Математическая теория систем. Математические основы теории систем
 Скачать 2.07 Mb.
|
|
Пример 3.15. Найти преобразование Лапласа от функции ( ) at f t te − = Применим формулу (3.3.20), учитывая, что ( ) f t t = . Тогда { } ( ) 2 2 1 1 at s s a L te s s a − = + = = + , что совпадает с результатами примеров 3.13 и 3.14. Теорема подобия: { } 1 ( ) s L f at F a a = (3.3.21) 173 Действительно, в интеграле { } 0 ( ) ( ) , st L f at f at e dt ∞ − = ∫ введем новую переменную at τ = . Тогда dt d a = τ и имеем следующую цепочку формул: { } ( ) 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) at s s a a s L f at f at e d at f e d F a a a a ∞ ∞ τ − − = = τ τ = ∫ ∫ Теорема свертки в области изображений. Изображение произведения функций равно свертке их изображений { } 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 c j c j L f t f t F s F d j + ∞ − ∞ ⋅ = − ξ ⋅ ξ ξ π ∫ (3.3.22) где вдоль пути интегрирования величина с удовлетворяет соотношению 2 1 Re , c s τ < < − τ (3.3.23) и { } 1 2 1 2 Re max , , , s > τ τ τ ⋅ τ (3.3.24) τ 1 , τ 2 – абсциссы сходимости для функций f 1 ( t) и f 2 ( t)соответственно. Имеем: { } 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , st L f t f t f t f t e dt ∞ − ⋅ = ⋅ ∫ где f 2 ( t) в правой части заменим по формуле (3.3.10). { } ( ) ( ) 1 2 2 1 0 ( ) 2 1 2 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 c j t st c j c j c j s t c j c j L f t f t F e d f t e dt j F f t e dt d F F s d j j + ∞ ∞ ξ − − ∞ + ∞ + ∞ ∞ − −ξ − ∞ − ∞ ⋅ = ξ ⋅ ξ = π ξ ξ = ξ ⋅ − ξ ξ π π ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 174 Для сходимости интегралов Лапласа от функций f 1 ( t), f 2 ( t)и их произ- ведения вещественная часть комплексной переменной s должна быть до- статочно большой, по крайней мере, больше абсцисс абсолютной сходи- мости функции f 1 ( t), f 2 ( t),а также их произведения; отсюда следует усло- вие (3.3.24). Для сходимости интеграла в первых квадратных скобках величина c должна превышать τ 2 , т.е. должно быть 2 c > τ . Сходимость интеграла во вторых квадратных скобках будет обеспечена, если ( ) 1 Re s − ξ > τ или 1 Re Re s ξ < − τ . Объединение этих условий приводит к соотношению (3.3.23). Пример 3.16. Найти преобразование Лапласа от функции ( ) at f t te − = В качестве функции f 1 возьмем экспоненту ( ) 1 at f t e − = , а в качестве функции f 2 – t. Тогда согласно выражению (3.3.22) получим { } { } 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 c j at c j L f t f t L e t d j s a + ∞ − − ∞ ⋅ = = ξ π + − ξ ξ ∫ , где линия интегрирования согласно условиям (3.3.23) и (3.3.24) лежит правее полюса функции в квадратных скобках подынтегрального выра- жения. Стандартная процедура вычисления такого интеграла состоит в при- менении теоремы Коши о вычетах. Для этого замыкаем контур интегри- рования дугой бесконечного радиуса через левую полуплоскость против часовой стрелки. Тогда в контур интегрирования попадает единственный полюс функции 1 s a + − ξ , равный s a ξ = + , а искомое преобразование равно вычету подынтегральной функции в этом полюсе { } ( ) ( ) 2 2 2 в полюсе 1 1 1 вычету at s a s a L e t s a s a − ξ= + ξ= + = = = + − ξ ξ ξ + , что совпадает с результатами предыдущих примеров. Обратное преобразование Лапласа может быть найдено по таблицам преобразований, которые содержатся в многочисленной справочной ли- тературе. Определение оригинала часто облегчается в тех случаях, когда изоб- ражение по Лапласу представляется в виде отношения двух многочленов 175 с вещественными коэффициентами, при этом степень числителя меньше степени знаменателя. В этом случае можно воспользоваться приёмом, иногда называемым теоремой разложения. Разберем этот метод. Пусть полином знаменателя в изображении Лапласа имеет в общем случае корень 1 s кратности r и различные корни 1 ,..., r n s s + , т.е. