Математические задачи. Проект. Математические задачи вчера, сегодня, завтра
 Скачать 1.29 Mb.
|
|
МБОУ СОШ№ Информационно-познавательный проект на тему: «Математические задачи: вчера, сегодня, завтра» Выполнила: ученица 7 класса Руководитель: учитель математики Володченко Л.Н. Челябинск, 2019 г. СодержаниеВВЕДЕНИЕТема моего проекта – математические задачи: вчера, сегодня, завтра. Поясню, почему я выбрала эту тему. Однажды, в соц. сетях, мне подруга прислала задачку: «У фермера было 17 овец, и все, кроме девяти, умерли. Сколько овец осталось у фермера?» Смешная задача. Уровень начального класса. Первая идея – восемь овец. Ведь было 17, фигурирует число 9, потом вопрос – сколько осталось? А вот и нет. Ответ задачи прямо в условии. Ведь там так и сказано – кроме девяти, умерли. Значит, и осталось 9. А кажется, что 8. Я заинтересовалась задачами математики, и оказалось, что это намного интереснее и занимательнее, чем я себе представляла. Возникает вопрос: а когда появились такие задачи? Они всегда были или возникли в последнее время? И какими задачами занимались раньше? А какие задачи остаются нерешенными с древних времен и по сей день? И вообще, есть ли нерешенные задачи. Этим и обосновывается выбор темы моего исследовательского проекта – математические задачи: вчера, сегодня, завтра. Цель моей работы – отразить эволюцию развития математических задач от времен Пифагора до настоящего момента и сделать попытку заглянуть в будущее. Проектный продукт выполнен в виде информационного сообщения, содержащего много интересных фактов и примеров. В ходе выполнения работы, я придерживалась плана, который мне написала мой руководитель – с января по март. Работу над проектом разделили на несколько основных этапов. Первый – был уже упомянут, это определение темы и целей исследовательского проекта. Длился 10 дней. Второй – основной – сбор и систематизация информации, необходимой для написания проекта, длился 6 недель. И заключительный этап – оформление информационно-познавательного проекта в виде отчета, презентации и раздаточного материала – длился неделю. Оказалось, что информации по выбранной теме достаточно много. В библиотеке нашлось несколько книг о великих древних математиках, в которых рассказывалось об их жизни и о задачах, которые были актуальными на тот момент. Так же в библиотеке нашлись и современные журналы с научными статьями о задачах, которые решаются сейчас и тех задачах, которые нужно будет решать в будущем. Помимо использования книг и журналов в библиотеке, я искала материал и в сети Интернет. Чтобы не упустить ни одну книгу или статью, используемую в написании проекта, я все тщательно записывала, в результате сформировался библиографический список, который размещен в конце работы. ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ И СРЕДНЕВЕКОВЬЯ1.1 Зарождение математики – задачи древнего Вавилона и ЕгиптаЯ начала свою работу с того, что искала ответ на вопрос: Откуда вообще в нашу жизнь влилась математика? Ответ на этот вопрос достаточно простой – с появлением человечества. Еще в самые далекие времена счет считался математической деятельностью. Он был просто необходим, к примеру, чтобы заниматься торговлей или даже скотоводством, ведь даже выгуливая скот на пастбище, необходимо было следить за их количеством. Чтобы было легче справляться с данной задачей, использовались части тела, например, пальцы на руках и ногах. Тому подтверждением являются наскальные рисунки, изображающие числа, в виде изображенных в ряд нескольких пальцев. Иные факты подтверждают появление математики и счета1. Самые древние дошедшие до нас математические документы – это хозяйственные записи вавилонян. Источником наших познаний о вавилонской цивилизации являются глиняные таблички, которые датируются от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э. Эти таблички покрыты различными клинописными текстами и очень хорошо сохранились до наших дней. Исходя из того, что написано в этих документах, можно с уверенностью сказать, что математика во всех ее представлениях была очень хорошо развита на то время в Вавилоне.  Рисунок 1 - Вавилонская глиняная табличка (около 1800 г. до н.э.)2 В основном математика у вавилонцев была связана с бытом и ведением хозяйства. Арифметика и даже простая алгебра использовалась при расчете товаров, обмене денег, вычитании процентов как простых, так и сложных. Огромное количество задач возникло при строительстве зернохранилищ, каналов и других полезных сооружений. Еще одной из главных задач математики в Вавилоне было составление календаря. Календарь – это очень важный элемент этой цивилизации, так как именно на него опирались вавилонцы, создавая график сельскохозяйственных работ, а также празднуя религиозные праздники. Вавилонская расчетная техника была намного более совершенной в отличие от египетской, и, соответственно, спектр решаемых задач был шире. Еще за почти 2000 лет до н.