Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
Пример 4.2. Найти общее решение разностного уравнения ( ) ( ) ( ) 2 0,3 1 0,02 0 y k y k y k + + + + = . 195 Составим характеристическое уравнение 2 0,3 0,02 0 z z + + = и найдем его корни 1 2 0, 2; 0,1 z z = − = − . Осталось записать решение в форме (4.2.12) ( ) ( ) ( ) о 1 2 0, 2 0,1 k k y k c c = − + − Для любого комплексного корня уравнения (4.2.11) с действительны- ми коэффициентами должен существовать и комплексно сопряженный корень. Решение разностного уравнения, соответствующее паре ком- плексно сопряжённых корней 1,2 j z e ± θ = ρ , (4.2.13) записывается в форме ( ) ( ) ( ) о1 cos sin cos k k y k A k B k C k = ρ θ + θ = ρ θ + ϕ , (4.2.14) где A, B, C и φ – действительные постоянные, связанные друг с другом известными формулами приведения тригонометрических функций 2 2 C A B = + , arctan B A ϕ = − Пример 4.3. Решить уравнение ( ) ( ) ( ) 2 1 0 y k y k y k + + + + = . Корни характеристического уравнения 2 1 0 z z + + = равны arctan 3 3 1,2 1 3 1 3 2 2 4 4 j j z e e π ± ± = − ± = + = Таким образом, в выражении (4.2.13) 1, 3 ρ = ϕ = π и решение соглас- но (4.2.14) равно ( ) cos sin 3 3 y k A k B k π π = + Особое внимание нужно уделять нулевым корням характеристическо- го уравнения (4.2.11). Если 1 0 0, 0 и 0 n n a a a − = ≠ ≠ в уравнении (4.2.11), то характеристическое уравнение содержит один нулевой корень. Так как 196 в этом случае порядок разностного уравнения равен 1 n − , а характери- стический полином имеет порядок n, то нулевой корень оказывается лишним и не должен учитываться. Также не должны учитываться и нуле- вые кратные корни. 4.2.3. Решение неоднородных уравнений Общее решение неоднородного уравнения (4.2.5), как и в случае диф- ференциальных уравнений, состоит из суммы общего решения y о ( k) од- нородного уравнения (4.2.6) и частного решения y н ( k), удовлетворяющего уравнению (4.2.6) ( ) ( ) ( ) о н y k y k y k = + . (4.2.15) Так как в составляющей y н ( k) нет произвольных постоянных, то в ре- шении (4.2.15) содержится n произвольных постоянных, которые опреде- ляются по начальным условиям (0), (1),..., ( 1) y y y n − . Вынужденное движение системы, то есть составляющую решения, соответствующую частному решению y н ( k) неоднородного уравнения (4.2.5), можно найти на основе тех же самых двух методов, как и в случае дифференциальных уравнений: метода неопределенных коэффициентов и метода вариации параметров. Метод неопределенных коэффициентов применим только в случае, если в результате последовательного действия оператора сдвига Е на вы- нуждающую функцию F(k) получится конечное число линейно незави- симых членов. Это будет в том случае, если F(k) является функцией по- линомиальной, экспоненциальной, синусоидальной или гиперболиче- ской, либо содержит линейную комбинацию этих функций. Решение ищется в виде линейной комбинации независимых составляющих F(k), F(k+1), F(k+2),…, где каждая составляющая входит с неопределенными постоянными коэффициентами. Эти коэффициенты подбираются таким образом, чтобы предполагаемое решение удовлетворяло уравнению (4.2.5) для всех значений k. Пример 4.4. Решить уравнение ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0,3 1 0,02 1 k y k y k y k k + + + + = − . (4.2.16) 197 Соответствующее однородное уравнение совпадает с уравнением из примера 4.2, поэтому общее решение однородного уравнения можно за- писать сразу, воспользовавшись результатом из примера 4.2 ( ) ( ) ( ) о 1 2 0,2 0,1 k k y k c c = − + − . (4.2.17) Вынуждающая функция (правая часть уравнения) при воздействии на неё