Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
A , обусловленная собственным числом i λ кратности r, равна ( ) ( ) [ ] ( ) 1 1 1 Adj 1 1 ! i r n r r j j j i N d r d − − = ≠ λ=λ λ λ − ⋅ − λ λ − λ ∏ E A . (5.6.27) Очевидно, что формула (5.6.27) годится и для простых корней ( 1) r = , поэтому окончательно ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1 1 1 Adj 1 1 ! r n r i N d N r d dD d − − = λ λ − = ⋅ − λ λ λ ∑ E A A , (5.6.28) где суммирование производится по всем различным корням, причем кратные корни входят в сумму (5.6.28) только один раз. Уравнение (5.6.28) носит название вырожденной формы теоремы Сильвестра. Контрольные вопросы 1. Дайте определение матрицы. 2. Перечислите операции над матрицами. 278 3. Что такое определитель матрицы? 4. Чем отличается минор от алгебраического дополнения? 5. Назовите виды матриц. 6. Что такое дефект матрицы и как он связан с рангом? 7. Для каких матриц не существует обратных? 8. Что такое след матрицы? 9. Что такое ортогональные векторы? 10. Дайте определение базиса. 11. Что такое сопряженный базис? 12. В чем заключается процедура ортогонализации Грама – Шмидта? 13. Что такое собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы А? 14. Как строится модальная матрица, соответствующая матрице А? 15. Что такое эквивалентные матрицы? 16. Как выглядит преобразование подобия? 17. Любую ли матрицу можно привести к диагональному виду? 18. В чем заключается необходимое и достаточное условие положи- тельной определенности квадратичных форм? 19. Существуют ли дробные степени от матриц? 20. Сформулируйте теорему Кэли – Гамильтона. 21. Для чего можно использовать теорему Кэли – Гамильтона? 22. Какие методы используют для вычисления матричных функций? 279 6. ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 6.1 Уравнения состояния Альтернативной дифференциальному уравнению n-го порядка фор- мой описания динамических систем является векторно-матричная форма. Векторно-матричная форма по сути является записью дифференциально- го уравнения n-го порядка в нормальной форме Коши с привлечением дополнительных переменных, называемых переменными состояния. Определение переменных состояния уже давалось в подразделе 1.3.5, но нелишне вспомнить его ещё раз. Переменные состояния системы – это та- кие переменные, знание значений которых в некоторый начальный момент времени 0 t позволяет определить поведение системы в текущий момент времени 0 t t > (естественно, если известны входные воздействия системы на интервале 0 ( , ) t t ). Если ввести обозначения r(t) – входные переменные, у( t) – выходные переменные, x(t) – переменные состояния, то общее мате- матическое описание динамической системы задается уравнениями ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , , , t t t t = δ τ = λ τ x x r y x r (6.1.1) где δ δδδи λλλλ являются однозначными функциями, а τ – отрезок оси времени от 0 t до t. Уравнения (6.1.1) называются уравнениями состояния. Часто уравне- нием состояния называется первое из уравнений (6.1.1), а второе носит название уравнения выхода. 6.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения Если динамическая система описывается или может быть описана обыкновенным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка, то переход к нормальной форме Коши дает уравнения состояния такой системы. Переход от дифференциального уравнения к уравнениям состо- яния может быть произведен различными способами в соответствии с различным определением переменных состояния, важно только, чтобы переменные состояния системы подлежали измерению (контролю). 