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 r r n P s P s F s Q s s s s s s s + = = − − − Тогда выражение в правой части можно разложить на простые дроби ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 n r r r r r n r n P s A A A A A s s s s s s s s s s s s s s s s + + + = + + + + + + − − − − − − − − , где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( 1, 2,..., ), ! ( 1,..., ). k r k r r k s s k k s s d s s F s k r r k ds A s s F s k r n − − = = − = − = − = + Обратное преобразование Лапласа от каждого слагаемого при таком разложении определяется как экспонента в соответствующей степени либо как подобная же экспонента, помноженная на t в целой положи- тельной степени по теореме об умножении на t. Пример 3.17. Найти обратное преобразование Лапласа от функции ( ) ( ) 2 2 3 3 2 s F s s s s + = + + Представим знаменатель в виде сомножителей и разложим выражение на простые дроби ( ) ( ) ( )( ) 3 1 2 4 2 2 2 2 3 3 1 2 1 2 3 2 A A A A s s F s s s s s s s s s s s + + = = = + + + + + + + + + . (3.3.25) Вычислим коэффициенты разложения А 1 , А 2 , А 3 , А 4 176 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 0 0 0 3 2 2 3 3 3 7 3 2 4 3 2 s s s s s s s d d s A s F s ds ds s s s s = = = + + − + + + = = = = − + + + + , ( ) ( )( ) 2 2 0 0 3 3 1 2 2 s s s A s F s s s = = + = = = + + , ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 3 1 2 2 s s s A s F s s s =− =− + = + = = + , ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 3 1 2 1 4 s s s A s F s s s =− =− + = + = = − + Подставив найденные коэффициенты в выражение (3.3.25), получим ( ) ( ) 2 7 3 2 1 4 2 1 4 2 F s s s s s = − + + − + + . (3.3.26) Проверить правильность разложения можно, приведя правую часть формулы (3.3.26) к общему знаменателю и сравнивая полученное выра- жение с исходной функцией. Осталось перейти к оригиналам каждого слагаемого в правой части выражения (3.33.26) ( ) ( ) 2 7 3 1 2 1 4 2 4 t t f t t e e t − − = − + + − Умножение на единичную ступенчатую функцию в последнем выра- жении означает, что искомая функция равна нулю при отрицательных моментах времени. 3.3.3. Преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения Свойства преобразования Лапласа, описанные в предыдущем подраз- деле, позволяют успешно применять преобразование Лапласа для реше- ния линейных стационарных (а в некоторых случаях и нестационарных) дифференциальных уравнений. Возьмём дифференциальное уравнение общего вида (3.1.10) 177 и применим к правой и левой частям этого уравнения преобразование Лапласа. В результате получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), A s Y s M s B s R s ⋅ − = ⋅ (3.3.27) где 1 0 1 1 ( ) n n n n A s a s a s a s a − − = + + + + , (3.3.28) -1 0 2 1 ( ) , n n n M s m s m s m − − = +…+ + (3.3.29) -1 0 1 -1 ( ) , m m m m B s b s b s b s b = + +…+ + (3.3.30) причём ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1 ( 2) ( 3) 2 0 1 2 ( 1) ( 2) 1 0 1 1 0 , 0 0 , (0) (0) (0), (0) (0) (0) . n n n n n n n n m a y m a y a y m a y a y a y m a y a y a y − − − − − − − − = = + = + +…+ = + +…+ ɺ (3.3.31) Разрешая уравнение (3.3.27) относительно Y(s)получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) н B s M s Y s R s W s R s W s A s A s = ⋅ + = + . (3.3.32) При нулевых начальных условиях второе слагаемое в правой части формулы (3.3.32), как легко видно из (3.3.29 ) и (3.3.31), равно нулю. По- этому строгое определение передаточной функции линейной системы, учитывая формулу (3.3.32), можно сформулировать так: передаточная функция системы ( ) W s есть отношение изображений по Лапласу выхо- да системы ( ) Y s к её входу ( ) R s при нулевых начальных условиях: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y s B s W s R s A s = = . (3.3.33) -1 -1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m n m a p a p a y t b p b p b r t + +…+ = + +…+ 178 Переходя в формуле (3.3.32 ) во временну́ю область и применяя тео- рему свёртки, получим ( ) н 0 ( ) ( ) ( ) t y t w t r d w t = − τ ⋅ τ τ + ∫ , (3.3.34) где ( ) ( ) 1 { } w t L W s − = – весовая функция