э. в Вавилоне были созданы таблицы умножения, таблицы квадратных и кубических корней, квадратов последовательных цельных чисел, сумм кубов и квадратов, использовались правила суммирования прогрессий, в задачах применялись пропорции, проценты и прочее. Документальным свидетельством высокой вычислительной культуры служит и высказывание ассирийского царя Ашшурбанипала (VII в. до н. э.): «Я совершаю запутаннейшие деления и умножения...»3 Приведем пример задачи древнего Вавилона Задача о делении прямого угла Разделить прямой угол на три равные части. Решение: Для любого школьника такая задача покажется элементарной. Ведь у нас есть линейки, транспортиры, циркули. А в древнем Вавилоне этого не было, и задачу решали следующим образом. Пусть требуется разделить прямой угол ABC (рис. 2) на три равные части. Для этого древние вавилоняне на отрезке BD стороны ВА строили равносторонний треугольник BED.  Рисунок 2 – Иллюстрация к задаче о делении прямого угла Тогда угол СВЕ будет составлять одну треть данного прямого угла. Остается только разделить пополам угол DBE, и задача будет решена. Данные задания помогли сформулировать множество предположений, которые в дальнейшем нашли свои доказательства. Были сформулированы предположения и движении Луны и Солнца. Исходя из вышесказанного, можно с уверенностью сказать, что вавилонская математика очень быстро развивалась и стремительно совершенствовалась4. Рассмотрим математику в древнем Египте. Первые математические древнеегипетские рукописи датированы началом II тысячелетия до н. э. в то время математика решала чисто практические цели для таких наук и сфер жизни как: астрономия, мореплавание, землемерие, которое греки потом назвали известным нам словом «геометрия». Использовалась математика Древнего Египта также при строительстве дамб, плотин, каналов. В Древнем Египте (с 2040 по 1078 годы до н.э.) был написан труд древнеегипетского математика Ахмеса (известного еще как папирус Ринда). Папирус имеет размер 5,25 м × 33 см и содержит 84 задачи. В настоящее время его первая часть хранится в Британском музее (Лондон), вторая в Нью-Йорке Манускрипт, содержащий 84 задачи. Из этого сборника задача человечество узнало о том, что математика в Древнем Египте достигла высокого уровня и древнеегипетские математики умели5:
Все задачи имели практический характер и относились к строительству, размежеванию земельных наделов. Рассмотрим несколько задач из этого папируса. Наставление, как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры. Решение: 10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1/8 и получает, что 10-й член прогрессии равен:  Задача о хлебе Сколько хлебов и сколько кувшинов пива можно получить с одной меры зерна, если из 15 мер получается 200 хлебов 10 кувшинов пива при условии, что выход пива составляет 1/10 выхода хлеба! Решение: Изначально задача кажется очень запутанной. Но разобравшись с условием, она легко решается. Так как из 15 мер зерна получается 200 хлебов и 10 кувшинов пива, то из этого зерна выйдет только 30 кувшинов пива, а потому из одной меры выход пива составит 20 кувшинов, тогда хлебов получится 20. Около пяти тысяч лет назад при фараоне Джосере был признан богом мудрости великий врачеватель, государственный деятель и первый известный нам по имени математик Имхотеп. Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмов или на папирусах. Еще 4 тыс. лет назад они решали практические задачи по арифметике, алгебре и геометрии, причем в арифметике пользовались не только целыми числами, но и дробями. Высшим достижением египетской математики является точное вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием. 1.2 Задачи древней ГрецииЕсли от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицы, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории науки относится к VI— V вв. до н. э. Один из древнейших мифов содержит сказание о суде троянского царевича Париса6. Однажды на свадьбе богиня раздора Эрида подбросила собравшимся гостям яблоко с надписью «прекраснейшей». Из-за этого яблока возник спор между богиней мудрости и справедливой войны Афиной, богиней любви и красоты Афродитой и сестрой и супругой Зевса Герой. Они обратились к царю и отцу богов и людей Зевсу, чтобы он решил, кому должно достаться яблоко. Зевс отправил богинь на гору