оператора сдвига E имеет две линейно независимые составляющие – это ( ) 1 k k − и ( ) 1 k − ( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 k k k k E k k k + − = + − = − − − − ), поэто- му предполагаемое частное решение имеет вид ( ) ( ) ( ) н 1 1 k k y k Ak B = − + − , (4.2.18) где A и B – неизвестные пока постоянные коэффициенты. Подставив выражение (4.2.18) в левую часть уравнения (4.2.16), получим ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 2 1 1 0,3 1 1 0,3 1 0,02 1 0,02 1 0,3 0,02 1 2 0,3 0,3 0,02 1 0,72 1 1,7 0,72 1 . k k k k k k k k k k A k B A k B Ak B A A A k A B A B B Ak A B + + + + + − + − + + − + − + + − + − = − + − + + − − − + − = − + + − Приравняв в полученном выражении коэффициенты при независимых составляющих решения с соответствующими коэффициентами при таких же составляющих в правой части уравнения (4.2.18), получим систему из двух уравнений относительно коэффициентов A и B 0,72 1, 1,7 0,72 0. A A B = + = Решая эту систему уравнений, найдём коэффициенты A и B: 1,39 A = ; 1,39 B = − . Окончательно получаем общее решение уравнения (4.2.16) как сумму решения (4.2.17) и решения (4.2.18) с определёнными коэффи- циентами ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) о н 1 2 0,2 0,1 1,39 1 1,39 1 k k k k y k y k y k c c k = + = − + − + − − − 198 Если составляющие F(k), F(k+1),… имеют такой же вид, как и состав- ляющие решения y о ( k), то предполагаемое частное решение видоизменяет- ся. Все составляющие частного решения y н ( k), совпадающие по виду с со- ставляющими общего решения однородного уравнения y о ( k), умножаются на k в той наименьшей степени, чтобы их тождественность нарушилась. Пример 4.5. Пусть требуется найти частное решение уравнения ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0,3 1 0,02 0,1 k y k y k y k + + + + = − Вынуждающая функция равна ( 0,1) k − и это единственная независи- мая составляющая при воздействии оператора сдвига, поэтому в обычном случае следовало бы частное решение взять в форме ( 0,1) k A − . Но, вспомнив общее решение (4.2.17) однородного уравнения, замечаем сов- падение вынуждающей функции с одним из слагаемых общего решения. Поэтому частное решение нужно брать в виде ( ) ( ) н 0,1 k y k Ak = − Подставив предполагаемое решение в исходное уравнение, получим ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0,1 0,3 1 0,1 0,02 0,1 0,01 0,03 0,02 0,1 0,02 0,03 0,1 0,1 , k k k k k k A k A k Ak Ak A + + + − + + − + − = = − + − + − − = − откуда с очевидностью следует 100 A = − , и частное решение равно ( ) ( ) н 100 0,1 k y k k = − − Второй метод (метод вариации параметров) позволяет получить вы- ражение для y н ( k) для любой функции F(k), если известно решение y о ( k). Рассмотрение метода вариации параметров начнем с уравнения пер- вого порядка ( ) ( ) ( ) 0 1 a E a y k F k + = . (4.2.19) 199 Общее решение состоит из одного члена ( ) ( ) о 1 1 y k c y k = Частное решение ищем в виде ( ) ( ) ( ) н 1 1 y k k y k = µ . (4.2.20) Подставляя выражение (4.2.20) в (4.2.19) имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 a k y k a k y k F k µ + + + µ = В левую часть последнего уравнения добавим и вычтем член ( ) ( ) 0 1 1 1 a k y k µ + : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 a k y k k y k k a y k a y k F k µ + + − µ + + µ + + = Выражение в первых квадратных скобках есть y 1 ( k+1)∆µ 1 ( k), а вторые квадратные скобки равны нулю, так как y 1 ( k) есть решение однородного уравнения. Получим: ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 a k y k F k ∆µ + = , откуда с учетом уравнения (4.1.12) находим 1 1 0 1 0 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) n k F k F n k a y k a y n = − − µ = ∆ = + ∑ . (4.2.21) Пример 4.6. Пусть требуется решить уравнение первого порядка ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 k y k y k k k − + + = + Решение однородного уравнения имеет вид ( ) ( ) о 1 2 k y k c = − , и ( ) ( ) 1 2 k y k = − . Частное решение записываем в форме (4.2.20) 200 ( ) ( )( ) н 1 2 k y k k = µ − , где 1 ( ) k µ определяется по формуле (4.2.21) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 ( ) 2 1 1 2 n k k n n n k n n n n − = = − µ = = − − − − ∑ ∑ Воспользовавшись результатом примера 4.1, получим 1 1 1 ( ) 1 2 k k µ = − − , а общее решение представится в виде ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 k k y k c c k k = − + − = + − Перейдем теперь к уравнению второго порядка ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 a E a E a y k F k + + = . (4.2.22) Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид ( ) ( ) ( ) о 1 1 2 2 y k c y k c y k = + Частное решение уравнения (4.2.22) предполагаем в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) н 1 1 2 2 y k k y k k y k = µ + µ . (4.2.23) Для нахождения двух неизвестных функций µ 1 , µ 2 необходимы два уравнения. Первое уравнение получается из условия того, что соотноше- ние (4.2.23) должно удовлетворять уравнению (4.2.22), а второе уравне- ние выбирается произвольно, но так, чтобы упростить вычисление н ( 1) y k + и н ( 2) y k + , а именно 201 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 0 y k k y k k + ∆µ + + ∆µ = . (4.2.24) Учитывая, что ( 1) ( ) ( ) i i i k k k µ + = µ + ∆µ , из уравнения (4.2.23) имеем (с учетом уравнения (4.2.24)): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) н 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 Ey k y k k k y k k k y k k y k k = + µ + ∆µ + + µ + ∆µ = = + µ + + µ и ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 н 1 1 1 2 2 2 2 2 E y k y k k k y k k k = + µ + ∆µ + + µ + ∆µ . Подставляя эти выражения в исходное уравнение (4.2.22) и проделы- вая очевидные преобразования получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 1 0 1 1 1 2 1 2 0 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 a y k k y k k k a y k a y k a y k k a y k a y k a y k F k + ∆µ + + ∆µ + µ + + + + + + µ + + + + = Поскольку y 1 ( k) и y 2 ( k) являются решениями соответствующего одно- родного уравнения, в последней формуле выражения в квадратных скоб- ках равны нулю и окончательно имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 0 2 2 F k y k k y k k a + ∆µ + + ∆µ = (4.2.25) Теперь осталось решить систему уравнений (4.2.25) и (4.2.24) относи- тельно неизвестных 1 ( ) k ∆µ и 2 ( ) k ∆µ 2 1 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 ( 1) ( ) ( ) , ( ( 1) ( 2) ( 2) ( 1)) ( 1) ( ) ( ) , ( ( 1) ( 2) ( 2) ( 1)) y k F k k a y k y k y k y k y k F k k a y k y k y k y k − + ⋅ ∆µ = + ⋅ + − + ⋅ + + ⋅ ∆µ = + ⋅ + − + ⋅ + и определить сами функции 1 ( ) k µ и 2 ( ) k µ : 202 2 1 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 ( ) ( 1) ( ) , ( ( ) ( 1) ( 1) ( )) ( ) ( 1) ( ) ( ( ) ( 1) ( 1) ( )) n k n k y n F n k a y n y n y n y n y n F n k a y n y n y n y n = = ⋅ − µ = − ⋅ + − + ⋅ ⋅ − µ = ⋅ + − + ⋅ ∑ ∑ (4.2.26) Знаменатели в (4.2.26) отличны от нуля, так как y 1 ( k) и y 2 ( k) – незави- симые решения однородного уравнения, а, следовательно, выполняется условие (4.2.8). Пример 4.7. Решим уравнение из примера 4.5 методом вариации па- раметров ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0,3 1 0,02 0,1 k y k