системы, равная обратному пре- образованию Лапласа от передаточной функции, а ( ) ( ) 1 н н { } w t L W s − = Таким образом, мы получим общее решение уравнения (3.1.10), со- держащее n произвольных постоянных, роль которых выполняют значе- ния искомой функции y(0) и её 1 n − производных в начальный момент времени. Конкретная форма решения будет зависеть от того, каковы бу- дут корни характеристического уравнения (3.2.1) ( ) 0 A s = . Получение решения y(t) упрощается во многих частных, но широко распространённых в теории систем случаях, именно тогда, когда изобра- жение по Лапласу входного сигнала R(s) представляет дробно-рацио- нальную функцию: ( ) ( ) ( ) N s R s P s = , (3.3.35) где N(s) и P(s) – некоторые многочлены s. В этих случаях нет необходимости использовать интеграл свёртки и записывать решение в форме уравнения (3.3.34). Подставив соотношение (3.3.35 ) в уравнение (3.3.32), получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B s N s M s B s N s M s Y s A s P s A s D s A s ⋅ = ⋅ + = + Для перехода в область переменной t можно воспользоваться любым методом определения обратного преобразования Лапласа, например, тео- ремой разложения. Пример 3.18. Решить уравнение 179 2 2 3 2 3 d y dy dr y r dt dt dt + + = + , при ( ) если 0, 0 если 0, t t r t t ≥ = < и нулевых начальных условиях. Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, учитывая, что { } 2 1 L t s = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 2 3 s s Y s s s + + = + Решим полученное алгебраическое уравнение относительно Y(s) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 s Y s s s s + = + + Перейдём к оригиналу, используя результат примера 3.3.9 ( ) ( ) 2 7 3 1 2 1 4 2 4 t t y t t e e t − − = − + + − 3.3.4. Разложение произвольных функций по элементарным функциям Формулы (3.3.6) и (3.3.10) являются частными случаями более общей формулы ( ) ( ) ( , ) c y t Y k t d = λ ⋅ λ λ ∫ , (3.3.36) где интегрирование в случае действительной λ ведётся от -∞ до +∞, а в случае комплексной λ – по контуру в комплексной плоскости так, чтобы интеграл (3.3.36) сходился; ( , ) k t λ представляет собой семейство элемен- тарных функций, по которым раскладывается y(t), а спектральная функ- ция Y(λ) служит мерой относительного влияния элементарных функций, составляющих y(t) [10]. 180 Для преобразования Фурье ( , ) 2 j t k t e λ λ = π при t −∞ < < +∞ , где λ – действительная переменная, то есть формула (3.3.6) представляет собой разложение функции y(t) по гармоническим составляющим. Для одностороннего преобразования Лапласа ( , ) 2 j t k t e j λ λ = π при 0< t<∞(переменная λ здесь является комплексной). Чтобы уравнение (3.3.36) было полезным, нужно уметь находить Y(λ) для произвольной функции y(t). Поскольку уравнение (3.3.36) линейно, можно полагать, что Y(λ) найдётся в следующем виде: 1 ( ) ( ) ( , ) Y y t k t dt ∞ − −∞ λ = λ ∫ , (3.3.37) где функция 1 ( , ) k t − λ известна как обратное преобразование от ( , ) k t λ . Соотношение между функциями 1 ( , ) k t − λ и ( , ) k t λ можно получить, воспользовавшись свойствами дельта-функции. Действительно, положив в формуле (3.3.37) ( ) ( ) y t t = δ − τ , получим ( ) 1 1 ( ) ( , ) ( , ). Y t k t dt k ∞ − − −∞ λ = δ − τ λ = λ τ ∫ Подставляя полученное выражение в формулу (3.3.36), имеем ( ) 1 ( , ) ( , ) c t k k t d − δ − τ = λ τ λ λ ∫ (3.3.38) Соотношение (3.3.38) устанавливает связь функций 1 ( , ) k t − λ и ( , ) k t λ . 181 Например, для одностороннего преобразование Лапласа функция 1 ( , ) k t − λ равна t e −λ при t>0и нулю при 0 t ≤ (сравни формулу преобразо- вания Лапласа (3.3.9) и формулу (3.3.37)). Выражение (3.3.37) носит название интегрального преобразования функции y(t)в общем виде. Задавая конкретные функции 1 ( , ) k t − λ , полу- чаем различные интегральные преобразования. 