к Парису, который пас там свои стада. Парис должен был решить, какая из богинь самая прекрасная. Каждая из богинь старалась склонить юношу на свою сторону: Афина предлагала ему мудрость и военную славу, Афродита — красивейшую женщину на земле в жены. Гера — власть и богатство. Как Парис определил прекраснейшую из богинь, можно узнать, решив старинную задачу. Задача «Суд Париса» Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения: Афродита. Я самая прекрасная. (1) Афина. Афродита не самая прекрасная. (2) Гера. Я самая прекрасная. (3) Афродита. Гера не самая прекрасная. (4) Афина. Я самая прекрасная. (5) Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь? Решение: Пусть Парис предположил, что Афина изрекла истину. Тогда она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, так как Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Таким образом, исходное предположение ложно. Если Парис предположит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (2) ложно. Мы снова приходим к противоречию, так как Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера. И это исходное предположение ложно. Если Парис, наконец, предположит, что Афродита изрекла истину, то Афродита — прекраснейшая из богинь. Отрицания утверждений (2), (3) и (5) истинны и показывают, что Афродита — прекраснейшая из богинь. Итак, по «суду Париса» прекраснейшей из богинь является Афродита. Еще одна интересная задача так же связана с мифом древней Греции В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Финикию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нумидийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген. Так сформулировалась задача Дидоны Задача Дидоны Участок земли какой формы окружила Дидона веревкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь? Решение: Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную площадь имеет круг. Это замечательное свойство круга было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшейся веревкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря. Но помимо мифов и амфитеатров в древней Греции очень развивались и точные науки. Первое построение геометрии как дедуктивной науки принадлежит Пифагору Самосскому (ок. 570—ок. 500 до н. э.) — древнегреческому математику и философу. В молодости Пифагор путешествовал по Египту и Вавилону, изучая мудрость жрецов. Около 530 г. до н. э. он переехал в Кротон (Южная Италия), где основал знаменитый пифагорейский союз (школу). Деятельность союза была окружена тайной. В школе Пифагора процветала числовая мистика. Пифагор учил, что «число есть сущность всех вещей». Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). В их школе возникло представление о шарообразности Земли7. В III в. до н. э. древнегреческая геометрия достигла своего апогея в работах знаменитого математика Евклида, написавшего 13 книг, объединенных общим названием «Начала». В трудах Евклида логическая сторона геометрии была доведена до очень высокого уровня. Рассказывают, что однажды, когда царь Птолемей I Сотер (ум. 283 до н. э.) спросил Евклида: «Нет ли в геометрии более короткого пути, чем штудирование «Начал»?», Евклид с гордостью ответил: «В геометрии нет царского пути». Ответ Евклида имел двойной смысл, так как в Египте были две системы дорог: первая для царя и его курьеров, вторая для всего населения. В другой раз один из начинающих учеников Евклида, выучив первое предложение, спросил: «А что я могу заработать, выучив все «Начала»?» Евклид позвал своего раба и сказал: «Дай ему три обола, так как бедняжка хочет заработать деньги своим учением» (обол — мелкая серебряная монета в Древней Греции) Древнегреческий ученый Архимед8 (ок. 287—212 до н. э.) принадлежит к числу тех немногих гениев, творчество которых определило на долгие века судьбу науки, а тем самым и судьбу человечества. Родиной Архимеда был богатый торговый город Сиракузы в Сицилии. Отец Архимеда Фидий был астрономом и рано привил сыну любовь к математике, механике и астрономии. После поездки в Александрию, культурный и научный центр того времени, Архимед возвратился в Сиракузы и до конца жизни переписывался с александрийскими учеными. Жизнь Архимеда овеяна легендами. Согласно одной из них он в течение двух лет был душой обороны Сиракуз от римских полчищ, блокировавших город с суши и моря Архимед изобрел Архимед знаменитый «архимедов винт» и «архимедов рычаг», открыл закон гидростатики (закон Архимеда) Математические работы Архимеда подкупают читателя ясностью мысли, изяществом доведенной до совершенства техникой вычислений. Известный греческий историк Плутарх (ок. 46—126 н. э.) пишет: «Во всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед». Архимеду принадлежит целый ряд классических сочинений по математике, в которых он предвосхитил методы высшей математики XVII в. Работы древнегреческого математика и механика Герона Александрийского9 (I в. н. э.) являются энциклопедией античной прикладной математики. С именем Герона связаны формулы для определения площади треугольника по трем сторонам, правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней и пр. Задача о бассейнах Герона Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй — за 2 дня, третий — за 3 дня и четвертый — за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе? Решение: Скорость заполнения бассейна первым источником – 1 бассейн в день, вторым – 1/2 бассейна в день, третьим – 1/3 и четвертым – 1/4. Сообща источники заполнят за день  бассейнаОдин бассейн источники, работая сообща, заполнят за  дняДиофант Александрийский10 (II—III вв. н. э.) был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел. О жизни Диофанта известно очень мало. В Палатинской антологии сохранилась эпитафия, из которой «мудрым искусством» мы узнаем отдельные факты из жизни ученого и ее продолжительность. 1.3 Занимательные задачи средневековьяВ X в. образовался арабский халифат, простиравшийся от Испании до Индии. Главным научным центром арабского халифата был Багдад. Крупнейшие ученые средневековья — Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми, Сабит ибн Корра ал-Харани, Абу Али Ибн Сина (Авиценна), Абу-р-Райхан ал-Бируни, Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим Хайям, Насирэддин ат-Туси, Джемшид Гияс ад-Дин ал-Каши — писали свои математические сочинения в основном на арабском языке. Многие достижения арабской математики связаны с исследованиями в астрономии. В частности, были разработаны вычислительно-алгоритмические проблемы и методы11. Значительных успехов достигли арифметика и геометрия. Алгебра и тригонометрия впервые сформировались в самостоятельные науки. А употребляемые нами такие термины, как «арабские цифры», «корень», «алгебра», «алгоритм», «синус», напоминают о влиянии науки стран ислама. Большинство названий звезд и астрономические термины имеют также арабское происхождение Знаменитый физик, математик и астроном средневекового Востока Сабит ибн Корра ал-Харани (836—901) был автором около 100 работ. Он дал комментарий к собственному переводу «Начал» Евклида, познакомил арабских математиков с сочинениями Архимеда о правильном семиугольнике. Крупнейший математик и астроном средневекового Востока Абу-л-Вафа (940—998) написал оригинальные сочинения «Книга о том, что нужно знать писцам, дельцам и другим в науке арифметики», «Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений» и др. Абу-л-Вафа комментировал сочинения Евклида, Диофанта, Птолемея и ал-Хорезми. Его многочисленные труды по арифметике, геометрии, алгебре, тригонометрии и астрономии сыграли огромную роль в истории науки12. Задача Абу-л-Вафы Два из трех равновеликих квадратов разрезать на 8 частей так, чтобы из них и из третьего равновеликого квадрата можно было составить квадрат. Решение: Приведем понятное и графическое решение задачи на рисунке 3  Рисунок 3 – Решение задачи Абу-л-Вафы Крупнейший математик и астроном Джемшид Гияс ад-Дин ал-Каши (г. рожд. неизв.— ок. 1436—1437) был одним из руководителей Самаркандской обсерватории Улугбека. Ал-Каши — автор многих сочинений по астрономии, в том числе «Хаканские астрономические таблицы», «Лестница небес», «Прогулка по садам». Математике ал-Каши посвятил замечательные произведения: «Ключ арифметики», «Трактат об окружности», «О хорде и синусе» Он впервые изложил и мастерски применил теорию десятичных дробей. Но в это же время в Европе так же происходило развитие математики. В середине I тыс. в Европе феодализм пришел на смену рабовладельческому строю. Возникают и укрепляются монархии. Христианство превращается в государственную религию. Центрами распространения знаний и просвещения сначала были монастыри, а позднее университеты. Общим языком ученых становится латынь. Постепенный прогресс культуры и науки в средние века связан с развитием ремесла, производства, торговли. Творения романской и готической архитектуры украсили развивающиеся города. Духовный мир эпохи нашел яркое выражение в поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери (1265—1321). В эпоху Возрождения (XV—XVI вв.) в Европе появляется компас, порох, часы, бумага, книгопечатание. Были созданы художественные шедевры эпохи Возрождения. Рост торговли и мореплавания привели к великим географическим