Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
Пример 4.14. Пусть предварительно невозбуждённая система описы- вается уравнением ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 1 2 y k y k y k r k r k + − + + = + + Найти выход системы, полагая, что воздействие на входе ( ) при 0, 0 при 0. k k r k k ≥ = < Применим z-преобразование, воспользовавшись результатом примера 4.10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 z z z z Y z R z z z z z z z z z z − − = = ⋅ = − + − + − − − На основе примера 4.13 получим ( ) ( ) 2 2 1 при 0 k y k k k = − − ≥ . Контрольные вопросы 1. Как связан оператор сдвига E и разностный оператор ∆? 2. Как определяется порядок разностного уравнения? 3. Что такое факториальный многочлен? 4. Какие методы существуют для вычисления конечных рядов? 224 5. Как записывается обратный разностный оператор 1 − ∆ ? 6. В какой форме записывается общее решение однородного разност- ного уравнения в случае некратных и кратных корней характеристиче- ского уравнения? 7. Какая форма записи решения для комплексных корней характери- стического уравнения? 8. Какие методы существуют для нахождения частного решения раз- ностного уравнения? 9. К каким вынуждающим функциям применим метод неопределен- ных коэффициентов при решении неоднородных разностных уравнений? 10. Как составляется определитель Касорати? 11. В чем состоит необходимое и достаточное условие линейной неза- висимости n решений однородного линейного разностного уравнения n- го порядка? 12. Как учитывается запасенная энергия системы к начальному мо- менту времени в решении разностного уравнения? 13. Как связано дискретное преобразование Лапласа и z- преобразование? 14. По каким формулам можно вычислить z-преобразование? 15. Что такое импульсная передаточная функция системы? 16. Какие методы существуют для нахождения обратного z- преобразования? 17. Перечислите основные свойства z-преобразования. 18. Назовите основные этапы решения разностного уравнения с по- мощью z-преобразования. 225 5. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Полное описание достаточно сложной системы требует большого ко- личества информации. Эта информация может быть представлена систе- мами дифференциальных либо разностных уравнений. Удобно в этом случае пользоваться матричными формами представления такой инфор- мации. Анализ систем тогда сводится, как правило, к анализу свойств матриц. Мощным средством аппарат теории матриц является и при син- тезе систем. Поэтому полезно еще раз вспомнить те разделы линейной алгебры, которые непосредственно относятся к изучению теории систем. 5.1 Основные типы матриц и операции над ними 5.1.1. Общие понятия Как известно, матрицей называется прямоугольная таблица, состав- ленная из упорядоченных элементов [13]. Элементами таблицы могут быть действительные или комплексные числа или функции от заданных переменных. В отличие от обычной прямоугольной таблицы матрица подчиняется определенным правилам сложения, вычитания, умножения и равенства. Элементы матрицы ij a имеют двойной индекс, первый – это номер строки, второй – номер столбца, где располагается этот элемент. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, называется( ) m n × - матрицей, или матрицей порядка m на n. Матрица ( 1) m × называется матрицей-столбцом или вектор- столбцом. Матрица (1 ) n × называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Диагональная матрица – это квадратная матрица, все элементы кото- рой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Единичная матрица – это диагональная матрица с элементами, равны- ми единице. Нулевая матрица – это матрица, все элементы которой тождественно равны нулю. Транспонированная матрица – это матрица, у которой строки и столб- ца поменялись местами. Симметрическая матрица – это квадратная матрица с действительны- ми элементами, если она равна своей транспонированной T = A A . 226 Кососимметрическая матрица – это квадратная действительная мат- рица, если T = − A A . Если элементы матрицы A комплексные ij ij ij a j = α + β ,то комплексно сопряженная матрица * = B A , содержит элементы ij ij ij b j = α − β . Матрица, сопряженная по отношению к матрице А, является транс- понированной и комплексно сопряженной по отношению к А, то есть равна ( ) * T A Если * = A A , то матрица является действительной. Если * = − A A , то матрица А мнимая. Если матрица равна своей сопряженной, то она называется эрмито- вой. Для эрмитовой матрица выполняется соотношение ( ) * T = A A Если выполняется соотношение ( ) * T = − A A , то матрица А носит назва- ние косоэрмитовой. 