Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
-строка. В привычной записи это же уравнение выглядит так ( ) , T t • = − α A α (6.5.21) где α – вектор-столбец. 296 Легко показать, что ( ) 1 , t − τ Φ действительно является переходной матрицей для уравнения (6.5.20). Для этого вспомним уравнение (5.1.11), согласно которому ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , , , . d t t t t dt − • − − τ = − τ ⋅ τ ⋅ τ Φ Φ Φ Φ Учитывая, что ( ) ( ) ( ) , , t t t • τ = τ Φ A Φ , из последнего выражения получим ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , d t t t dt − − τ = − τ ⋅ Φ Φ A (6.5.22) т.е. ( ) 1 , t − τ Φ удовлетворяет однородному уравнению (6.5.20) и, следова- тельно, является переходной матрицей состояния для системы (6.5.20). Транспонирование уравнения (6.5.22) дает ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , , T T T T d t d t t t dt dt − − − τ = τ = − ⋅ τ Φ Φ A Φ Таким образом, ( ) 1 , T t − τ Φ является переходной матрицей для си- стемы, описываемой уравнением (6.5.21). Уравнение сопряженной системы можно получить и воспользовав- шись дифференциальным уравнением n-го порядка. Однородное диффе- ренциальное уравнение ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 n n n n y a t y a t y a t y − − + + + + = (6.5.23) можно записать как ( ) 0 n D p y = , где ( ) n D p – линейный оператор, опре- деляемый формулой ( ) ( ) ( ) 1 , , k n n k n k n k k k d D p p a t p p dt − = = + = ∑ 297 а ( ) k a t – действительные функции. Тогда сопряженный линейный оператор определяется как ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , n n n k n n k n k k D p p p a t − ∗ − = = − + − ∑ (6.5.24) где запись ( ) n k k p a t − говорит о том, что n k p − действует на произведение ( ) k a t и зависимой переменной. Сопряженное линейное дифференциальное уравнение ( ) 0 n D p ∗ α = будет записываться в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 n n n n n p p a t a t − − − α + − α + + α = . Если дифференциальное уравнение (6.5.23) представить в стандарт- ной матричной форме ( ) t • = x A x , то матрица ( ) t A является матрицей Фробениуса ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 n n t a t a t a t − = − − − A Для сопряженной системы матричное уравнение согласно (6.5.21) равно ( ) T t • = − α A α и матрица ( ) T t −A имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ... 0 0 0 1 n n T n a t a t t a t a t − − − − = − − A 298 Выполняя последовательное дифференцирование компонент вектора α αα α, можно показать, что операторная и матричная формы уравнений со- пряженной системы эквивалентны. Можно найти сопряженный оператор и на основе его определения ( ) ( ) , , T D p D p ∗ 〈 〉 = 〈 〉 α x α x . Это определение часто используется при формулировке критериев су- ществования и единственности решения дифференциальных уравнений. 6.5.3. Общее решение нестационарных уравнений Используя понятие сопряженной системы, можно получить общее решение уравнений состояния нестационарных систем. В общем виде уравнения состояния линейной системы задаются в виде (6.2.5) ( ) ( ) ( ) ( ) , , t t r t t • = + = + x A x B y C x D r Уравнение для переходной матрицы сопряженной системы имеет вид (6.5.22) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , d t t t dt − − τ = − τ ⋅ Φ Φ A Умножим первое из уравнений (6.2.5) на ( ) 1 , t − τ Φ слева, а уравнение (6.5.22) – на х справа: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , t t t t t r • • • • Φ τ = Φ τ + Φ τ x A x B , ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , d t t t dt − − τ = − τ ⋅ Φ x Φ A x ( ) ( ) ( ) 1 1 , , t t t • − − τ = − τ ⋅ Φ x Φ A x Сложение последних двух выражений приводит к уравнению 299 ( ) ( ) ( ) 1 1 , , d t t t dt − − τ = τ ⋅ Φ x Φ B r. (6.5.25) Проинтегрируем уравнение (6.5.25) в пределах от τ до t. В результате получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , , t t t d − − − τ τ − τ τ τ = λ τ λ λ λ ∫ Φ x Φ x Φ B r Из последнего выражения найдем ( ) t x , учитывая, что ( ) 1 , − τ τ = Φ E , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , t t t t d − τ = τ τ + τ λ τ λ λ λ ∫ x Φ x Φ Φ B r Воспользовавшись тем, что ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , , , t t t − τ λ τ = τ τ λ = λ Φ Φ Φ Φ Φ , окончательно получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , t t t t d τ = τ ⋅ τ + λ λ λ λ ∫ x Φ x Φ B r . (6.5.26) Решение для ( ) t y получается подстановкой уравнения (6.5.26) во вто- рое из уравнений (6.2.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , t t t t t t d t t τ = τ τ + λ λ λ λ + ∫ y C Φ x C Φ B r D r . (6.5.27) Выражения (6.5.26) и (6.5.27) являются общим решением неоднород- ных линейных нестационарных дифференциальных уравнений (6.2.5). По своему виду и структуре они подобны соответственно решениям (6.4.13) и (6.4.14). 