открытиям. Повысилась роль математики. Если в начале средних веков математики в основном занимались астрологией и преследовались как колдуны и чернокнижники, то теперь они становятся в центре внимания. На смену математики постоянных величин пришел период переменных величин. Понятие функции стало главным предметом исследования. На первом этапе математической революции XVII в. была создана аналитическая геометрия. Особенно интенсивно развивался анализ бесконечно малых. Появление проективной геометрии и теории вероятностей предвещало большое будущее в их развитии. Великий художник и ученый эпохи Реформации в Германии Альбрехт Дюрер (1471 —1528) специально для художников написал трактаты: «Наставление об измерении с помощью циркуля и линейки» и «О человеческой пропорции». Дюрер много занимался геометрическими построениями, заложил основы ортогонального проектирования, дал правила перспективных построений, составлял магические квадраты13. Задача Альбрехта Дюрера Построить магический квадрат 4×4 для натуральных чисел от 1 до 16, чтобы два числа в нижних средних клетках указы36 вали на год создания талисмана (1514), а сумма чисел угловых клеток квадрата и сумма чисел четырех центральных клеток образовывали магическую сумму. Решение: Дюрер поместил свой магический квадрат (рис. 4) на знаменитой гравюре «Меланхолия». Числа 15 и 14, стоящие в нижней строке квадрата, указыва ют на год создания гравюры.  Гравюра «Меланхолия» (рис. 5) напоминает философский Трактат и полна сложной символики. Само понятие «меланхолия» заимствовано из созданного еще античными философами учения о четырех темпераментах.  Рисунок 5 - Альбрехт Дюрер. Меланхолия Люди с меланхолическим темпераментом склонны к наукам, размышлению, искусству. В эпоху Возрождения меланхолический темперамент связывали с представлением о гениальности. В своей интерпретации меланхолии Дюрер опирается на учение гуманистов XV в. Его меланхолия, несомненно, находится под знаком Сатурна. Об этом свидетельствует изображенный на стене здания магический квадрат, который должен, видимо, играть роль талисмана, предохраняющего от дурного влияния несчастливой планеты, и усилить воздействие планеты Юпитер. Заметим, наконец, что многие исследователи видят в «Меланхолии» духовный автопортрет самого художника. Позднее было доказано, что для n=4 существует 880 магических квадратов. А для n≥5 пока неизвестно общее число магических квадратов. В XVIII столетии дифференциальное и интегральное исчисление продвинулось далеко вперед, усилия ученых направлялись на создание новых отделов математического анализа и его приложений в механике. Научная деятельность крупнейших математиков сосредоточилась в прославленных академиях в Париже, Петербурге и Берлине. Дальнейшее расширение и углубление предмета математики привело в начале XIX в. к современному периоду ее развития. ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ СЕГОДНЯ2.1 Математика в нашей жизниУже было сказано, что мы ежечасно сталкиваемся в повседневной жизни с задачами. Даже самые простые расчеты человек делает, не задумываясь о том, что применяет математику: он определяет время на часах, выполняет денежные расчеты или рассчитывает пробег автомобиля, готовит блюдо по рецепту или получает отметку в школе, и т.д. Мы встречаемся с математикой всюду: в школе, на улице, в магазине, дома. Занятия математикой развивают человека как личность, делают целеустремленным, активным, самостоятельным, трудолюбивым, упорным и терпеливым. Математика тренирует, такие умственные качества, которые формируют каркас и скелет всего вашего мышления! Это, в первую очередь, логические способности. А без логики в голове человек не способен делать верные логические выводы, он теряет способность к здравому анализу и рассуждению. Такого человека легко вводить в заблуждение, что часто и происходит. Нам известен плачевный опыт с финансовыми пирамидами в нашей стране. Это, как раз, и говорит о том, что многие считают, что математика им не нужна. Знание математики не позволяет нас обмануть! Так что это не только расчеты и формулы, это, прежде всего, логика и упорядоченность! Это набор правил и функций, которые делают наше мышление последовательным и логичным. Это отражается на нашем умении рассуждать, формулировать мысли, удерживать в голове сложные концепции и выстраивать взаимосвязи. В предыдущей главе были рассмотрены задачи, которые решали в древние и средние века. Задачи, которые решаются на данный момент намного разнообразнее. Некоторые задачи направлены на развитие логического мышления, некоторые – на точность, некоторые – наоборот на развитие абстрактного