3.3.5. Преобразование Меллина Наиболее близким по форме к преобразованию Лапласа является пре- образование Меллина [12] ( ) ( ) 1 0 s F s f t t dt ∞ − = ⋅ ∫ , (3.3.39) ( ) ( ) 1 2 c j s c j f t F s t ds j + ∞ − − ∞ = π ∫ , (3.3.40) где s c jw = + Это преобразование тесно связано с преобразованиями Фурье и Лапласа, и теоремы, относящиеся к преобразованию Меллина, могут быть получены из соответствующих теорем, например, для преобразова- ния Лапласа, путём замены переменной. Например, аналогом теоремы свёртки в теории преобразования Мел- лина является следующая формула ( ) 1 0 0 ( ) ( ) s t d F s G s t dt f g ∞ ∞ − τ ⋅ = τ τ τ ∫ ∫ Из последней формулы легко получить аналоги равенства Парсеваля: ( ) 0 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 j j F s G s ds f t g t dt j τ+ ∞ ∞ τ− ∞ ⋅ − = π ∫ ∫ , 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 j j F s G s ds f t g dt j t τ+ ∞ ∞ τ− ∞ ⋅ = π ∫ ∫ 182 Преобразование Меллина можно успешно применять к решению определённого класса плоских гармонических задач в секториальной об- ласти, задач теории упругости, при изучении специальных функций, суммировании рядов и вычислений интегралов. 3.3.6. Преобразования Бесселя Преобразования Бесселя [12] объединяют целый класс преобразова- ний общего вида ( ) 0 ( ) ( ) , f f t K t dt ∞ ∗ λ = ⋅ λ ∫ где K(z) – функция Бесселя. Функции Бесселя относятся к цилиндрическим функциям и задаются формулами: – функция Бесселя первого рода ν-го порядка ( ) ( ) 2 0 1 2 ( ) ! 1 k k k x J x k k ν+ ∞ ν = − = Γ ν + + ∑ , где 0 ( ) t t e t dt ∞ − ν− Γ ν = ∫ – гамма функция Эйлера; – функция Бесселя второго рода ν-го порядка cos ( ) ( ) ( ) sin J x J x Y x ν −ν ν πν − = πν К преобразованиям Бесселя относятся преобразование Ханкеля, Вебе- ра, Мейера, Конторовича – Лебедева и ряд других преобразований. 3.3.7. Преобразование Гильберта Возьмём разложение функции ( ) f t по гармоническим функциям 183 ( ) 0 ( ) ( )cos ( )sin f t a t b t d ∞ = ω ω + ω ω ω ∫ , (3.3.41) где 1 ( ) ( ) cos a f t tdt ∞ −∞ ω = ω π ∫ , 1 ( ) ( )sin b f t tdt ∞ −∞ ω = ω π ∫ Положим ( ) ( ) 0 0 1 ( ) ( ) cos ( )sin sin ( ) g t b t a t d d t f d ∞ ∞ ∞ −∞ = ω ω − ω ω ω = ω τ − ω⋅ τ τ π ∫ ∫ ∫ . (3.3.42) Интеграл в правой части выражения (3.3.42) называется сопряженным к интегралу Фурье и получается формальной заменой в (3.3.41) a на b и b на a − . Из (3.3.42) имеем ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 cos 1 1 ( ) lim sin ( ) lim ( ) 1 1 cos lim l l l l l t g t d t f d f d t l f t f t d ∞ ∞ →∞ →∞ −∞ −∞ ∞ →∞ − τ − = ω τ − ω⋅ τ τ = τ τ = π π τ − − θ = + θ − − θ θ π θ ∫ ∫ ∫ ∫ Применяя теорему Римана – Лебега, окончательно получаем ( ) ( ) 0 1 ( ) f t f t g t d ∞ + τ − − τ = τ π τ ∫ . (3.3.43) Аналогично можно получить выражение для ( ) f t ( ) ( ) 0 1 ( ) g t g t f t d ∞ + τ − − τ = − τ π τ ∫ (3.3.44) Формулы (3.3.43) и (3.3.44) эквивалентны выражениям: ( ) ( ) 0 1 ( ) 1 ( ) V.P. lim , f x t f x t f t g x dt dt t x t ∞ ∞ ε→ −∞ ε + − − = = π − π ∫ ∫ 184 ( ) ( ) 0 1 ( ) 1 ( ) V.P. lim , g x t g x t g t f x dt dt t x t ∞ ∞ ε→ −∞ ε + − − = = − π − π ∫ ∫ где символ V.P. означает главное значение интеграла в смысле Коши. Две последние формулы и представляют собой пару преобразований Гильберта. 3.3.8. Преобразование Лагерра Примером преобразования, переводящего функцию непрерывного времени в функцию дискретного переменного, является преобразование Лагерра { } ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 ( ) , 0,1,2,... t n T f t f n f t L t e dt n ∞ − = = ⋅ = ∫ , (3.3.45) где L n ( t)− многочлены Лаггера n-го порядка, определяемые формулой ( ) ( ) ! t n n t n n e d L t t e n dt − = ⋅ Обратное преобразование задается в форме бесконечного ряда ( ) ( ) ( ) * 0 n n f t f n L t ∞ = = ⋅ ∑ . (3.3.46) Преобразование Лагерра применяется для решения дифференциально- го уравнения Лагерра 0 x nx + = L L L L , где ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x t t x t t x t ′′ ′ = + − L L L L . Преобразование Лагерра сводит дифференциальную операцию x L L L L к алгебраической по формуле ( ) { } ( ) ( ) , 0,1,2,... T x t nx n n ∗ = − = L L L L . |