280 Например, перейти от дифференциального уравнения к уравнениям состояния можно следующим образом. Пусть (для простоты) в диффе- ренциальном уравнении отсутствуют производные входного воздействия. Так же, не снижая общности можно положить коэффициент при старшей производной единице. Тогда дифференциальное уравнение имеет вид ( ) ( ) 1 1 n n n y a y a y r − + + + = . (6.2.1) Переменные состояния введем следующим образом: ( ) 1 2 1 3 2 1 1 , , , n n n x y dy x x y dt x x y x x y − − = = = = = = = = ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ Подставив значения y и его производных в уравнение (6.2.1), найдем 1 1 2 1 n n n n n dx x a x a x a x r dt − = = − − − − + ɺ . Полученные уравнения запишем в нормальной форме Коши, то есть первые производные перенесем в левую часть, а все остальное – в пра- вую. В результате получим систему уравнений 1 2 2 3 1 1 1 2 1 1 , , , , n n n n n n x x x x x x x a x a x a x r y x − − = = = = − − − + = ɺ ɺ ɺ ɺ (6.2.2) Уравнения состояния (6.2.2) удобнее записать в матричной форме 281 , , r y • = + = x Ax B Cx (6.2.3) где матрицы , , A B C имеют вид [ ] 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 , , 1 0 ... 0 . 1 n n a a a − = = = − − − A B C (6.2.4) Уравнения состояния (6.2.3) с матрицами вида (6.2.4) носят название стандартной формы (у некоторых авторов можно встретить название каноническая форма фазовой переменной). Матрица А вида (6.2.4) назы- вается матрицей Фробениуса. Уравнения (6.2.3) естественным образом обобщаются на случай мно- гомерной системы, имеющей m входов и р выходов. Тогда в общем виде r и у являются векторами и, кроме того, выход может напрямую зависеть от входа. С учетом этого общий вид уравнений состояния будет такой ( ) ( ) ( ) ( ) , , t t r t t • = + = + x A x B y C x D r (6.2.5) где ( ), ( ), ( ) и ( ) t t t t A B C D – матрицы соответствующих размерностей с изменяющимися в общем случае во времени элементами. Блок-схема системы, соответствующая уравнениям (6.2.5), приведена на рис. 6.1. Рис. 6.1. Блок-схема уравнений состояния. y x • x r D( t) B( t) C( t) A( t) ∫ 282 Для системы с постоянными параметрами матрицы ( ), ( ), ( ), t t t A B C D( t) от времени не зависят и могут записываться просто как , , , A B C D . В случае стационарных систем уравнения состояния записываются, таким образом, как , r • = + = + x Ax B y Cx Dr (6.2.6) 6.3 Каноническая форма При исследовании систем, описываемых уравнениями состояния, ча- сто является удобным такой выбор переменных состояния, чтобы разно- именные компоненты вектора состояния не зависели друг от друга. Возьмем уравнения состояния (6.2.6), где, в общем случае, матрица A – произвольная квадратная матрица с различными собственными значе- ниями. Произведем линейное преобразование = x Mq , где M – модаль- ная матрица. Тогда уравнения (6.2.6) запишутся в виде , r • = + = + M q AMq B y CMq Dr (6.3.1) Умножив первое из уравнений (6.3.1) на 1 − M , получим 1 1 r • − − = + q M AMq M B Так как матрица M является модальной матрицей, преобразование подобия 1 − M AM дает диагональную матрицу Λ с собственными числа- ми 1 2 , ,..., n λ λ λ по диагонали. Окончательно имеем , , n n n r • = + = + q Λq B y C q D r (6.3.2) где 1 1 , , , n n n − − = = = = Λ M AM B M B C CM D D . 283 Уравнения (6.3.2) носят название нормальной или канонической фор- мы уравнений состояния. При этом дифференциальные уравнения развя- заны относительно переменных состояния 1 2 , ,..., n q q q и имеют вид i i i i q q f • = λ + , где i f – вынуждающая функция, воздействующая на i-ю переменную состояния. Можно показать, что, если уравнения (6.2.6) представлены в стан- дартной форме (т.е. матрица A является матрицей Фробениуса), то мо- дальная матрица M имеет вид 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n n − − − λ λ λ = λ λ λ λ λ λ M (6.3.3) Матрица вида (6.3.3) называется матрицей Вандермонда. При наличии у A кратных собственных значений и в случае, когда дефект характеристической матрицы [ ] i λ − E A меньше кратности корня i λ , диагональная матрица Λ в уравнении (6.3.2) заменяется недиаго- нальной матрицей Жордана. 