мышления. Приведу интересный факт. Когда я подхожу к родителям с просьбой помочь мне разобраться с задачей, то чаще всего получаю в качестве ответа изумленное лицо родителей и один и тот же вопрос: «Как это можно решить? Вот в наше время…» Это еще раз говорит о том, что с развитием науки меняются и решаемые задачи. Рассмотрим несколько интересных задач. Они вроде не сложные, но, тем не менее, не все так просто в них, нужна внимательность и сосредоточенность. Задача «Спуск со скалы» Вы находитесь на верху скалы высотой 100 метров. Из скалы растут два дерева, одно из которых растет вверху скалы у самого ее обрыва, второе - из стены скалы на высоте 50 метров на которое при спуске можно сесть. У Вас есть веревка длиной 75 метров и нож, для того чтобы эту веревку разрезать. Каким образом в данной ситуации можно осуществить спуск со скалы. Длину веревки, необходимую для завязывания узлов можно не учитывать14. Решение: Разрезаем веревку на две части 25 и 50 метров. 25-ти метровую веревку одним концом привязываем к верхнему дереву, а на другом конце делаем узел с маленькой петлей, через которую до половины пропускаем 50-ти метровую веревку и слаживаем ее вдвое. По этим двум веревкам (одинарной 25-ти метровой и сложенной пополам 50-ти метровой) спускаемся на нижнее дерево, и за один конец вытягиваем из петли 50-ти метровую веревку, перевязываемся и спускаемся по ней на землю. Эта задача направлена на развитие логики и внимательности. А вот следующая задача направлена на развитие абстрактного мышления и очень часто встречается на олимпиадах. Задача «Переправа солдат» Отделение солдат вышло к берегу реки. На ее противоположный берег запланировано было перебраться через существующий мост, но в связи с ремонтом он оказался закрытым для перехода. Вблизи моста с лодки рыбачили двое мальчишек, которые с радостью согласились помочь солдатам в переправе. Однако их лодка была настолько мала, что могла удержать на плаву либо одного солдата, либо их самих. Но эта проблема сразу разрешилась, и солдаты благополучно осуществили переправу при помощи этой же лодки. Каким образом переправа осуществилась? Решение: Один мальчик высаживает другого на противоположном берегу и плывет к солдатам. Солдат садится в лодку и один переплывает на противоположный берег к мальчику, который обратно доставляет лодку к солдатам и своему товарищу. Оба мальчика снова плывут к противоположному берегу, на котором один из них высаживается, а другой возвращается к солдатам для переправы следующего солдата… Как видно из приведенных выше примеров на данный момент существует огромное количество математических задач, направленных на развитие разнообразных способностей детей. 2.2 Задачи, не решенные в настоящее время8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным. По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems: 1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году) Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения. Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных. 2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году) Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета. 3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году) Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным. 4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году) В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов. 5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году) Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов. 6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году) Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Это единственная задача, которую решили. За нее в 2006 году присудили Филдсовскую премию российскому математику Григорию Перельману, однако тот отказался принять награду. 7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году) Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц15. Таким образом, на данный момент есть математические задачи, которые еще не научились решать. Это говорит о том, что нам есть куда расти и развиваться. Очень примечательно, что именно наша страна славиться своими выдающимися математиками. Интересен и тот факт, что многие наши молодые ученые не остаются на Родине. Но это уже абсолютно другая тема исследовательского проекта. Возвращаясь к моей настоящей теме, попробуем заглянуть в будущее и предположить, какие задачи будут решаться, возможно, нашими детьми. ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ БУДУЩЕГОБолее 100 лет назад Давид Гильберт рассуждал о том, что каждому из нас очень интересно приподнять завесу истории и узнать, что нас ожидает в будущем. В начале прошлого столетия американцы провели обширные исследования в области перспективных технологий. Результаты были ошеломляющие, но там не было представлений ни о лазерах, ни о реактивных самолетах, ни о телевидении. Значит, предсказать будущее не так-то просто. Давным давно считалось, что человек не может покинуть землю. Народная мудрость гласит о том, что чем выше залезешь, тем больнее будет падать и тем ниже упадешь. Сегодня мы считаем, что это не совсем так, потому что мы знаем о космических скоростях. И, рассуждая о будущем сегодня, наверное, не стоит что либо отрицать, ведь невозможное сегодня, станет возможным завтра. Этот вывод можно связать с судьбой каждого человека и с любой наукой, в том числе с математикой. Эвклид своим пятым постулатом в геометрии утверждал, что через точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, можно провести единственную прямую параллельную данной. А теория Лобачевского опровергает это. Согласно ему, по крайней мере, две такие прямые да существуют16. Все меняется, на смену старым теориям приходят новые, взамен старых технологий появляются новые. Так компьютеры изменили мир математики, а значит, изменили и наше мышление, и наше образование, и, в целом, мировоззрение. Ученые продолжают предсказывать наше будущее с большой уверенностью. -Предполагается, что уже к 2050 году будет создан лифт, способный переносить людей в открытый космос, причем не только астронавтов, но и туристов. Средство передвижения будет на солнечных батареях и с тросом длиной сто тысяч километров17. -Роботы смогут заменить людей во всех сферах деятельности, начиная от заводов и фабрик, заканчивая вождением автомобиля. -Будет решена одна из самых глобальных проблем в медицине- проблема донорства. -К 2025 году исследователи предсказывают появление возможности записать ДНК на электронный носитель. По всей планете будут установлены микрочипы, которые смогут диагностировать состояние организма людей круглосуточно. -Ученые мечтают возродить динозавров и неандертальцев. -Гаджеты, ноутбуки и другие устройства потеряют весомый смысл. Мир станет буквально окутанным электронными импульсами, позволяющие людям выйти в интернет при помощи, например, обыкновенных контактных линз и даже создавать собственную виртуальную реальность. -Люди начнут общаться не произнося ни звука, с помощью мыслей. На сегодняшний день уже существуют подобные прототипы, созданные специально для людей с дефектами слуха и речи. –По предсказаниям экспертов, к 2030 году летающие транспортные средства станут такими же распространенными, как и обычные машины. -Появится одно большое государство, напоминающее США или бывший Советский Союз. Такие изменения уничтожат терроризм и снизят риск возникновения кризисов. Так это будет или иначе, время покажет, но, безусловно, прогноз будущего очень важен. И, чтобы этот прогноз был более точен, ученые пытаются создать новую науку - некий гибрид истории и математики, т.е. они пытаются смоделировать историю математическими методами, чтобы знать будущее. Зачем это надо? Дело в том, что человечество сейчас обладает огромным могуществом, и, если оно сделает что-то неверно, это может привести к катастрофе не только его, но и всей планеты. Поэтому мы не можем и дальше учиться методом проб и ошибок. Нужно заранее знать, к чему приведет каждый шаг. Заглянуть в это будущее должен помочь союз математики и истории. Известно, что самые разные, вроде бы совсем далекие друг от друга процессы, например, в химии, биологии, социологии, астрономии, энергетике описываются одними и теми же уравнениями. Поэтому, увидев определенные аналогии, математик может подсказать историку, как строить модель событий. История развивается циклами. Социологи утверждают, что его длительность 20 лет, т.е. механизмы событий и их закономерности повторяются. Значит, чтобы узнать, что произойдет в ближайшее время, надо посмотреть на 20 лет назад. А, что происходит сейчас-прогноз будущего через 20 лет. Чтобы с помощью математических моделей заглядывать в будущее, надо найти в прошлом период, примерно аналогичный нынешнему. И имея для него математическую модель, проиграть на ней самые разные варианты событий, в зависимости от разных факторов. Тогда можно выбирать тот путь развития, который представляется оптимальным. Вывод выстраивается сам собой, решение математических задач – важнейший школьный навык, который не только всесторонне развивает личность, но и закладывает перспективу на всю будущую жизнь. Ум человека универсален, но всему есть свои пределы. Каждый в силу особенностей своих врожденных и