y k y k + + + + = − Общее решение соответствующего однородного уравнения найдено в примере 4.2 ( ) ( ) ( ) о 1 2 0,2 0,1 k k y k c c = − + − , и 1 2 ( ) ( 0, 2) , ( ) ( 0,1) k k y k y k = − = − Частное решение ищем в форме ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) н 1 1 2 2 1 2 0,2 0,1 k k y k k y k k y k k k = µ + µ = µ − + µ − , Учитывая, что определитель Касорати равен ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 0,1 0,2 0,1 k k y k y k y k y k + − + = − − , на основе уравнений (4.2.26) получим 203 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0,1 0,1 0,1 1 1 1 , 2 2 0,1 0, 2 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 100 . 0,1 0,2 0,1 n n n n k k k n n n k n n n n n k n n n k k k − = = = − = − − − µ = − = = = − − − − − − − µ = = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ Окончательно общее решение будет равно ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) о н 1 2 1 2 0,2 0, 2 0,1 0, 2 100 2 100 0,1 0, 2 0,1 100 0,1 , k k k k k k k k k y k y k y k c c k C C k − = + = − + − + − − − − − = − + − − − где через С 1 , С 2 обозначены новые постоянные, связанные со старыми соотношениями 1 1 2 2 1; 100 C c C c = + = − Обобщим результаты решений уравнений первого и второго порядка на уравнение произвольного порядка (4.2.2). Общее решение однородного уравнения берем в виде (4.2.9). Тогда частное решение ищется в форме ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) н 1 1 n n y k k y k k y k = µ + + µ . (4.2.27) Одно из условий, накладываемых на функции ( ) i k ∆µ , – это удовле- творение исходного уравнения (4.2.2), а остальные 1 n − условий опреде- ляются уравнениями, аналогичными уравнению (4.2.24): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0, 2 2 2 0, 1 1 0. n n n n n n y k k y k k y k k y k k y k k y k k y k n k y k n k + ∆µ + + ∆µ + + + ∆µ = + ∆µ + + ∆µ + + + ∆µ = + − ∆µ + + + − ∆µ = (4.2.28) Подставляя решение (4.2.27) в уравнение (4.2.2) и учитывая уравнения (4.2.28), после соответствующих преобразований будем иметь 204 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 n n F k y k n k y k n k a + ∆µ + + + ∆µ = . (4.2.29) Решая систему из n уравнений (4.2.28) и (4.2.29), находим 0 ( 1) ( ) ( ) , ( 1) ni i C k F k k a C k + ⋅ ∆µ = + или 0 ( ) ( 1) ( ) , ( ) n k ni i C n F n k a C n = ⋅ − µ = ∑ (4.2.30) где С(k) – определитель Касорати, а С ni ( k) – алгебраические дополнения ni-х элементов. Из условия (4.2.8) следует, что С(k) отличен от нуля, если y 1 ( k) ÷ y n ( k) – линейно независимые решения однородного уравнения. Выражения (4.2.30) позволяют получить в явном виде решение y н ( k) по известному y о ( k) для произвольной вынуждающей функции F(k), хотя в некоторых случаях трудно представить в замкнутом виде входящую в формулу (4.2.30) сумму. Метод вариации параметров позволяет находить решение и разностных уравнений с переменными коэффициентами, то есть уравнений, описывающих нестационарные во времени системы. Завершая этот подраздел, введем понятие передаточной функции дис- кретной во времени системы. Решим формально уравнение (4.2.3) относительно выхода y(k): 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) m m m n n n b E b E b B E y k r k r k A E a E a E a − − + + + = = + + + (4.2.31) Идентифицируем оператор Е с некоторой независимой переменной z. Тогда характеристикой системы, описываемой уравнением (4.2.3), будет отношение полиномов B(z)к A(z): ( ) ( ) ( ) B z W z A z = (4.2.32) Последнее соотношение и определяет формально передаточную функцию дискретной системы (другие названия – «импульсная переда- |