6.4 Обыкновенные уравнения стационарных систем 6.4.1. Переходная матрица и методы ее вычисления Однородное уравнение для линейной стационарной системы имеет вид , • = x Ax (6.4.1) где A – квадратная размерностью n матрица с постоянными коэффици- ентами, х – вектор-столбец переменных состояния. Аналогично скаляр- ному случаю, общее решение уравнения (6.4.1) ищется в виде ( ) ( ) ( ) 0 о 0 t t t e t − = A x x , (6.4.2) 284 где матрица ( ) 0 t t e − A определяется уравнением (5.6.6), а вектор 0 ( ) t x зада- ет начальные условия. Подставив выражение (6.4.2) в уравнение (6.4.1) и выполнив диффе- ренцирование по всем правилам, удостоверимся, что оно (выражение (6.4.2)) действительно является решением однородного дифференциаль- ного уравнения. Подставив в формулу (6.4.2) 0 t t = , можно убедиться, что начальные условия удовлетворяются, поскольку ( ) 0 0 t t t t e − = = A E . Матрица ( ) ( ) 0 0 t t t t e − − = A Φ , удовлетворяющая однородному диффе- ренциальному векторно-матричному уравнению (6.4.1), называется пере- ходной матрицей или фундаментальной матрицей. Термином «фунда- ментальная матрица» чаще пользуются математики, связанные с матрич- ными дифференциальными уравнениями, а словосочетание «переходная матрица состояния» встречается в теории управления и теории систем. Прилагательное «переходная» обусловлено тем, что с помощью матрицы 0 ) t t − Φ( осуществляется «переход» системы от некоторого начального состояния 0 ( ) t x к текущему состоянию ( ) t x . Часто для простоты началь- ный отсчет времени полагают равным нулю 0 0 t = . Для вычисления переходной матрицы ) t Φ( могут применяться не- сколько методов. Из уже рассмотренных методов сюда относятся мето- ды, основанные на теореме Кэли – Гамильтона и теореме разложения Сильвестра (см. примеры 5.9 и 5.10). К другим методам относятся метод разложения в степенной ряд и ме- тод, основанный на преобразовании Лапласа. Метод разложения в степенной ряд. Согласно уравнению (5.6.6) пе- реходную матрицу ) t Φ( можно представить бесконечным рядом ( ) 2 2 3 3 2! 3! t t t t = + + + + A A Φ E A . (6.4.3) Вычисление ряда (6.4.3) – задача трудоемкая, особенно если ряд схо- дится медленно, а порядок матрицы ) t Φ( недостаточно низкий. Степени матрицы k A могут быть найдены с использованием теоремы Кэли – Га- мильтона. После выполнения суммирования необходимо найти в замкну- том виде все элементы матрицы ) t Φ( . Количество членов при вычисле- нии ряда (6.4.3) определяется скоростью сходимости: ограничиваются 285 числом N членов ряда, если относительный вклад (N+1)-го слагаемого в уже вычисленную сумму для каждого элемента матрицы ) t Φ( становит- ся меньше наперед заданного числа. Метод преобразования Лапласа. Применим преобразование Лапласа к уравнению (6.4.1), полагая 0 0 t = : ( ) ( ) ( ) 0 s s s − = X x AX Полученное уравнение разрешим относительно ( ) s X : ( ) [ ] ( ) 1 0 s s − = − X E A x . (6.4.4) Применяя к обеим частям уравнения (6.4.4) обратное преобразование Лапласа, получим ( ) [ ] { } ( ) 1 1 0 x t L s − − = − E A x . (6.4.5) Из уравнений (6.4.5) и (6.4.2) делаем вывод, что переходная матрица может быть представлена формулой ( ) [ ] { } 1 1 t L s − − = − Φ E A . (6.4.6) Таким образом, в этом методе для вычисления переходной матрицы необходимо найти обратную матрицу [ ] 1 s − − E A и применить к ней об- ратное преобразование Лапласа. Пример 6.1. Найти переходную матрицу для матрицы A из примера 5.9 1 2 0 1 , 1, 2 2 3 = λ = − λ = − − − A Матрица, обратная к [ ] 1 2 3 s s s − − = + E A , 286 имеет вид [ ] 2 2 1 2 2 2 3 1 3 1 1 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 s s s s s s s s s s s s s s s − + + + + + + − = = − − + + + + + + E A Обратное преобразование от каждого элемента матрицы найдем по тео- реме разложения 1 1 2 11 2 1 1 2 12 2 1 2 21 2 1 1 2 22 2 3 2 1 2 , 3 2 1 2 1 1 1 , 3 2 1 2 2 2 2 , 3 2 1 2 2 3 2 1 2 t t t t t t t t s L L e e s s s s L L e e s s s s L e e s s s L L e e s s s s − − − − − − − − − − − − − − − + φ = = − = − + + + + φ = = − = − + + + + − φ = = − + + + − φ = = + = − + + + + + Полученная переходная матрица ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t t t t t t t e e e e t e e e e e − − − − − − − − − − = = − + − + A Φ совпадает с найденной в примерах 5.9 и 5.10. Очень просто находить переходную матрицу для уравнений состоя- ния, представленных в канонической форме (6.3.2). В этом случае пере- ходная матрица равна ( ) 1 2 diag i n t t t t t e e t e e e λ λ λ λ = = = |