приобретенных свойств мышления имеет определенные склонности к освоению разных наук. К тому же специализация чаще всего требует знания чего-то одного: сложно быть отличным математиком, химиком, адвокатом, педагогом одновременно (не всем же быть Ломоносовым). Всегда придется из чего-то выбирать. Но базовыми навыками математического мышления способен овладеть каждый! Для кого-то это просто будет сложнее, для кого-то легче. Но это под силу всем. И, как уже было сказано, это нужно для сбалансированного развития нашего ума. Так что же нас ждет в будущем? Это зависит от нас самих. Как мы относимся к жизни сегодня, как кирпичик за кирпичиком выкладываем наши знания об окружающем нас мире, развиваем себя, как личность, так и закладываем фундамент нашего будущего. И, как выясняется, очень многое зависит от того, как мы в жизни применяем умение решать различные математические задачи. ЗАКЛЮЧЕНИЕИтак, я закончила свой информационно-познавательный проект, целью которого было исследование решения задач от древности до будущего. На мой взгляд, проделана большая работа, в ходе которой я узнала много интересного и нового. В древности математические задачи носили в основном прикладной характер, в средние века – ситуация поменялась, задачи уже строились не только из жизненных ситуаций, но и «обросли» хорошей теоретической базой. В современном мире произошел резкий прорыв с тех пор, как были разработаны компьютеры и иная вычислительная техника. Значительно и усложнились решаемые задачи. Закончив свой проект, я могу сказать, что не все из того, что было задумано, получилось, например, я не смогла привести примеры конкретных задач в будущем. Хотя в каждом пункте работы были примеры конкретных математических задач с решениями. Математика – это точная наука, поэтому, на мой взгляд, в каждом пункте работы должны быть приведены конкретные задачи и их решения. Но этот принцип не сработал в последней главе работы. Я думаю, что это произошло потому, что я не экстрасенс и заглянуть в будущее и сказать, что будут решать школьники через пару десятков лет не могу. Если бы я делала работу заново, то я бы слегка поменяла план работы, озаглавив последний пункт работы как «Математика в будущем», но не конкретно «математические задачи будущего». Я рассчитывала, что найду нужный мне материал в каких-либо статьях журналов. Это видно по третьей главе работы, построенной в основном на статьях из научных журналов, которые внесены в список литературы. В следующем году, я, возможно, продолжу работой над этой темой, но в течение учебного года я буду подбирать тот материал, который не смогла подобрать в этот раз. Я думаю, что цель моей работы достигнута, а задачи выполнены. Работа над проектом показала мне, что не так легко и просто подобрать интересующий материал, но проявив упорство и трудолюбие, возможно все. В работе было уже сказано, что существует множество задач, которые позволяют в человеке развивать различные виды мышления. Поэтому по своему опыту скажу, что эти методики работают, и я чувствую, что интеллектуально я выросла, написав эту работу. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫОбщая литература
Интернет-ресурсы:
1 Бэлл Э.Г. Творцы математики. Предшественники современной математики / Под ред. С.Н. Киро., с. 21 2 http://www.letopis.info/ 3 Баврин И.И., Фрибус Е.А., Старинные задачи: Кн. для учащихся., с. 10 4 Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика., с. 159. 5 http://drevniy-egipet.ru/matematika-drevnego-egipta-istoriya-vozniknoveniya/ 6 Баврин И.И., Фрибус Е.А., Старинные задачи: Кн. для учащихся., с. 11 7 Бэлл Э.Г. Творцы математики. Предшественники современной математики / Под ред. С.Н. Киро., с. 36 8 Архимед. Сочинения: Пер.с греч. – М.: Наука, 1962., с. 36 9 Глейзер Г. И. История математики в школе. VII−VIII классы: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982., с. 57 10 Глейзер Г. И. История математики в школе. VII−VIII классы: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982., с. 105 11 Глейзер Г. И. История математики в школе. VII−VIII классы: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982., с. 198 12 Глейзер Г. И. История математики в школе. VII−VIII классы: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982., с. 301 13 Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: Очерки по истории математики. Пер.с фр. – М.: Мир, 1986., с. 215 14 http://www.potehechas.ru/zadachi/zadachi_7.shtml 15 http://matematika88888.blogspot.com/2009/07/7.html 16 Лобачевский Н.И. Собрание сочинений: 1 т. – М.: Учпедгиз, 1946. 17 https://proshkolu.ru/user/hashkulova55/blog/551182/ |