения (5.6.19). В этом случае для нахождения единственного решения для коэффициентов i α полинома (5.6.20) нужно составить систему линейных уравнений вида ( ) ( ) ( 0,1,2,... 1) i i k k k k d F d R k r d d λ=λ λ=λ λ λ = = − λ λ . (5.6.23) 5.6.4. Теорема Сильвестра Теорема разложения Сильвестра находит применение при отыскании матричных функций, представляющих в замкнутой форме степенные ряды матрицы А. Теорема 5.6.2 (Сильвестра) . Пусть ( ) N A – матричный многочлен от A (неважно, конечный или бесконечный) и квадратная матрица A имеет n различных собственных значений. Тогда имеет место формула 276 ( ) ( ) ( ) 0 1 n k k k N N = = λ λ ∑ A Z , (5.6.24) где ( ) ( ) ( ) 1 0 1 n j j j k k n k j j j k A = ≠ = ≠ − λ λ = λ − λ ∏ ∏ E Z Пример 5.10. Вычислить функцию t e A с помощью теоремы Сильве- стра для матрицы A из примера 5.9 1 2 0 1 , 1, 2 2 3 = λ = − λ = − − − A В соответствии с выражением (5.6.24) запишем ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 2 0 0 1 2 0 2 1 2 3 0 2 ( 2) 1 , 2 1 1 ( 2) 1 0 1 1 0 1 1 2 3 0 1 ( 1) 2 2 2 2 ( 1) 1 + − − − − λ = − = = = − − − − − + − − − − − − λ = − = = = − − − − A E Z Z A E Z Z Подставляя найденные матрицы в формулу (5.6.24), получаем 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e − − − − − − − − − − − − − − = + = − − − + − + A , что совпадает с примером 5.9. Следует заметить, что ( ) 0 k λ Z в формуле (5.6.24) не зависят от вида полинома ( ) N A . Можно показать, что 277 ( ) [ ] ( ) 0 Adj k k dD d λ=λ λ − λ = λ λ E A Z , (5.6.25) где ( ) D λ – характеристический полином A С учетом соотношения (5.6.25) формула (5.6.24) примет вид ( ) ( ) [ ] ( ) 1 Adj k n k k N N dD d = λ=λ λ − = λ λ λ ∑ E A A . (5.6.26) При наличии у A кратных собственных значений формула (5.6.26) нуждается в модификации. Можно показать, что составляющая ( ) N |