300 6.6 Уравнения в частных производных 6.6.1. Уравнения Лагранжа Проще всего подойти к уравнению Лагранжа, рассматривая пример механической системы [14] (рис. 6.2). Рис. 6.2. К выводу уравнения Лагранжа Кинетическая энергия движущегося тела с массой M равна 2 1 2 T M x • = (6.6.1) Потенциальная энергия пружины 0 2 1 2 x x V Kxdx Kx = = ∫ (6.6.2) По второму закону Ньютона уравнение движения тела будет (силой трения пренебрегаем): 0. M x Kx •• + = (6.6.3) Дифференцируя соотношение (6.6.1) сначала по x • , а затем по t, имеем d T M x dt x •• • ∂ = ∂ (6.6.4) 301 Дифференцируя соотношение (6.6.2) по х, получаем V Kx x ∂ = ∂ (6.6.5) Складывая соотношения (6.6.4) и (6.6.5) и учитывая уравнение (6.6.3), получаем уравнение 0 d T V dt x x • ∂ ∂ + = ∂ ∂ , (6.6.6) являющееся частным случаем уравнения движения Лагранжа для систе- мы без потерь: 0 i i i d T T V dt x x x • ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ . (6.6.7) В уравнении (6.6.7) переменные ( 1, 2,..., ) i x i n = называются обобщен- ными координатами.Термин «обобщенные координаты» пришел из классической механики, хотя по сути это те же переменные состояния системы. Введем обозначение ( ) , , L T V • • = − x x x x x , (6.6.8) где х – вектор переменных состояния системы. Функция (6.6.8) называется лагранжианомсистемы. С учетом обозна- чения(6.6.8) уравнение (6.6.7) для консервативной (без потерь энергии) системы в случае отсутствия внешних воздействий можно записать в виде ( ) grad grad d L L dt • = x x (6.6.9) Уравнение (6.6.9) известно как уравнение Эйлера – Лагранжа. 302 Уравнение движения (6.6.9) может быть выведено из вариационного принципа Даламбера. Этот принцип состоит в том, что любая динамиче- ская система под действием консервативных сил движется с минимумом средней по времени разности между кинетической и потенциальной энергиями. Это означает, что ( ) 2 1 0 t t T V dt δ − = ∫ или 2 1 0 t t Ldt δ = ∫ , (6.6.10) где δ означает соответствующую вариацию. Найдем вариацию лагранжиана L δ : ( ) ( ) grad grad L L L • • δ = δ + δ x x x x (6.6.11) с нулевыми граничными условиями на концах интервала 1 2 ( , ) t t , т.е. 1 2 ( ) ( ) 0 t t δ = δ = x x . Подставляя выражение (6.6.11) в формулу (6.6.10), получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 grad grad grad grad grad grad grad 0. t t t t t t t t t t t t t t Ldt L dt L dt d L L dt L dt dt d L L dt dt • • • • • δ = δ + δ = = δ − δ + δ = = − δ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x x x x x x x x x (6.6.12) Уравнение (6.6.12) может быть удовлетворено только тогда, когда равно нулю выражение в квадратных скобках. Это условие приводит к уравнению Эйлера – Лагранжа (6.6.9). Можно показать [14], что для систем с потерями (при отсутствии внешних воздействий) уравнение Эйлера – Лагранжа принимает вид ( ) grad grad grad 0, d L L F dt • • − + = x x x (6.6.13) 303 где F называется диссипативной (рассеивающей) функцией Релея, пред- ставляющей по своему физическому смыслу мощность, теряемую (рассе- иваемую) системой. При воздействии на систему внешних сил уравнение движения Ла- гранжа принимает вид ( ) grad grad , d T T dt • − = x x r (6.6.14) где r – обобщенные силы. Если потери отсутствуют, то grad V − x r = . При записи уравнения (6.6.14) учтено, что потенциальная энергия ( ) V x не зависит от • x . К уравнению Эйлера – Лагранжа ( ) grad grad 0 d F F dt • − = x x (6.6.15) приходят при синтезе оптимальных по заданному критерию систем вари- ационным методом. Интегрирование уравнения (6.6.15) возможно лишь в некоторых частных случаях: функция F не зависит от • x , т.е. ( ) , F F t = x ; функция F зависит только от х и • x , т.е. , F F • = x x ; функция F не зависит от х, т.е. F F • = x или , F F t • = x ; функция F линейна относительно • x . В остальных случаях приходится довольствоваться численными мето- дами. Следует заметить, что уравнения Эйлера – Лагранжа по своему виду не зависят от выбора системы координат в пространстве состояния. 6.6.2. Уравнения Гамильтона Обозначим через i p компоненту обобщенного момента системы, со- ответствующую координате i x . Тогда 304 i i T p x • ∂ = ∂ (6.6.16) Кинетическую энергию системы можно представить как функцию обобщенных скоростей и координат 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n T T x x x x x x • • • = или , T T • • • = x x x x (6.6.17) Функция (6.6.17) называется функцией Лагранжа для кинетической энергии. С другой стороны кинетическую энергию можно представить как функцию обобщенного момента и координат ( ) ( ) 1 2 1 2 , , ,..., , , ,..., n n T T T p p p x x x = = p p p p x . (6.6.18) Эта функция называется функцией Гамильтона для кинетической энергии. Конечно, эти две функции, представленные формулами (6.6.17) и (6.6.18) равны: T T • = p x (6.6.19) Дифференцируя выражение (6.6.19) по i x , получим 1 2 1 2 n i i i i n i T T T T T x x x x x x x x x x x • • • • • • • • • ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ + + + + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ p x x x x . (6.6.20) С учетом равенства (6.6.16), уравнение (6.6.20) можно записать: |