5.1.2. Простейшие операции Суммой (разностью) матриц одного порядка ( m×n)является матрица ( ) m n × = ± C A B , каждый элемент которой определяется как ij ij ij c a b = ± Две матрицы одного порядка равны = A B если и только если равны их элементы ij ij a b = . Определение произведения двух матриц А и В непосредственно следует из аппарата линейных преобразований. Для существования произведения = C AB матрица А и Вдолжны быть согласованы по форме, то есть число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Тогда произведение С двух матриц А ( ) m n × и В ( ) n p × определяется в виде 1 n ij ik kj k c a b = = = ∑ C Для матриц А( ) m n × и В ( ) n m × существует как произведение AB , так и произведение BA , но в общем случае произведение не коммута- тивно, даже если m n = . Однако, если равенство = AB BA имеет место, то говорят, что матрица Аи В коммутативны. 227 Из определения операции умножения видно, что умножение ассоциа- тивно и дистрибутивно относительно сложения, как справа, так и слева. Умножение на скаляр k матрицы А (справа или слева) означает, что на величину k умножается каждый элемент матрицы А. Произведение двух транспонированных матриц T T B A равно транспо- нированному произведению исходных матриц, взятому в обратном по- рядке: ( ) T T T = B A AB (5.1.1) в чем нетрудно убедиться, транспонируя матрицу = C AB . Умножение справа матрицы А на диагональную матрицу Dравно- сильно операции со столбцами А. Умножение слева матрицы А на мат- рицу D – это операция со строками А. Очевидно, что умножение слева или справа на единичную матрицу E не меняет исходной квадратной матрицы: = = EA AE A , то есть матрица Е является единичным элемен- том в некоммутативной полугруппе квадратных матриц по операции умножения. Правило умножения блочных матриц, когда элементами матриц- сомножителей являются некоторые подматрицы, такое же, как и обыч- ных матриц, важно только, чтобы подматрицы, фигурирующие в соот- ветствующих произведениях, были согласованы по форме. Дифференцирование и интегрирование матрицы – это соответствую- щие операции над ее элементами. Дифференцирование произведения матриц осуществляется так же, как и дифференцирование скалярных функций при условии сохранения первоначального порядка следования сомножителей. 5.1.3. Определители, миноры и алгебраические дополнения Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Определитель квадратной матрицы А размерностью ( ) n n × и обозначае- мый ||||А|||| равен алгебраической сумме всех возможных произведений n элементов. Каждое произведение содержит только один элемент из каж- дой строки и столбца и имеет знак + или – в зависимости от того, четное или нечетное число инверсий (то есть расположений большего числа пе- ред меньшим) вторых индексов содержится в произведении, если распо- ложить элементы в порядке возрастания первых индексов. Нетрудно установить следующие свойства определителей. 228 1. Определитель равен нулю, если равны нулю все элементы какой- либо строки (столбца) или если равны или пропорциональны соответ- ствующие элементы произвольных двух строк (столбцов). 2. Величина определителя остается постоянной по модулю при пере- становке строк (столбцов). 3. Знак определителя меняется на противоположный при перемене местами двух любых строк (столбцов). 4. Значение определителя умножается на постоянную k, если все эле- менты какой-либо строки (столбца) умножить на k. 5. Значение определителя не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить умноженные на k соответствующие элементы дру- гой строки (столбца). Если в определителе ||||А|||| вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, то оставшиеся 1 n − строк и столбцов образуют определитель ij M ,называе- мый минором элемента ij a . Миноры, у которых диагональные элементы являются диагональными элементами ||||А||||, называются главными. Алгебраическое дополнение элемента ij a – это минор элемента ij a , взя- тый со знаком ( 1) i j + − , то есть алгебраическое дополнение ( 1) i j ij ij C M + = − Используя алгебраические дополнения, можно по формуле Лапласа вычислить определитель матрицы А: 1 1 , ( 1,2,..., ) разложение по элементам столбца, , ( 1, 2,..., ) разложение по элементам строки. n ij ij i n ij ij j a C j n a C i n = = = = − = = − ∑ ∑ A A (5.1.2.) Если заменить элементы i-й строки (столбца) на соответствующие эле- менты k-й строки (столбца), то согласно свойству первому определитель обратится в нуль. Следовательно, используя разложения (5.1.2), получим 1 1 0, ( ), 0, ( ). n kj ij j n jk ji j a C k i a C k i = = = ≠ = ≠ ∑ ∑ (5.1.3) Объединяя (5.1.2) и (5.1.3), получим 229 1 1 , n kj ij ik j n jk ji ik j a C a C = = = δ ⋅ = δ ⋅ ∑ ∑ A A (5.1.4) где δ ik – символ Кронекера, равный единице при одинаковых индексах и нулю при различных индексах. Определитель можно вычислить и воспользовавшись методом опор- ного элемента, который сводит процесс нахождения определителя к вы- числению определителей второго порядка. Метод заключается в следу- ющем. В качестве опорного выбирается произвольный элемент а ij . Берется произвольный элемент а ik , расположенный в той же строке, что и а ij , и элемент а qj , расположенный в том же столбце, что и а ij . Из элементов а qk , а ik , а qj и а ij образуют определитель второго порядка, причем порядок элементов сохраняется. Составляют все возможные определители второго порядка, содержащие в качестве одного из элемен- тов опорный элемент. Используя в качестве элементов определители вто- рого порядка, а в качестве множителя 2 1 n ij a − , представляют исходный определитель как определитель ( 1) n − -го порядка. Повторяя эту проце- дуру, можно вычислить определитель высокого порядка, последователь- но уменьшая его порядок до единицы. Необходимо отметить, что метод опорного элемента эффективнее в смысле числа перемножений, чем разложение определителя по формуле Лапласа, уже при n≥4. Как следствие соотношений (5.1.2) (разложение Лапласа), производ- ная от определителя по какому-либо из его элементов равна алгебраиче- скому дополнению этого элемента 1 n ij ij ij i ij ij a C C a a = ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∑ A (5.1.5) 5.1.4. Присоединенная и обратная матрицы Если А – квадратная матрица, а C ij – алгебраическое дополнение эле- мента а ij , то присоединенной для А называется матрица, образованная из алгебраических дополнений C ji , то есть 230 Adj ji C = A (5.1.6) Таким образом, присоединенная матрица (Adj – по первым буквам ан- глийского слова adjust – приспосабливать, прилаживать, присоединять) является транспонированной для матрицы, образованной заменой эле- ментов а ij их алгебраическими дополнениями. Пример 5.1. Получить присоединенную матрицу для 0 1 2 3 2 1 1 0 1 − = − − A Вычислим алгебраические дополнения ij C элементов матрицы 11 12 13 21 22 23 31 32 32 2, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 6, 3. C C C C C C C C C = = − = = − = − = − = = − = − Составим присоединенную матрицу согласно (5.1.6) 2 1 3 Adj 2 2 6 2 1 3 ji C − = = − − − − − A Из уравнения (5.1.4) следует, что T ij ij a C ⋅ = ⋅ A E . Учитывая определение (5.1.6) и умножив правую и левую часть по- следнего выражения на 1/A( при условии A≠0), получим Adj ⋅ = A A E A (5.1.7) 231 Из выражения (5.1.7) естественным образом определяется обратная матрица 1 − A 1 Adj ; 0. − = ≠ A A A A (5.1.8) Таким образом, 1 − = AA E . (5.1.9) Нетрудно показать, что матрица и обратная ей коммутативны 1 1 − − = A A AA . (5.1.10) Если 0 = A , то матрица Aназывается особенной или вырожденной. Если 0 ≠ A , то матрица называется неособенной (невырожденной). Та- ким образом, обратные матрицы существуют только для неособенных матриц. Из выражения (5.1.8) следует, что обратная матрица для каждой не- особенной матрицы является единственной и, следовательно, множество неособенных квадратных матриц по операции умножения образует не- коммутативную группу. Произведение обратных матриц подчиняется тем же правилам пере- становки, что и произведение транспонированных матриц, то есть ( ) 1 1 1 − − − = B A AB Производная от обратной матрицы вычисляется по формуле ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , d t d t t t dt dt − − − = − ⋅ ⋅ A A A A (5.1.11) которую нетрудно получить, если рассмотреть соотношение ( ) ( ) ( ) [ ] 1 0 . d d t t dt dt − ⋅ = = E A A Некоторые специальные обратные матрицы носят отдельные названия. 232 Инволютивнаяматрица – это такая матрица, которая совпадает со своей обратной, то есть АА=Е. Ортогональная матрица – это матрица, для которой выполняется со- отношение 1 T − = A A . Унитарная матрица удовлетворяет соотношению ( ) ( ) 1 * T − = A A Псевдообратная матрица + A удовлетворяет соотношениям + = |